1、习题 9-2 1.判断下列级数的敛散性. （1） ； （2） ； （3） ； 12n 21n1ln() （4） ； （5） ； （6）1n21n （ ） 1np 0 解：（1） ；12n 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为 ，而调和级数 发散，从而12nA1n 也发散；由正项级数的比较判别法，得级数 发散。12n 12n 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为 ，而调和级数 发散，1limli12nn1n 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 发散。12n （2） ；21n 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为 ，而级数 收敛（ 级数的结论） ；2221n p
2、 由正项级数的比较判别法，得级数 收敛。21n 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为 ，而级数 收敛（ 级数的结论） ， 221limli1nn21np 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 收敛。21n （3） ；1ln() 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为 （ ） ，且调和级数 发散；l()11n 则由正项级数的比较判别法，得级数 发散。1l()n 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为 ，而 1ln()imlin(1) ，lililim()n(1)1xxx洛 必 达法 则 所以 ，即 ，又调和级数 发散，limn(1)ln()i1n 则由正项
3、级数的比较判别法的极限形式，得级数 发散。1l()n （4） ；1n 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为 ，而级数 收敛（ 级数的结论） ，321n312n p 由正项级数的比较判别法，得级数 收敛。1n 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为 ，而级数 收敛（ 级数 32321limlilim11nnn312np 的结论） ， 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 收敛。1n （5） ；21n 因为 ，而调和级数 发散，22(1)limlinn1n 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 发散。21n 注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项
4、级数的比较 判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相 对容易一些。 （6） （ ） 1np 0 当 时， ，则由级数收敛的必要条件，得级数01lim10nn （ ）发散；1np 当 时， ，则由级数收敛的必要条件，得级数11lili02nnnp （ ）发散；1np 当 时， ，且级数 是公比为 （ ）的等比级数， 1limnnp1np1p 是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 收敛。1np 综上，当 时，级数 发散；当 时，级数 收敛。01p1np p1n 2. 判断下列级数的敛散性. （1） ； （2） ； （3） （1()4n 1sin 22an
5、 ） ； aR （4） ； （5） ； （6） ； 2(cos)n 132nA213n （7） ； （8） ； （9） ； 1!nA11tann 1l()nn （10） ； （11） （其中 ， 均为正数） 2113n1nblimna,nba . 解：（1） ；1()4n 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为 ，且 收敛，2()21n 由正项级数的比较判别法，得级数 收敛。1()4n 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为 ，且级数 收敛， 221()4limli1()4nn21n 由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 收敛。1()4n （2） ；1sin 方法一：（利
6、用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为 ，且等比级数 收敛， sin22lmli1n等 价 无 穷小 代 换 12n 由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 收敛。1sin 方法二：（利用正项级数的比值判别法） 因为 ，+11 sin22lmlimn等 价 无 穷小 代 换 由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。1si2n （3） （ ） ；22an R 因为 （ 221+22 2()()=421aa ann nn ） ，aR 而 ， 1+21+2 1limlim22an nann 利用 级数 收敛性的结论，得p1pn 当 即 时级数 是发散的；当 即 时级数21+2an 12 是收敛的；
7、1+2an 由正项级数的比较判别法的极限形式，得当 时级数 发1222an 散；当 时级数 收敛。122an （4） ；2(1cos)n 因为 ，且级数 收敛， 2221slimlim=1nn等 价 无 穷小 代 换 21n 由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 收敛。2(cos)n 注：本题不能用正项级数的比值判别法。 （5） ；132 nA 因为 ， +13()limli=132()nnnA 则由正项级数的比值判别法，得级数 发散。132 nA （6） ； 213n 因为 ， 221()(1)limli=33n 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。132 nA （7） ；1!2 n
8、A 因为 ， 11()!2()2limlilim1nnnnn eAA 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。1! n （8） ；11tan2 因为 ，2 21 1 ()()1limlimli2tan nn n A等 价 无 穷小 代 换 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。11ta2nn （9） ；1ln()n 因为 ，1limli0()()nn 则由正项级数的根值判别法，得级数 收敛。1ln()n （10） ； 2113nn 因为 ， 12122limli 1339nnn 则由正项级数的根值判别法，得级数 收敛。 21nn （11） ；1 nnba 因为 ，limli nnnba 由正
9、项级数的根值判别法，当 即 时级数 收敛；当 即1a1 nnba1ba 时级数 发散；当 即 时，级数 可能收敛也可能ba1 nnbab1nn 发散。 3. 判断下列级数的敛散性. （1） ； （2） ； （3） ； （4）12n 1!n 21(!)n ；1357.()n A （5） ； （6） ； （7） ； （8） 41!n12sin3 1(,0)nab ； 21ne （9） 1! nA 解：（1） ；12n 因为 ，1limli2(2)nn 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。12n (2） ；1!n 因为 ，1()!limli0nn 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。1!n
10、（3） ； 21(!)n 因为 ， 22()!(1)limli 14()!nn 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。 21(!)n （4） ； 112357.()nnA 因为 ，12.()limlim012357. nn nAA 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。 11357.(2)nnA （5） ； 41!n 因为 ， 434()(1)!limli0nn 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。 41!n （6） ；12sin3 因为 ， 11i23limlim2s3nnn A等 价 无 穷小 代 换 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。12sin3 （7） ；1(,0)nab
11、 因为 ，而调和级数 发散，1limlinna1n 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 发散。1(,0)nab （8） ；21nne 因为 ， 222 21limli1limlixxxxx xeee洛 必 达法 则 所以 ，而调和级数 发散， 21linne1n 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数 发散。21nne （9） ；1! neA 因为 ， 1()!limlilim1(1)nnnnneeeAA 此时由正项级数的比值判别法不能得到级数 的敛散性。1! neA 但是由于数列 是单调递增的，且 ，所以 ，1 nlimnne1ne 从而 ，即 ，从而 ， 1()!1nnneeA
12、1()!nneeAA!li0neA 此时，利用收敛级数的必要条件，可知级数 是发散的。1! neA 4.判断下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ （1） ；（2） ；（3） ； （4）1()n 2(1)lnn21sin()x ；11()2 nn （5） ； （6） ； （7） .1l()n 1()3n 21()!nn 解：（1） ；1()n 因为 发散（ 级数的结论） ，所以级数 不绝11()np1()n 对收敛； 对交错级数 ，由于 ，且 ，则由莱布尼兹定1()n 1nlim0n 理，得交错级数 收敛；从而级数 条件收敛。1()n 1()n （2） ；2()ln 因为 ，而 ，
13、且调和级数 发散，则由正221()llnn 1(2)ln1n 项级数的比较判别法，得级数 发散，即级数221()llnn 不绝对收敛；21()lnn 对交错级数 ，由于 ，且 ，则由莱布尼兹2()ln 1l()ln1lim0n 定理，得交错级数 收敛；从而级数 条件收敛。2()ln2()ln （3） ；21sin()x 对级数 ，因为 ，且级数 收敛（ 级数的结论） ，21i()n22sin()1x21n p 则由正项级数的比较判别法，得级数 收敛，即级数 绝对21sin()x 21sin()x 收敛。 （4） ；11()2 nn 因为 ，而1 1()2nnnn ，limli2nn 则由正项级
14、数的根值判别法，得级数 收敛，1 1()22nnnn 即级数 绝对收敛。11()2 nn （5） ；1l)()n 因为 ，而 ，且 发散（11l)ln()()n l(1)n1n 级数的结论） ，p 则由正项级数的比较判别法，得级数 发散，所以11l()l()nn 级数 不绝对收敛；1ln(1)n 对交错级数 ，令 ，则1l()n ln()(2)xf ，从而当 时 ，即当 时22 ll()xxfAe()0fxe 单调递减；故 ，又 （因lnln()l(12nln(1)im0 为 ，所以 ） ， 1ln(1)imlim0xx洛 必 达法 则 ln(1)i0 则由莱布尼兹定理，得交错级数 收敛，从而
15、2l()n 也收敛。故级数 条件收敛。1ln(1)n 1l(1)n （6） ；1()3n 因为 ，而 ，则由正项级数的比11()=nn 1+13lim=li3n 值判别法，得级数 收敛，即级数 绝对收敛。11()3nn 1()n （7） ； 21()!nn 因为 ，而 ，又 2211()!nnn22(1)21!limlinn ， 2121llimlixxA 所以 ，即 ， 21lin22(1)21!limlinn 则由正项级数的比值判别法，得级数 发散， 21()!nn 此时 ，也即 ，故级数 发散。 21lim()0!nn21lim()0!n21()!nn 5.利用级数收敛的必要条件求极限： .2lim(!) n 解：对级数 ，由于21(!) n ， 2()1)!limlilim01(n nnn eA 则由正项级数的比值判别法，得级数 收敛。21(!) n 由级数收敛的必要条件，得 。2lim0(!) n
