1、 泰兴市第一高级中学 2014年秋学期 阶段练习 四 高 三 数 学 (理 ) 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在 答题卡相应位置上 1函数 222 sin 3 co s 4y x x 的最小正周期为 2函数 ( ) lg(2 3 )xxfx的定义域为 3已知双曲线 221xyab的一条渐近线方程为 20xy ，则该双曲线的离心率为 4 已知实数 x ， y 满足 约束条件 333xyyx，则 225z x y 的最大值为 5数列 na 是等差数列，若 1 3 51, 3, 5a a a 构成公比为 q 的等比数列，则 q _
2、. 6 若曲线 1C ： 4 3 236y x ax x 与曲线 2C ： exy 在 1x 处的切线互相垂直，则实数 a的值为 7 已知 | OA | 1， | OB | 2， AOB 23 ， OC 12 OA 14 OB ， 则 OA 与 OC 的夹角大小 为 8 已知函数 ( ) 2 s in ( 2 ) ( 0 )4f x x 的最大值与最小正周期相同，则函数 ()fx 在 11， 上的单调增区间为 9 已知函数 f(x)2 01 ,02( 1) ,x xxx ， 若 ( ( 2) ( )f f f k ， 则 实数 k 的 取值范围为 10 设 等比数列 na 的 前 n 项和为
3、nS ， 若 4 3 5a a a， ， 成等差数列 ，且 33kS ， 1 63kS ，其中 k N ，则 2kS 的值为 11 已知 F1， F2分别是椭圆 x28y24 1 的左、右焦点， P 是椭圆上的任意一点，则|PF1 PF2|PF1 的取值范围是 _ 12 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 tan 7tanAB ， 223abc ，则 c 13 数列 na 中， 1 6a ，且 11 1nnn aa a nn （ *nN ， 2n ），则 这个 数列的通项公式na 14 已知两条直线 1:l y m 和2 8: ( 0 )21l y mm， 1
4、l 与函数 2|log |yx 的图象从左至右相交于点 ,AB， 2l 与函数 2|log |yx 的图象从左至右相交于点 ,CD，记线段 AC 和 BD 的长度分别为 ,ab.当 m 变化时， ba 的最小值为 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c设向量 ( , )m ac ， (cos ,cos )n C A （ 1）若 mn ， 3ca ，求角 A； （ 2）若 3 sinm n b B ， 4cos5A，求 cosC
5、 的值 16. (本小题满分 14 分 ) 等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 10a ， 2a 为整数，且 4nSS . 求 na 的通项公式； 设11nnnb aa，求数列 nb 的前 n 项和 nT 的最小值 . 17（本小题满分 14 分） 给定椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)，称圆 C1： x2 y2 a2 b2 为椭圆 C 的“伴随圆”已知椭圆 C的离心率为 32 ，且经过 点 (0， 1) （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）若过点 P(0， m)(m 0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1所截得的弦
6、长为 2 2，求实数 m 的值 18 （本小题满分 16 分） 已知等差数列 an的首项 a1 为 a( , 0)a R a.设数列的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有2 4121nna nan . (1) 求数列 an的通项公式及 Sn ; (2) 是否存在正整数 n 和 k,使得 Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列 ?若存在 ,求出 n 和 k 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 19（本小题满分 16 分） 如图（示意），公路 AM、 AN 围成的是一块顶角为 的角形耕地，其中 tan 2在该块土地中 P 处有一小型建筑，经测量，它到公路 AM， AN 的距离分别
7、为 3km， 5km现要 过点 P 修建一条直线公路 BC，将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定 B点的位置，使得该工业园区的面积最 小？并求最小面积 20（本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) ln af x x x x ， aR （ 1）当 0a 时，求函数 ()fx的极大值； （ 2）求函数 ()fx的单调区间； （ 3）当 1a 时，设函数 ( ) ( 1 ) 11ag x f x x x ，若实数 b 满足： ba 且 ()1bg g ab ， ( ) 2 2abg b g ，求证： 45b A M N P （第 19 题图） C B 第四次
8、阶段测试数学（理）参考答案 1. p 2. ( ,0) 3. 5 4.125. 1 6.13e7. 60 8. 13 , 449.12(log 9,4)10. 129 11. 12. 4 13. ( 1)( 2)nn 14. 82 15. 解： （ 1） mn ， cos cosa A c C 由正弦定理，得 si n co s si n co sA A C C 化简，得 sin2 sin2AC 2 分 , (0, )AC p ， 22AC 或 22ACp， 从而 AC （舍）或2ACp2B p 4 分 在 Rt ABC 中， 3tan3aA c，6Ap 6 分 （ 2） 3 cosm n b
9、 B ， c o s c o s 3 s ina C c A b B 由正弦定理，得 2si n c os si n c os 3 si nA C C A B，从而 2sin( ) 3sinA C B A B C p ， sin( ) sinA C B 从而 1sin3B 8 分 4cos 05A， (0, )A p ， (0, )2A p， 3sin5A 10 分 sin sinAB ， ab ，从而 AB ， B 为锐角， 22cos3B 12 分 c os c os( ) c os c os si n si nC A B A B A B = 4 2 2 3 1 3 8 25 3 5 3
10、1 5 14 分 16.解： 由 1 10a ， 2a 为整数知，等差数列 na 的公差 d 为整数又 4nSS ，故 4500aa ， 于是 10 3 010 4 0dd ，解得 10 532d ，因此 3d ， 故数列 na 的通项公式为 13 3nan 1 1 1 1( 1 3 3 ) ( 1 0 3 ) 3 1 0 3 1 3 3nb n n n n ， 于是 1 1 1 1 1 1 13 7 1 0 4 7 1 0 3 1 3 3nT nn 1 13 10 3 10n 因为 nT 单调递增，所以当 1n 时， nT 取得最小值 170 17 解： （ 1）记椭圆 C 的半焦距为 c
11、由题意，得 b 1， ca 32 ， c2 a2 b2， 解得 a 2， b 1 4 分 （ 2）由（ 1）知，椭圆 C 的方程为 x24 y2 1，圆 C1 的方程为 x2 y2 5 显然直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y kx m，即 kx y m 0 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 故方程组y kx m，x24 y2 1 （ *） 有且只有一组解 由（ *）得 (1 4k2)x2 8kmx 4m2 4 0 从而 (8km)2 4(1 4k2)( 4m2 4) 0 化简，得 m2 1 4k2 9 分 因为直线 l 被圆 x2 y2 5 所截得的弦长为 2
12、 2， 所以圆心到直线 l 的距离 d 5 2 3 即 |m|k2 1 3 12 分 由，解得 k2 2， m2 9 因为 m 0，所以 m 3 14 分 19 解：（方法一） 如图 1，以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系 因为 tan 2，故 直线 AN 的方程是 y 2x 设点 P(x0， y0) 因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y0 3 由 P 到直线 AN 的距离为 5， 得 2x0 y05 5，解得 x0 1 或 x0 4(舍去 )， 所以点 P(1， 3) 4 分 显然直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为 y 3 k(x 1)， k ( 2， 0
13、) 令 y 0 得 xB 1 3k 6 分 由 y 3 k(x 1)，y 2x 解得 yC 6 2kk 2 8 分 设 ABC 的面积为 S，则 S 12xByC k2 6k 9k2 2k 18k 9k2 2k 10 分 由 S 2(4k 3)(k 3)(k2 2k)2 0 得 k 34或 k 3 当 2 k 34时， S 0， S 单调递减；当 34 k 0 时， S 0， S 单调递增 13 分 所以当 k 34时，即 AB 5 时， S 取极小值，也为最小值 15 (A) x N P y O B C （ 第 19题图 1） 答： 当 AB 5km 时 ，该工业园区的面积最小，最小面积 为
14、 15km2 16 分 （方法二） 如图 1，以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系 因为 tan 2，故 直线 AN 的方程是 y 2x 设点 P(x0， y0) 因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y0 3 由 P 到直线 AN 的距离为 5， 得 2x0 y05 5，解得 x0 1 或 x0 4(舍去 )， 所以点 P(1， 3) 4 分 显然直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为 y 3 k(x 1)， k ( 2， 0) 令 y 0 得 xB 1 3k 6 分 由 y 3 k(x 1)，y 2x 解得 yC 6 2kk 2 8 分 设 ABC 的面积为 S，
15、则 S 12xByC k2 6k 9k2 2k 18k 9k2 2k 10 分 令 8k 9 t，则 t ( 25， 9)，从而 k t 98 因此 S 1 t(t 98 )2 2 t 98 1 64tt2 34t 225 1 6434 t 225t 13 分 因为当 t ( 25， 9)时， t 225t ( 34， 30， 当且仅当 t 15 时，此时 AB 5， 34 t 225t 的最大值为 4从而 S 有最小值为 15 答： 当 AB 5km 时 ，该工业园区的面积最小，最小面积 为 15km2 16 分 （方法三） 如图 2，过点 P 作 PE AM， PF AN，垂足为 E、 F
16、，连接 PA设 AB x， AC y 因为 P 到 AM， AN 的距离分别为 3， 5， 即 PE 3， PF 5 由 S ABC S ABP S APC A M N P B C （ 第 19 题图 2） E F 12x3 12y 5 12(3x 5y) 4 分 因为 tan 2，所以 sin 25 所以 S ABC 12xy 25 8 分 由 可得 12xy 25 12(3x 5y) 即 3 5x 5y 2xy 10 分 因为 3 5x 5y 2 15 5xy， 所以 2xy 2 15 5xy 解得 xy 15 5 13 分 当且仅当 3 5x 5y 取“”，结合解得 x 5， y 3 5
17、 所以 S ABC 12xy 25有最小值 15 答： 当 AB 5km 时 ，该工业园区的面积最小，最小面积 为 15km2 16 分 20 解：函数 ()fx的定义域为 (0, ) （ 1）当 0a 时， ( ) lnf x x x， 1( ) 1fxx ，令 ( ) 0fx 得 1x 1 分 列表： x (0,1) 1 (1, ) ()fx + 0 ()fx 极大值 所以 ()fx的极大值为 (1) 1f 3 分 (2) 2221( ) 1 a x x afx x x x 令 ( ) 0fx ，得 2 0x x a ，记 14a （） 当 14a 时， ( ) 0fx ，所以 ()fx
18、单调减区间为 (0, ) ； 5 分 （）当 14a时，由 ( ) 0fx 得121 1 4 1 1 4,22aaxx ， 若 1 04 a ，则 120xx， 由 ( ) 0fx ，得 20 xx ， 1xx ；由 ( ) 0fx ，得 21x x x 所以， ()fx 的单调减区间为 1 1 4(0, )2 a， 1 1 4( , )2 a ，单调增区间为1 1 4 1 1 4( , )22aa ； 7 分 若 0a ，由（ 1）知 ()fx 单调增区间为 (0,1) ，单调减区间为 (1, ) ； 若 0a ，则 120xx ， 由 ( ) 0fx ，得 1xx ；由 ( ) 0fx ，
19、得 10 xx ()fx的单调减区间为 1 1 4( , )2 a ，单调增区间为 1 1 4(0, )2 a 9 分 综上所述：当 14a 时， ()fx 的单调减区间为 (0, ) ； 当 1 04 a 时， ()fx 的单调减区间为 1 1 4(0, )2 a， 1 1 4( , )2 a ，单调增区间为 1 1 4 1 1 4( , )22aa ； 当 0a 时， ()fx 单 调 减 区 间 为 1 1 4( , )2 a ， 单调增区间为1 1 4(0, )2 a 10 分 （ 3） ( ) ln( 1)g x x（ 1x ） 由 ( ) ( )1bg g ab 得 1ln ln( 1)1 ab 1 ab， 11ba (舍 )，或 ( 1)( 1) 1ab 21 ( 1)( 1) ( 1)a b b ， 2b 12 分 由 ( ) 2 ( )2abg b g 得， 1l n ( 1 ) 2 l n ( 1 ) 2 l n ( 1 ) ( 1 ) ( * )22abb a b ， 因为 11 ( 1 ) ( 1 ) = 12ab ab ， 所以（ *）式可化为 1ln ( 1 ) 2 ln ( 1 ) ( 1 ) 2b a b ，
