1、 数学试题(文科) 命题人 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ）230,13AxBxRCAB A B C D3,51, 1,5 2. 若 是 的共轭复数，且满足 ，则 （ ）z 24ziiAz A B C D12i122i 3. 下列命题中正确的是（ ） A若 为真命题，则 为真命题pqpq B “ ” 是“ ” 的充分必要条件0,ab2ba C命题“若 ，则 或 ” 的逆否命题为“若 或 ，则230x1x1x2 ” 2x D命题 ，使得 ，则 ，使得0
2、:pxR20x:pxR20x 4. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为 时，则输入的 的值为（ ）S40S A B C D1987 5. 已知圆 关于直线 对称，则圆 中以2:40Cxy310xayC 为中点的弦长为（ ）,4a A B C D234 6. 设定义在 上的偶函数 ，满足对任意 都有 ，且RyfxtR2ftt 时， ，则 的值为（ ）0,1x2lnfxe2016f A B C Dlnel41ln4e 7. 使 是奇函数，且在 上是减函数的 的一si23cos2fxx0,4 个值是（ ） A B C D33353 8. 九章算术 “竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的
3、容积成等差数列， 上面 节的容积共 升，下面 节的容积共 升，则第五节容积为（ ）44 A 升 B 升 C 升 D升674773 9. 已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且 ，则四CD5O6,25ABC 棱锥 的侧面积为（ ）O A B C D208542054 10. 当实数 满足不等式组 ，恒有 ，则实数 的取值范围是（ ,xy 1xy3axya ） A B C D,1,11,1, 11. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（ ） A B C D4342323 12. 已知函数 是常数）和 定义在21(,bfxc14gx 上的函数，对任意 ，存在 使得4MxM0 ，
4、且 ，则 在集合 上的最大值为（ 00,fxfgx0ffxM ） A B C D729245 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数 ，则 2,1xf2log3f 14. 设非零向量 满足 ，则向量 间的夹角为 ,abc ,bca,ab 15. 已知点 是拋物线 的焦点，点 为拋物线 的对称轴与其准线的交点，1F2:4Cxy2FC 过 作拋物线 的切线，切点为 ，若点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲2 A12, 线的离心率为 16. 已知 为数列 的前 项和， ，则 nSna2,1nSana 三、解答题 （本大题共 6 小题，
5、共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 ，已知ABCC,abc .3cosinabC （1）求 ；B （2）若 ，求 .3sin2cos2166ACA 18. （本小题满分 12 分）某媒体为调查喜欢娱乐节目 是否与观众性别有关，随机抽取 了 名男性和 名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下：0 （1）根据该高条形图，在答题卡完成下列 列联表，并用独立性检验的方法分析，能2 否在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜欢娱乐节目 与观众性别有关？0.5A （2）从男性观众中按喜欢节目 与否，用分层抽样的方法
6、抽取 名做进一步调查，从这A5 名中任选 名，求恰有名喜欢节目 和名不喜欢节目 的概率.5 附： 2PKk0.10.50.10.17638416358222nadbcd 19. （本小题满分 12 分）已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是PABCDABCD 边长 的菱形， .a120,BADb （1）求证：平面 平面 ；P （2）设 与 交于点 ， 为 的中点，若点 到平面 的距离为 ，求COMMPO14b 的值.:ab 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ， 2:10xyCabFe 若椭圆 过点 ，且 垂直于 轴.C 2,bEeFx （1）求椭圆 的标准方程； （
7、2）已知动直线 (直线不过原点) 与椭圆 交于 ， 两点，且 的面积CPQOP ，求线段 的中点 的轨迹方程. OPQSN 21. （本小题满分 12 分）已知 为常数， ，函数aR (其中 是自然对数的底数 ). 2ln,xfxage （1）过坐标原点 作曲线 的切线，设切点为 ，求证： ；yf 0,Pxy01x （2）令 ,若函数 在区间 上是单调函数，求 的取值范围.fxFgFx0,1a 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，正 中，点 在边 上, 在边 上，且ABCDACEGAB
8、 相交与点 .36,1,G01,DCEF （1）证明： 四点共圆； EF （2）当点 是 中点时，求线段 的长度.BF 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知动直线xOyx 的参数方程为 为参数), 点的极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 2,(xtyP2,C .2cosin （1）试将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；C （2）设直线与曲线 相交于两点 ，点 为 的中点，求 的值.,ABMPM 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知关于 的不等式 的解集为 .xab13x
9、（1）求 的值；,ab （2）若 ，求 的最小值.0yzyab 河北武邑中学 2015-016 学年高三年级第五次模拟考试 数学试题(文科) 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1-5.CBDBD 6-10.CBABA 11-12.CD 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16.3120211n 三、解答题 17.解：（1） ，33cosin,siicosisabCBACB .cosini,ta,3B （2） i21cos266AC43sin13sin2cos21366A ,2i1A 由 ，及 ，可得 .sin0362A4 18. 解：（1）由
10、题意得 列联表如下：2 喜欢节目 不喜欢节目 总计 男性观众 4630 女性观众 1515 总计 3926 假设 :喜欢娱乐节目 与观众性别无关，0HA 则 的观测值 ，2K26415540.93.8413901k 所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜欢娱乐节目 与观众性别有关 A （2）利用分层抽样在男性观众 名中抽取 名，其中喜欢娱乐节目 的人数为305A ，不喜欢娱乐节目 的人数为 . 5430A6130 其中恰有名喜欢节目 和名不喜欢节目 的观众的概率是： .AA42105 19. 解：（1） ,PBCDPBDPACBDPACAA 平 面 平 面平 面 平 面 平 面在 菱 形
11、中 有 平 面 （2） ，在 中，有 ，MPODVRtOMD2132416OMDSaa 在 中，有 .Rt2 23,244PaPbab ，即 . 2 22341136ab b:23a 20. 解：（1）连结 ，则 ，所以 ，解得 ，EFAFxce 故点 的坐标为 ， ,2bc 代入椭圆的方程 中，得 ，解得 ， 21xyab221bc3,1cb 故椭圆 的方程为 .C 24 （2）设 ，当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，12,PxyQykxm 由 得 ，214 ykxm224840kxm 所以 ， 212128,44xkkA 而 ，原点 到直线的距离为 2222121mPQxO ，2mdk
12、 所以 , 21411OPQkmSdA 所以 ,224mkA 即 ，即 ，210214k 设 ，则 ，,Nxy22xm ，1224k 由，消去 和 得 ， 21xy 当直线的斜率不存在时，设点 ，则 ，0,Pxy0012OPQSxy 又 ,解得 , 2014xy02x 所以线段 的中点 ，也在 上，PQ,N21xy 所以 的轨迹方程为 . 21xy 21. 解：（1） ，20fxax 所以切线的斜率 ，整理得 . 2000ln12xaxkxa20ln1x 显然， 是这个方程的解，又因为 在 上是增函数，01x2l1y, 所以方程 有唯一实数解，故 .2ln00x （2） . 22 1lnln,
13、x xaxfaFxFgee 设 ，则 .21lh2hxa 易知 在 上是减函数，从而 .x0,11a 当 ，即 时， ， 在区间 上是增函数.2a20x0, 在 上恒成立，即 在 上恒成立.,hx,Fx 在区间 上是减函数 . 满足题意.F0,12a 当 ，即 时，设函数 的唯一零点为 ，2a2hx0x 则 在 上递增，在 上递减，又 .hx0,0,1,h 又 ,2 lnaaaaeee 在 内有唯一一个零点 ，x,1x 当 时， ，当 时， .00hx,10hx 从而 在 递减， 递增，与在区间 上是单调函数矛盾.Fx, , 不合题意.2a 综合，得， . 22. 解：（1） ,1AEBEAD
14、CBEAD 又 ,CBDC 四点共圆.80,F （2）连接 ,24,60EGFAEADE 以 为直径的圆圆心为 ， .AEG12FAE 23. 解：（1）把 代入 ，可得曲线 的直角坐标cos,inxycosinC 方程为 ，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为 .2y 10,4 （2）点 的直角坐标为 ，它在直线上，在直线上的参数方程中,P20 设点 对应的参数为 .,ABM1t 由题意可知 .120t 把直线的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得 .2580tt 因为 ， 254810 所以 ，则 .12t052PMt 24. 解：（1）显然 , ,b,xabxabxab ，解得 .3a1,2 （2）由(1) 知 .0,yy ,112112yz ，12,0,24yyyzA 当且仅当， ，即 时，等号成立，13 当 时， 取得最小值 .32yz4
