1、一、选择题 1、点 是长轴在 轴上的椭圆 上的动点, , 分别为椭圆 的两个焦点,椭圆的半焦距为 ,则 的最大值是( ) A. B. C. D. 2、已知 , 是定点,且 ,动点 满足 , 则 点的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线 3、已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ,离心率等于 ,则椭圆 的 方程是( ) A. B. C. D. 4、若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点,点 为椭圆上 的任意一点,则 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 5、已知点 、 分别是椭圆 的左、右焦点,过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 、 两点,若 为锐角三角形,则 该椭圆离心率 的
2、取值范围是( ) A. B. C. D. 6、椭圆 的焦点 , , 为椭圆上的一点,已知 , 则 的面积为( ) A.12 B.10 C.9 D.8 7、椭圆 的焦点为 ,点 在椭圆上,如果线段 的中点 在 轴上,那么点 的纵坐标是( ) A. B. C. D. 8、“ ”是“方程 表示的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9、已知两圆 , ,动 圆在圆 内部且和圆 相内切,和圆 相外切,则动圆圆心 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 10、已知 是椭圆 的半焦距,则 的取值范 围是( ) A. B. C. D. 11
3、、设定点 、 ,动点 满足条件 ,则点 的轨迹是( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 二、填空题 12、已知椭圆 点 与 的焦点不重合,若 关于 的焦 点的对称点分别为 , ,线段 的中点在 上,则 = . 13、椭圆 的离心率为 ,则 . 14、如果椭圆 的弦被点 平分,那么这条弦所在的直 线方程是 . 15、已知 、 为椭圆 的左、右焦点,则在该椭圆上能 够满足 的点 共有 个. 16、已知两个定点 , .若 ,则 点 的轨迹方程是 .若 ,则点 的轨 迹方程是 .若 ,则点 的轨迹方程 是 . 17、在圆 上任取一点 ,过点 作 轴的垂线段 , 为垂足, 当点 在圆上运
4、动时,线段 的中点 的轨迹方程是 . 三、解答题 18、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 轴上,离心率 ,已知点 到椭圆上的点的最远距离是 ,求这个椭圆方程. 19、已知 是椭圆 上的一点, , 是椭圆上的两个焦点. 1.当 时,求 的面积; 2.当 为钝角时,求点 横坐标的取值范围. 20、已知 、 是两个定点 ,且 的周长等于 ,求顶点 的轨迹方程. 21、求经过两点 的椭圆的标准方程. 22、已知椭圆 : 的离心率 ,且椭圆经过 点 . 1.求椭圆 的方程; 2.求椭圆以 为中点的弦所在直线的方程. 参考答案： 一、选择题 1. 答案： A 2. 答案： D 解析： 因为已知 , 是定点,
5、且 ,动点 满足 ,根据椭圆的定义可知,那么点 的轨迹为线段,选 D. 3. 答案： D 解析： 由题意可知椭圆焦点在 轴上,因而椭圆方程设为 ,可知 , ,可得 ,又 ,可得 ,所以椭圆方程为 . 4. 答案： C 解析： 由题意, ,设点 ,则有 ,解得 , 因为 , , 所以 , 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 , 因为 ,所以当 时, 取得最大值 ,选 C. 考点:平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质. 5. 答案： B 解析： 由对称性 ,只要 即可满足 为锐角三角形. 将 代入 或 (舍), 由 , . 6. 答案： C 解析： , ,由焦点三角形面积公式得 . 7. 答案： A
6、 解析： 设椭圆的另一个焦点为 ,则 轴.设点 的坐标为 ,得 ,从而点 的纵坐标为 . 8. 答案： B 解析： 由 , , 得 且 ,“ ”是“方程 表示的曲线是椭圆” 的必要不充分条件. 9. 答案： D 解析： 设圆 的半径为 ,则 ,故 的轨迹是以 , 为焦点的椭圆, ,所求的轨迹方 . 10. 答案： D 解析： 如图所示,在 中,令 ,其中 为锐角.根据图形可 得 11. 答案： D 解析： , 。当 时,由点 满足 条件 得,点 的轨迹是线段 . 当 时,由点 满足条件 得,点 的轨迹是以 、 为焦点的 椭圆. 综上,点 的轨迹是线段 或椭圆,故选 D. 考点:本题主要考查椭圆
7、的定义及均值定理的应用。 点评:体现了分类讨论的数学思想。确定利用均值定理 的范围是解题 的关键。 二、填空题 12. 答案： 12 解析： 解法一:由椭圆方程知椭圆 的左焦点为 ,右焦点 为 . 则 关于 的对称点为 ,关于 的对称 点为 , 设 的中点为 ,所以 故由椭圆定义可知 解法二:根据已知条件画出图形,如图,设 的中点为 , 为椭圆 的焦点,连接 , 显然, 分别是 的中位线, 13. 答案： 或 解析： 当焦点在 轴上时, , . 当焦点在 轴上时, , . 14. 答案： 解析： 设弦的端点为 , , 则有 两式相减得 , 整理得 . 由题意得, , , 所以中点弦所在直线的斜
8、率为 , 所以方程为 ,化简得 . 15. 答案： 4 解析： 根据椭圆的几何性质可知,当点 是椭圆短轴的一个顶点时, 最大,此时设该角为 , 其中 , 所以 , 结合椭圆的对称性及 , 可知能够满足 的点 有 个. 16. 答案： ; ;不存在这样的点 . 17. 答案： 解析： 设 ,则 .点 在圆 上运动, ,即线段 的中点 的轨迹方程是 . 三、解答题 18. 答案： 设所求椭圆方程为 . , ,椭圆方程为 .设椭圆上点 到点 的距离为 ,则 . 当 ,即 时, ,解得 ,椭圆 的方程为 . 当 ,即 时, ,解得 ,与 矛盾,故不符合题意. 综上所述,所求椭圆的方程为 . 19. 答
9、案： 1.由椭圆的定义,得 ,且 , . 在 中,由余弦定理得, . 由得: . . 2.设点 ,由已知 为钝角,得 ,即 ,又 , ,解得 , 点 横坐标的范围是 . 20. 答案： 如图所示,建立直角坐标系,使 轴经过点 , ,且原点 为 的中 点, 由已知 , ,有 , 点 的轨迹是以 , 为焦点的椭圆,且 , . , . . 当点 在直线 上,即 时, , , 三点不能构成三角形, 点 的轨迹方程是 . 21. 答案： 解:方法一:当椭圆的焦点在 轴上时,设椭圆的标准方程为 ,依题意,知 解得 ,此种情况不存在. 当椭圆的焦点在 轴上时.设椭圆的标准方程为 ,依题意,知 解得 故所求椭圆的标准方程为 . 方法二:设所求椭圆的标准方程为 .依题意,得 解得 .故所求椭圆的标准方程为 . 22. 答案： 1.由椭圆经过点 ,得 , 又 ,解得 , . 椭圆 的方程为 . 2.显然 在椭圆内,设 , 是以 为中点的弦的两个端 点, 则 , . 相减得 . 整理得 . 则所求直线的方程为 ,即 .
