1、小升初数学常考十个知识点（配详解） 第三讲 最值问题 内容概述 均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小各种求最大值或最小值的问 题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也 是必要的 典型问题 1有 4 袋糖块，其中任意 3 袋的总和都超过 60 块那么这 4 袋糖块的总和最少有多少块? 【分析与解】 方法一：设这 4 袋为 A、B、C、D，为使 4 袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平 均，有 A、B、C 袋糖有 20、20、21 块糖 则当 A、B、D 三袋糖在一起时，为了满足条件，D 袋糖不少于 21 块，验证 A、B、C、D
2、 这 4 袋糖 依次有 20，20，2l，2l 时满足条件，且总和最少 这 4 袋糖的总和为 20+20+21+21=82 块 方法二：设这 4 袋糖依次有 a、b、c、d 块糖， 有 ，+得：3（a+b+c+d）244,所以 a+b+c+d81 ,因为 a+b+c+d 61abcd 13 均是整数，所以 a+b+c+d 的和最小是 82 评注：不能把不等式列为 ，如果这样将+得到 3(a+b+c+d)240,a+b+c+d80，因为 abc60 +d a、b、c、d 均是整数，所以 a+b+c+d 的和最小是 81.至于为什么会出现这种情况如何避免,希望大家自己解决. 2用 1，3，5，7，
3、9 这 5 个数字组成一个三位数 ABC 和一个两位数 DE，再用 O，2，4，6，8 这 5 个 数字组成一个三位数 FGH 和一个两位数 IJ求算式 ABCDE-FGHIJ 的计算结果的最大值 【分析与解】 为了使 ABCDE-FGHIJ 尽可能的大，ABCDE 尽可能的大，FGHIJ 尽可能的 小 则 ABCDE 最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为 7、9，然后为 3、5，最后三位数的 个位为 1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为 751，93 则 FGHIJ 最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为 46820 所以 ABCDE-FGHIJ 的
4、最大值为 75193-46820=60483 评注：类似的还可以算出 FGHIJ-ABCDE 的最大值为 64082-37915=46795 3将 6，7，8，9，10 按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得 5 个乘积相加，那么所 得和数的最小值是多少? 【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我 们首先考虑 10，为了让和数最小，10 两边的数必须为 6 和 7 然后考虑 9，9 显然只能放到图中的位置，最后是 8，8 的位置有两个位置可放，而且也不能立即 得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算 87+710+106+69+98=312; 97
5、+710+106+68+89=313 所以，最小值为 312 4一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少? 【分析与解】设这个两位数为 =lOa+b，它们的数字和为 a+b,因为 lOa+b=(a+b)+9a，所以ab lOa+b9a(mod a+b)， 设最大的余数为 k，有 9ak(mod a+b) 特殊的当 a+b 为 18 时，有 9a=k+18m，因为 9a、18m 均是 9 的倍数，那么 k 也应是 9 的倍数且小 于除数 18，即 0，9，也就是说余数最大为 9； 所以当除数 a+b 不为 18，即最大为 17 时， :余数最大为 16，除数 a+b 只能是 17，此时
6、有 9a=15+17m，有 (t 为可取m=7+9ta15 0 的自然数)，而 a 是一位数，显然不满足； ：余数其次为 15，除数 a+b 只能是 17 或 16， 除数 a+b=17 时，有 9a=15+17m,有 ,(t 为可取 0 的自然数)，a 是一位数，显然也不满m=6+9ta137 足； 除数 a+b=16 时，有 9a=15+16m,有 (t 为可取 0 的自然数)，因为 a 是一位数，所以 a 只=+9ta716 能取 7，对应 b 为 16-7=9，满足； 所以最大的余数为 15，此时有两位数 79(7+9)=415 5用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字
7、各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确 的减法算式，那么这个算式的差最大是多少? 【分析与解】 考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为 9， 减数的百位为 1，如果差的百位为 8，那算式就是如下形式： 剩下的 6 个数字为 2、3、4、5、6、7，因为百位数字为 8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少 大 2，因为 1 已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下： 得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小 1，可能的算式形式如下： 但这时剩下的数都无法使算式成立再考虑差的百位数字为 7 的情况，这时我们可以肯定减数的 十位数比
8、被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为 8，因此，算式可能的形式为： 再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式： ，所以差最大为 784 6. 4 个不同的真分数的分子都是 1，它们的分母有 2 个是奇数、2 个是偶数，而且 2 个分母是奇数的 分数之和与 2 个分母是偶数的分数之和相等这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的 2 个偶数之和 尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少? 【分析与解】 设这四个分数为上 、 、 、 (其中 m、n、a、b 均为非零自然数)12mna+12b 有 + = + ，则有 - = - ，12mnabb 我们从 m=1,b=1 开始试验： = + =
9、+ ， = + = + ，63412461 = + = + ， = + = + ，1205830 = + = + ，1 我们发现， 和 分解后具有相同的一项 ，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中610 条件： + = + ，所以最小的两个偶数和为 6+10=16150 7.有 13 个不同的自然数，它们的和是 100问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？ 【分析与解】 13 个整数的和为 100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为 2 个， 最多为 12 个；对应的偶数最多有 11 个，最少有 1 个 但是我们必须验证看是否有实例符合 当有 11 个不同的偶数，2 个不同的
10、奇数时，11 个不同的偶数和最小为 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而 2 个不同的奇数和最小为 1+3=4它们的和最小为 132+4=136，显然不满足： 当有 9 个不同的偶数，4 个不同的奇数时，9 个不同的偶数和最小为 2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而 4 个不同的奇数和最小为 1+3+5+7=16，还是大于 100，仍然不满足； 当有 7 个不同的偶数，6 个不同的奇数时，7 个不同的偶数和最小为 2+4+6+8+10+12+14=56，6 个 不同的奇数和为 1+3+5+7+9+11：36，满足，如 2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11 的和即 为 100 类似的可知，最少有 5 个不同的偶数，8 个不同的奇数，有 2，4，8，10，16，135，7，9，11，13，15 满足 所以，满足题意的 13 个数中，偶数最多有 7 个，最少有 5 个
