1、- 1 - 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1. （2013重庆高考文科 4）设 P是圆 22(3)(1)4xy上的动点， Q是直 线 3x上的动点，则 PQ的最小值为 ( ) A. 6 B.4 C. 3 D. 2 【解题指南】 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径. 【解析】 选 B. PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心 到直)1,3( 线 的距离为 ,半径为 ,所以 PQ的最小值为 .3x62426 2.(2013天津高考文科T5)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x -1)2+y2=5 相切,且与 直线 ax-y+1=0 垂直,则 a= ( ) A. B
2、. 1 C. 2 D. 21 【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求 a 的值. 【解析】选 C.因为点 P(2,2)为圆(x-1) 2+y2=5 上的点,由圆的切线性质可知,圆心 (1,0)与点 P(2,2)的连线与过点 P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点 P(2,2)的连线 的斜率 k=2,故过点 P(2,2)的切线斜率为- ,所以直线 ax-y+1=0 的斜率为 2,因此12 a=2. 3.（2013安徽高考文科6）直线 x+2y-5+ =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的5 弦长为（ ） A.1 B.2 C.4 D. 46 【解题指南】 由
3、圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理 即可求得半弦长。 【解析】选 C.由 得圆心（1,2） ，半径 ，圆心到直线 x+2y-22(1)()5xy-+-=5r= - 2 - 5+ =0 的距离 ，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形5|145|1d+-= 中，弦长 。2lr- 4. （2013重庆高考理科7）已知圆 ： ，圆 ：1C22()(3)1xy2C ， 、 分别是圆 、 上的动点， 为 轴上的动点，22(3)(4)9xyMN2Px 则 的最小值为 ( )PN A. B. C. D. 2517617 【解题指南】根据圆的定义可知 ,然后利用对称性求解.421PCNP 【
4、解析】选 A.由题意知,圆 ： ，圆 ：1C22()(3)xy22(3)(4)9xy 的圆心分别为 ,且 ,点 关于 轴的对称)43(,21 21M,1 点为 ,所以 ,)3(C522CPP 即 .51CNPM 5.（2013广东高考文科7）垂直于直线 且与圆 相切于第一1yx21xy 象限的直线方程是（ ） A B20xy0xy C D12 【解析】选 A. 由题意知直线方程可设为 （ ） ，则圆心到直线的xyc0 距离等于半径 1，即 ， ，所求方程为 .2|0|1c22xy 6. （2013陕西高考文科8）已知点 M(a,b)在圆 外, 则直线 ax + 21:O by = 1 与圆 O
5、 的位置关系是 ( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【解题指南】 利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系中的半径与距离， - 3 - 列出关系式，解之即可判断直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系. 【解析】选 B.点 M(a, b)在圆 22bayx外 =圆的半径，故直线与圆相交.2O(0)axby1d1圆 心 ， 到 直 线 距 离 7. （2013江西高考理科9）过点（ ，0）引直线 l 与曲线 相2y1x 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率 等于（ ） A. B. C. D.3333 【解题指南】圆心到直
6、线的距离与直线的斜率有关,AOB 为等腰三角形,所以 AB 的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而AOB 的面积可表示为圆心到直 线的距离 d 的函数,借助二次函数思想可以求解出当AOB 的面积取最大值时 的 d 值,进而可以求出直线的斜率. 【解析】选 B. 曲线 表示以 为圆心，以 为半径的上半圆.设直线2y1x(0,)1 的方程为 ，即 ，若直线与半圆相交，则 ，圆心lyk(x2)kk0 到直线的距离为 （ ） ，弦长为 ， AOB 的面积为2d1d2AB1d ，易知当 时 最大，解 得 ，21sAB2()2s2k1()23 故 .3k 8. （2013山东高考理科9）过点（3，1）作圆
7、（x-1） 2+y2=1 的两条切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 （ ） A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的几何性质解题即可. - 4 - 【解析】选 A. 由图象可知， 是一个切点，根据切线的特点可知过点 A.B(1,)A 的直线与过点（3,1） 、 （1、0）的直线互相垂直， ，所以直线 AB2130ABk 的方程为 ，即 2x+y-3=0.2xy 二、填空题 9. （2013山东高考文科13）过点(3， 1)作圆 的弦，其中22()()4xy 最短的弦长为_ 【解题指
8、南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于直径的弦.这样 圆心到点 的距离，与弦长的一半，半径长构成一个直角三角形.1,3 【解析】 半径为 ，圆心为 ，圆心到点 的距离2r2,1,3 ,所求最短弦长为22d 【答案】 . 10.(2013浙江高考文科T13)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长 等于 . 【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长. 【解析】由 ，解得 或 ，所以两交点坐标为23,680yx1xy391, 和 ，所以弦长 .3,922(1)(9)45l 【答案】 .45 11. （2013江西高考文科14）若圆
9、C 经过坐标原点和点（4，0） ，且与直 线 y=1 相切，则圆 C 的方程是 . 【解题指南】设出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径的关系，再代入已知点. 【解析】设圆的方程为 ，因为圆 C 经过点（0,0）和点（4，0） ，22(xa)(yb)r - 5 - 所以 a=2，又圆与直线 y=1 相切，可得 ，故圆的方程为1br ，将（0,0）代入解得 ， ，所以圆的方222(x)(yb)(1b) 325r 程为 .2235()()4 【答案】 .22(x)(y) 12. （2013湖北高考文科14）已知圆 ： ，直线 ：O25xyl （ ）.设圆 上到直线 的距离等于 1 的点的个数为 ，co
10、sin1xy 02Ol k 则 .k 【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相 比较. 【解析】半径为 R= 圆心到直线 的距离 d= 故数形结5,l 2215.sinco 合 k=4. 【答案】4. 三、解答题 13.(2013江苏高考数学科T17) 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，xOy)3,0(A 直线 。设圆 的半径为 ，圆心在 上。42:xylC1l （1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；xyAC （2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围。MO2a - 6 - 【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,
11、再利用直线与圆相切的几何 条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用 MA=2MO 确定点 M 的轨迹方程,再 利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出 a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是 切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意, = 1, 解得 k=0 或- ,2|31|k34 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为 (x-a)2+y-2(a-2)2=1. 设点 M(x,y),因为
12、MA=2MO, 所以 ,222)3(yxyx 化简得 ,41 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上 . 由题意知,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1CD2+1, 即 1 3.22(3)a 由 5a2-12a+80,得 aR; - 7 - 由 5a2-12a0,得 0a . 125 所以圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为0, . 125 14.（2013新课标全国高考文科20）在平面直角坐标系 中，已知圆xOy 在 轴上截得线段长为 ，在 轴上截得线段长为 。Px2y23 （1）求圆心 的轨迹方程； （2）若 点到直线 的距离为 ，求
13、圆 的方程。yx2P 【解题指南】(1)设出点 P 的坐标与圆 P 半径，利用弦长、圆心距、半径之间的 关系求得点 P 的轨迹方程； （2）利用已知条件求得点 P 的坐标，从而求出半径，写出圆的方程. 【解析】 （1）设 ，圆 P 的半径为 r.,xy 由题设 从而 .2223.yrr223yx 故 P 点的轨迹方程为 .1x (2)设 又 P 点在双曲线 上，从而得00 2(,).ypxy由 已 知 得 21yx201,yx020,.1y得 此时圆的半径 r= .30021,.xyxy得 此时，圆的半径 r= .3 故圆 P 的方程为 ，2222113xyxy或 - 8 - 15.（2013
14、四川高考文科20） 已知圆 的方程为 ，点 是坐标原点。直线 与圆 交于C22(4)xyO:lykxC 两点。,MN （1）求 的取值范围；k （2）设 是线段 上的点，且 。请将 表示为 的(,)QmnMN2221|OQMNnm 函数。 【解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点，所以在求解 的取值范k 围时可以利用判别式进行求解，在第二问的处理上要注意 的使用，从而寻找到 的关系.2221|OQMN,mn 【解析】 （1）将 代入 中，得ykx22(4)y2()80()kx 由 ，得24123k 所以 的取值范围是 .(,)(,) （2）因为 M、N 在直线 上，可设点 M、N 的坐标分别为l 12(,),)xkx 则 ，22221(),()OkxOkx 又 .()Qmn 由 ，得222|N ，2221(1)()()kkxkx 即 ，1122m 由 式可知， ， ，所以()18kx122xk2365mk 因为点 Q 在直线 上，所以 ，代入 中并化简，得yn2 .2536nm - 9 - 由 及 ，可知 ，即 .2365mk2203m(3,0)(,) 根据题意，点 Q 在圆 C 内，则 ，所以 .n 2261580mn 于是 与 的函数关系为 .nm21580(3,0)(,)
