1、 极限与连续的62个典型习题习题1 设，求 .解 记，则有，.另一方面 .因为 ，故 .利用两边夹定理，知，其中 .例如 .习题2 求 .解 , 即 . 利用两边夹定理知.习题3求.解 习题4求 .解（变量替换法）令，则当时，于是, 原式.习题5 求.解（变量替换法）令，原式. 习题6 求 (型)。为了利用重要极限，对原式变形习题7 求. 解 原式 .习题8求 . 解 由于.而.故 不存在。习题9研究下列极限 （1）.原式，其中，. 上式极限等于0，即.（2）.因为，, 所以 .（3）. 原式.习题10计算.解 原式.习题11 .习题12 已知 ，求的值。解 首先，原式， ，而 .习题13 下
2、列演算是否正确？. 习题14 求.解 原式.习题15 求 . 解 ，原式 = 0.习题16 证明 （为常数）。证 （令）.习题17 求 .解 原式.习题18 求 . 解 (连续性法)原式 .习题19 试证方程 （其中）至少有一个正根，并且它不大于.证 设，此初等函数在数轴上连续，在上必连续。 而 若，则就是方程的一个正根。若，则由零点存在定理可知在内至少存在一点，使.即故方程 至少有一正根，且不大于.习题21 求. 解 原式.习题20 设满足且 试证 证 取使得当时有即 亦即于是递推得 从而由两边夹准则有 习题22 用定义研究函数 的连续性。证 首先，当是连续的。同理，当也是连续的。而在分段点
3、处 故习题23 求证 .证 ，而.由两边夹定理知，原式成立.习题24 设任取记 试证 存在，并求极限值。证 故由题设 由于故单调有下界，故有极限。设由解出（舍去）。习题25 设 求解 显然有上界，有下界当 时即假设 则故单增。存在。设则由得即（舍去负值）。当时，有用完全类似的方法可证单减有下界，同理可证 习题26 设数列由下式给出 求 解 不是单调的，但单增，并以3为上界，故有极限。设单减，并以2为下界，设 在等式两边按奇偶取极限，得两个关系 ，解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此的极限存在，记于是故有解出（舍去负值）习题27 设试证 收敛，并求极限。证 显然假设则由，可解出（舍去
4、）。下面证明收敛于由于，递推可得 由两边夹可得故 习题28设试证（1）存在；（2）当时，当时，证 显然有又单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时，归纳假设则而，有 因此时即时）。当时，由的单减性便知即当时，即 （当时）。习题29 习题30 若收敛，则证 收敛，设故必有界。设因此而习题31 求 变量替换求极限法（为求有时可令而）习题32 求 （为自然数）解 令则 因此 习题33 求解 令且当时故 原式习题34 求解 先求令 则上式 故原式用等价无穷小替换求极限习题35 求解 记原式= 习题36 设与是等价无穷小，求证（1）（2）证 即其中故 （2） 习题37 设为自然数，试证使证
5、 （分析：要证使即要证有根） 令，显然在上连续，于是记则又对函数应用介值定理，知使即存在使习题38 设证明使证 （分析：将结果变形）记则于是 或 由介值定理知即 习题39 设且证使证 反证法。若不存在点使即均有连续，不妨设恒有于是此与矛盾。故使习题40 设且又证明至少有一点使证 故在上有最大值和最小值,使 于是 由介值定理，知使习题41 证明方程至少有一个小于1的正根。证 设显然但使即方程至少有一个小于1的正根存在。习题42 设连续，求解 故由于在=1，-1处连续，所以习题43 试证方程至少有一个实根。证 做函数 显然使即在内必有实根。习题44 求的连续区间。（解：先改写为分段函数，结论为：习
6、题45 求为何值时，函数，在上处处连续。只需讨论分段点处的连续性：要在处连续，必有习题46 设，定义 求 解 有下界即有又，即单减有下界，故有极限。设且有有（舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。）习题47（解： 单增有上界，可解出极限）习题48 设且证明使 证 若则取若则可取 则令必有且由零点定理知使即习题49 (选择题)设在内有定义，连续且有间断点，则(A) 必有间断点，(B) 必有间断点，(C) 必有间断点，(D) 必有间断点.解 选D（(A) 因的值域可能很小。(B)反例 而无间断点。(C) 总有定义。习题50 证明方程至少有一个正根，且不超过证 设而如果则即为的零点.如果则由介
7、值定理知使即为所求,故原命题成立.习题51 若函数可以达到最大值和最小值，求证 证 设则对任意有或有由的任意性，可知习题52 设且恒大于零，证明在上连续.证 任取由于在处连续且大于使当时（若为左端点，则应为类似处理有可找到使当时有 取则当时，有故知在处连续。由的任意性，知在上连续.习题53 设 试讨论在处的连续性.解时，在处连续，时， 为的跳跃间断点（第一类间断点).当时为第二间断点。习题54 设函数 问当在处连续。 解即时，在处连续。习题55 求函数的间断点，并判定其类型.解 因当（为任一整数）时，是的间断点。再细分，当时， 不存在，故除处的任何整数都是的第二类间断点。因亦即是的第一类（可去
8、）间断点.习题56 求函数的间断点并判定其类型。解 的分段点为 是的第一类（跳跃）间断点。当时，在点处，无意义，故是的间断点。因为是第一类（可去）间断点。显然都是极限为的第二类间断点。当时，在点时，没定义，故是的间断点。又不存在，故为第二类间断点。习题57 设函数且试证 证 因为连续，所以在上有界。又因为 所以当时，恒有取则存在自然数使得.记，则且 于是 下面估计上式右边三项的绝对值。 （1）=（2）因为在上有界，即使.故当时，恒有 （3）因为故使当时恒有综合（1），（2），（3）取，则当时，恒有 习题68 若和为连续周期函数，当时，有定义，且证明证 先证明和有相同周期。设的周期为,则由于当时, 即得 ，以及= 现在说明的周期也是。若不然，则至少存在一个使设的周期为为任意正整数，以及此时恒有 .但由（*），对充分大的必成立这显然矛盾（矛盾于）下面证明若结论不真，则至少存在一个使记则恒有这与矛盾。于是 习题61 试证 习题62 在 点连续。解如果函数在连续，则23
