1、高三数学 (理科) 习题（1） 本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 .共 150 分.考试时间 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的 位置上 2第 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上 3第 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相 应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用涂改液、胶
2、带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效 参考公式： 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)P(B). 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 ,那么 次独立重复试验中事件 A 恰好发生pn 次的概率:k()(1)(012).knknnPCp 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 , ,则|1|2|Mx2|0NxMN A B C D1|02x1|x1|2x 2. 已知 为虚数单位， 为实数，复数 在
3、复平面内对应的点为 ，则“ia(2)zai ”是“点 在第四 象限”的a A充要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件 3. 命题 ，函数 ，则:Rpx2()cos3infxx A 是假命题； ，:s23 B 是假命题； ，x2()cifx C p是真命题； ，:Rposn D 是真命题； ， 2()3if 4. 一个样本容量为 的样本数据，它们组成一个公差不为9 的等差数列 ，若 ，且 成等比数列，0na38137,a 则此样本的中位数是 A B C D12131415 5. 如图，设 是图中边长为 的正方形区域， 是 内函数 图象下方的点构成的DE2yx 区域
4、向 中随机投一点，则该点落入 中的概率为 A B C D5432 6. 三棱柱 的侧棱长和底面边长均为 ，且侧棱 1A底面 ，其正视图1A BC 是边长为 的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为2 A 3 B C 2 D 4 7. 设二次函数 在区间 上单调递减，且 ，则实数2()fxaxc0,1()0fmf 的取值范围是m A. B. C. D. (,0,)(,2,)0,2 8. 已知函数 的部分图象如图所示，则(sinR0,)fxAxA 的解析式是()fx A 2si() ()6 B ()in Rfxx C 2si() (3f D ()in )fxx 9. 以抛物线 的焦点为圆心，且与双曲线
5、的两条渐近线都相切的圆的y20 1962yx 方程为 A B642xx 0322xyx C D01y 91 10. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面 ,则下列四个命题中错误的为：ab A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则,/b/a C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则ab, x2O5613y 11. 的外接圆的圆心为 ，半径为 ,若 ，且 ，则向量ABCO12ABCO AC 在向量 方向上的投影为 A B C D3232332 12. 的展开式中， 的系数可以表示从 个不同物体中选出 个的方法总数. 下列各(1)nxkxnk 式的展开式中 的系数恰能表示从重量分别为 克的砝
6、码（每种砝码各一个）中8 1,340 选出若干个，使其总重量恰为 克的方法总数的选项是8 A 2310(1)()()xx B 1x C 2310()()()x D 23210()xxx 网第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13. 曲线 在点 处的切线方程为_;2xy(1,) 14. 阅读右侧的程序框图，输出的结果 的值为S _; 15. 若 ，则 的最小值为_;y93xy 16.将石子摆成如图的梯形形状称数列 为“梯形数” 根据图形的构成，则5,91420, 数列的第 项 _;1=a 三、解答题：本大题共 6 小题 ,共 74 分,解
7、答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. （本小题满分 12 分） 的三个内角 所对的边分别为 ，向量ABC,ABC,abc ， ，且 .(1,)m 3(cos,ins)2n mn ()求 的大小；A ()现在给出下列三个条件： ； ； ，试从中再选择1a(1)0cb45B开始 0,1Sn2?sin3S1输出 S结束是 否 岁数4503215 0. 0 0 频 率组 距4 0 两个条件以确定 ，求出所确定的 的面积.ABCABC (注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方 案答题，则按第一方案给分). 18 （本小题满分 12 分） 某区组织群众性登山健身活动,招募了 名师生志
8、愿者, 将所有志N 愿者现按年龄情况分为 等六个层次,其频15205,30,5,405: 率分布直方图如图所示: 已知 之间的志愿者共 人.38 ()求 和 之间的志愿者人数 ;N201N ()已知 和 之间各有 名英语教师，5:2 现从这两个层次各选取 人担任接待工作 ,设两组的选 择互不影响,求两组选出的人选中都至少有 1 名英语 教师的概率是多少? ()组织者从 之间的志愿者(其中共有 名女教师，354:4 其余全为男教师)中随机选取 名担任后勤保障工作,其中女教师的数量为 ,求 的概率和分3 布列. 19 （本小题满分 12 分）如图所示的几何体是由以等 边三角形 ABC为底面的棱柱被
9、平面 DEF所截而得， 已知 F平面 ，2 ， ， 3， O为 的中点,BC 面 /OED ()求 的长； ()求证：面 面 ； ()求平面 与平面 相交所成锐角二面角的ACEF 余弦值 20 （本小题满分 12 分） 在数列 na中， 12,41,1 nnnaba，其中 *N ()求证：数列 nb为等差数列； ()求证： 11(N,2)2342nb 21 （本小题满分 12 分）已知函数 .)lnxfa ()若函数 在 上是增函数，求正实数 的取值范围；()fx1, ()若 ， 且 ，设 ,求函数 在 上的最大aRke()(1)lFxfkx()Fx1,e 值和最小值. 22 （本小题满分 1
10、4 分）已知抛物线 的焦点 以及椭圆21:(0)CypACBD EFO 的上、下焦点及左、右顶点均在圆 上. 2:1(0)yxCab 2:1Oxy ()求抛物线 和椭圆 的标准方程；12C ()过点 的直线交抛物线 于 、 两不同点,交 轴于点 ，已知F1AByN 为定值.122,:NAB求 证 ()直线 交椭圆 于 两不同点， 在 轴的射影分别为 ，lCQP、 P、 xQP、 ，若点 满足： ，证明：点 在椭圆 上.10OPQ:SOS2C 高三数学（理）练习题（一） 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分 BCDA CBDA CCAA 二、填空题：本
11、大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13. ； 14. ； 15. ； 1612xy3267 三、解答题：本大题共 6 小题 ,共 74 分. 17. （本小题满分 12 分） 解：(I) 因为 ，所以 2 分mn 3cossin02BC 即： ，所以 4 分3cossi2BCco()B 因为 ，所以Aco()sBA 所以 6 分3cos,02 ()方案一:选择，可确定 ，C 因为 ,1()Aacb 由余弦定理，得： 2231312b 整理得： 10 分262,bc 所以 12 分113sin4ABCS 方案二:选择，可确定 ，ABC 因为 30,45,0a 又 62sin15i(
12、6)sinco6s45in04 由正弦定理 10 分si1i0523aCcA 所以 12 分631sin24ABCS （注意;选择不能确定三角形） 18 （本小题满分 12 分） 解: （）设频率分布直方图中 个层次的频率分别为 6123456,P ，所以, 2 分40.5.2P840.2N 由题意 134561P 而 231()(021).6 所以, 之间的志愿者人数 4 分0:12340)4NP （） 之间有 人5 分2.p025:. 设从 之间取 人担任接待工作 ,其中至少有 1 名英语教师的事件为 ;5 B 从 之间取 人担任接待工作,其中至少有 1 名英语教师的事件为30: C 因为
13、两组的选择互不影响,为相互独立事件 2107()1()CPB 7 分 2683()()C 与 为相互独立事件，同时发生可记做BBC 所以， 8 分713()().28PBC () 之间共有 人，其中 名女教师，2 名男教师354:50)4064 从中选取三人，则女教师的数量为 的取值可为 1,3 所以 ； ； 12436()5CP2436()5CP3461()5CP 所以，分布列为 12 3()Pk53515 10 分 所以，数学期望为 12 分1122E 19 （本小题满分 12 分） （）取 的中点 ，连接DP,OF 则 为梯形 的中位线，POBC32BDCE 又 ,所以/,/AF/A 所
14、以 四点共面2 分 因为 面 ，且面 面/EDOPFED 所以 OP 所以四边形 为平行四边形，A2A 所以 4 分1B （）由题意可知平面 面 ；BC 又 且 平面 所以 面 ED 因为 所以 面/OPFE 又 面 ， 所以面 面 ；6 分FD （）以 为原点， 所在直线分别为 zyx,轴建立空间直角坐标系,CAOP 7 分(0,3),(10)(,).(0,2)(13)(0,2)ABF 设 为 的中点，则Q3,2Q 易证： 平面CEF CBDEFOPxyz 平面 的法向量为 8 分ACEF3(,0)2BQ 设平面 D的法向量为 ，,1nxy(,1)(0,3)PEF 由 得 所以 10 分0n
15、PE :,0 所以 ，11 分6cos,4BQn 所以平面 DEF与平面 AC相交所成锐角二面角的余弦值为 12 分64 20 （本小题满分 12 分） （ ）证明： 121211 nnnnn aab 数列 n为等差数列 4 分 （）因为 ，所以 12ba()nb1(2)nb 原不等式即为证明 ，1N,)342 即 成立6 分(,)2n 用数学归纳法证明如下： 当 时， 成立 ,所 以 时，原不等式成立8 分n1232 假设当 时， 成立k14k 当 时，1 1222kk 211kkk kk 个 所以当 时，不等式成立11 分n 所以对 ，总有 成立12 分N,21134nb 21 （本小题满
16、分 12 分） ()解:由题设可得 2()(0)axf 因为函数 在 上是增函数，()fx1,) 所以,当 时，不等式 即 恒成立21()0axfx 因为,当 时， 的最大值为 ，则实数 的取值范围是 -4 分1,)xx 1,) () 解: ，a(lnf11()ln)llxxFkk 所以, 6 分 22(xx （1） 若 ,则 ，在 上, 恒有 ，0k21()Fe()0Fx 所以 在 上单调递减()x1,e ， 7 分minFmax1()()e (2) 时0k 221()kxx （i）若 ，在 上 ,恒有e21()0k 所以 在 上单调递减()Fx1,min 1ln1eekk 9 分ax1()
17、() ii) 时，因为 ，所以0kke1ek ，所以1()xk2()0x 所以 在 上单调递减F,e min11()()ln1eeFxkk 11 分ax 综上所述：当 时， ， ；当0kmin1()eFxmax()1Fe0k 且 时， ， .12 分1ea()ekink 22 （本小题满分 14 分） 解：（）由 焦点 在圆 上21:(0)Cypx2pF（ ,） 2:1Oxy 得: 24p 所以抛物线 ： 2 分124yx 同理由椭圆 的上、下焦点 及左、右顶点22:(0)Cab(0,)c 均在圆 上可解得：(,0)b:1Oxy1,2ba 得椭圆 ：2 2 总之，抛物线 ： 、椭圆 ： 4 分
18、1C24yx2C12yx （）设直线 的方程为 ， ，则 .5 分AB(1,)kA） 2(,)Bx(0,)Nk 联立方程组 消去 得: ， 2,(1)ykxy2(4xk ， 故 7 分2160212,.x 由 ， 得， 1NAFB1122(),()xx 整理得， ，9 分21,x 10 分221211() （）设 则 11 分),(),(),( QPQP yxSyx)0,(),(QPx 由 得：01/O （1 ） ; （2 ）; （3）. 12 分2QPyx2Pyx12Qyx 由（1） +（2）+（3 ）得： 13 分 )()(2QP 所以 满足椭圆 的方程，命题得证.14 分),(QPyxS2C
