1、第 2 章 质点动力学 2-1. 如附图所示，质量均为 的两木块 A、B 分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的m 支持面 C 上。若突然撤去支持面 C，问在撤去支持面瞬间，木块 A 和 B 的加速度为多大？ 解：在撤去支持面之前，A 受重力和弹簧压力平衡， ，B 受支持面压力向上为 ，与重力和弹簧压Fmg弹 2mg 力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则 A：平衡， ；B：不平衡， 。0Aa2BFag合 2-2 判断下列说法是否正确？说明理由。 （1） 质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不 是向心力。 （2） 质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。
2、解：（1）不正确。不指向圆心的力的分量可为向心力。 （2）不正确。合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。 2-3 如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆） ，有人 在重力的方向上求合力，写出 。另有沿绳子拉力 的方向求合力，写出cos0TGT 。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的 ，为什么？cos0TG 解： 正确，因物体在竖直方向上受力平 衡，物体速度竖直分量为 0，只在水平面内运动。 不正确，因沿 方向，物体运动有分量，cosTGT 必须考虑其中的一部分提供向心力。应为： 。2ssinmr 2-4 已知一质量为 的质点在 轴上运动，质点只受
3、到指向原点的引力的作用，引力大小mx 与质点离原点的距离 的平方成反比，即 ， 为比例常数。设质点在 时的2kfxxA 速度为零，求 处的速度的大小。4Ax 解：由牛顿第二定律： ， 。寻求 与 的关系，换元：Fadvt ，2kxmvx 分离变量： 。dv ，20vxAkdm11()kxA 当 时， 。46v 2-5 如附图所示，一质量分布均匀的绳子，质量为 ，长度为 ，一端拴在转轴上，并以ML 恒定角速度 在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转 轴为 处绳中的张力 。r()Tr 解： 2dfmrd 222221()()L Lrrr MLrTf r 26 如图所示,
4、已知两物体 A、B 的质量均为 m 3.0kg 物体 A 以加速度 a 1.0 m/ 2 运动,求物体 B 与桌面间的摩擦力(滑轮与连接绳的质量不计) 习题 26 图 解：如图所示，分别对物体和滑轮作受力分析。 BfFNgmAg1T AaaaTF1T1TTF 根据牛顿第二定律，运动方程为 （1）ATAamFg （2）Bf1 （3）02T 因为 ， ， ， ，联立（1）（2）（3）式解得mBAF1TABaN2.72)4(Af ag 27 一质量为 10 kg 的质点在力 F 的作用下沿 x 轴作直线运动,已知 F 120t 40,式 中 F 的单位为 N,t 的单位的在 t 0 时,质点位于 x
5、 5.0 m 处,其速度 v06.0 m/求质点在任意时刻的速度和位置 解：质点作直线运动，根据牛顿第二定律，有 tmtd4012v 分离变量并积分 得t td)412(d06.v 642tv 由 ，两边积分tx 得tt)6(0 25. 523ttx 28 质量为 m 的跳水运动员 ,从 10.0 m 高台上由静止跳下落入水中高台距水面距离为 h把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为 bv2 , 其中 b 为一常量若以水面上一点为坐标原点 O,竖直向下为 Oy 轴. (1) 求运动员在水中的速率 v 与 y 的函数关系； (2) 如 b /m 0.40m -1
6、,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率 v 减少到落水速 率 v0 的 1/10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等) 习题 28 图 解：（1）跳水运动员在入水前作自由落体运动，入水速度为 ，入水后根据牛gh20v 顿第二定律，运动方程为 maFg浮浮 即 t bd2v 因 yt ybd2v 分离变量并积分 得 v0d0ymb mbymbyghe2e0v （2）由上式代入已知条件得 76.5ln0vby 29 质量为 45.0 kg 的物体 ,由地面以初速 60.0 m/竖直向上发射,物体受到空气的阻力 为 Fr kv,且 k 0.03 N/( m/) (1) 求物体
7、发射到最大高度所需的时间 (2) 最大高度为多少？ 解：（1）取竖直向上为 y 轴正方向，由牛顿第二定律，运动方程为 tkmgdv 分离变量，并积分 0dvvkgt 得 s1.6ln0mkt （2）由 分离变量积分yt gdvvvv1d00maxkmgky 得 183ln0ax 210 如图所示,在光滑水平面上,放一质量为 m的三棱柱 A,它的斜面的倾角为 ，现把 一质量为 m 的滑块 B 放在三棱柱的光滑斜面上试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度； (2) 滑块相对于地面的加速度；(3) 滑块与三棱柱之间的正压力。 习题 210 图1NFmggmAa1NF2N OBaxyAB 解：三棱柱 A
8、 和滑块 B 受力如图，以三棱柱 A 为参考系（非惯性系），应用牛顿第二定 律，有 （1）BAAmamgcossin （2）0inc1NF （3）si1AN （4） 以上四式联立解得 2sin comgaA)(B21sicFN 由加速度的矢量关系，得 22sin)(sinmgaB 与竖直向下方向的夹角 cotarctnicoart mBA 211 跳伞运动员与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率 的平方成正比，即 2kvF。求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率 Tv。 解：由牛顿第二定律，运动方程为 tgd2 分离变量，并积分 v020dkmgt
9、得 即v tln21 kgmtk2e1 当 时，极限速率 。t k gT 212 一半径为 R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为 m 的小球 正以角速度 沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的 高度。 解：小球受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为 2sinsimRFN 0cog 上两式消去 FN，求得 2 sR 小球运动水平面距离碗底的高度为 )1()cos1(2gh 213 在光滑的竖直圆环上，套有两个质量均为 m 的小球 A 和 B，并用轻而不易拉伸的绳 子把两球联结起来。两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。 习题 213 图
10、解：小球 A 和 B 受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为 AmaT45sin0cosgFNABi T mg mg FNA FNB aB aA 045cosTFNB 注意到 ， ，上四式联立求得TAa mg2gN21mgFNB2 214 如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为 v1，下落雨滴的速度方向偏于竖直方 向之前 角,速率为 v2,若车后有一长方形物体,问车速 v1 为多大时,此物体正好不会被雨 水淋湿？ 解：以雨滴为研究对象，地面为静止参考系，汽车为运动参考系。如图，v 2为绝对速度， v1 为牵连速度，雨滴相对于汽车速度v 2为相对速度。要使物体不会被雨水淋湿，v 2的方 向
11、应满足 ，由图可知hlarctncosint21v 即 h lcsi21v 所以 in o21l 215 一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以 的速度由东向西刮来,如果飞机的h/km60 航速(在静止空气中的速率)为 ,试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对地面的速率h/k180 为多少? 试用矢量图说明。 v2 v2 v1 解：以地面为参考系，飞机为研究对象，如图，飞机相对地面的速度 v 为绝对速度，风的 速度 u 为牵连速度，飞机 的航速v 为相对速度。由 vu v 可得飞机相对地面的速度 170km/h /68 22 ， 驾驶员应取向北偏东4.93arcsinvu 的航向。4.19 北西 v vu
