三角函数与解三角形.DOC

1、智浪教育 -普惠英才文库 第四章 三角函数与 解 三角形 一基础题组 1. 【 2016 高考上海理数】方程 3sin 1 cos 2xx 在区间 0,2 上的解为 _ . 【答案】 566， 【考点】二倍角公式及三角函数求值 【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解 . 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等 . 2. 【 2016 高考上海理数】已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_ 【答案】 733 【解析】试题分析： 由已知可设 3, 5, 7a b c ， 2 2 2 1cos

2、 22a b cC ab ， 3sin2C， 732sin 3cR C【考点】正弦、余弦定理 【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目 .解答此类试题时，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角 .本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等 . 3. 【 2016 高考上海理数】设 , , 0,2a b cR .若对任意实数都有 2 sin 3 sin3x a bx c ，则满足条件的有序实数组 cba , 的组数为 . 【答案】 4 【解析】试题分析： 智浪教育 -普惠英才文库 当 2a 时， 5 s i

3、n ( 3 ) s in ( 3 2 ) s in ( 3 )3 3 3x x x ， 5( , ) (3, )3bc ，又 4 s i n ( 3 ) s i n ( 3 ) s i n ( 3 )3 3 3x x x ， 4( , ) ( 3, )3bc ，注意到 0,2)c ，所以只有 2 组： 5(23, )3， , 4(2 3, )3， 满足题意； 当 2a 时，同理可得出满足题意的 cba , 也有 2 组：( 2 3, )3， , 2( 23, )3， ，故共有 4 组 . 【考点】三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利

4、用分类讨论的方法，进一步得到 ,bc的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解 .本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等 . 4.【 2016 高考上海文数】若函数 ( ) 4 sin cosf x x a x的最大值为 5，则常数 a _. 【答案】 3 【考点】三角函数 sin( )y A x 的图象和性质 . 【名师点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到 sin( )y A x，结合角的范围求解 . 本题难度不大，能较好 地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等 . 5.【 2016 高考上海文数】设 aR ， 0,2b .若对任意实数

5、x 都有 sin(3 )=sin ( )3x ax b-+，则满足条件的 有序实数对 (a,b)的对数为（ ） . (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】 B 【解析】 试题分析： 5 s in ( 3 ) s in ( 3 2 ) s in ( 3 )3 3 3x x x ， 5( , ) (3, )3ab ， 又 4 s i n ( 3 ) s i n ( 3 ) s i n ( 3 )3 3 3x x x ， 4( , ) ( 3, )3ab ， 注意到 0,2)b ，只有这两组故选 B 【考点】三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨

6、论的方法，确定智浪教育 -普惠英才文库 得到 ,ab的可能取值 .本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力 、数形结合思想、分类讨论思想等 . 6. 【 2015 高考 上 海理 数 】已 知 函数 sinf x x 若存在 1x ， 2x ， ， mx 满足1206mx x x ，且 1 2 2 3 1 12nnf x f x f x f x f x f x （ 2m ， m ），则 m 的最小值 为 【答案】 【解析】因为 sinf x x ，所以 m a x m in( ) ( ) 2mnf x f x f x f x ，因此要使得满足条件 1 2 2 3 1 12nnf x f

7、 x f x f x f x f x 的 m 最小，须取 1 2 3 4 5 6 7 83 5 7 9 1 10 , , , , , , , 6 ,2 2 2 2 2 2x x x x x x x x 即 8.m 【考点定位】三角函数性质 【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决 .极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法 . 7. 【 2015 高考上海文数】 已知点 A 的坐标为 )1,34( ，将 OA绕坐标原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ，则点 B 的纵坐标为（ ） . A. 233 B. 235 C. 211 D. 213 【答案】 D 智浪教育 -

8、普惠英才文库 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式 . 【名师点睛】设直线 OA的倾斜角为 ， )0,0)(,( nmnmB ，则 tanOAk ， )3tan( OBk，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于 m 、的等式求解结论 .数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错 . 8. 【 2014 上海，理 1】 函数 21 2cos (2 )yx 的最小正周期是 . 【答案】2【解析】由 题意 cos4yx ， 242T 【考点】三角函数的周期 . 9. 【 2014 上海 ,文 7】 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值

9、表示） . 【答案】 1arccos3 . 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意 23rl r ，即 3lr ，母线与底面夹角为，则1cos 3rl 为， 1arccos3 . 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数 . 10. 【 2014 上海 ,文 12】 方程 sin 3 cos 1xx在区间 0,2 上的所有解的和等于 . 【答案】 73 【考点】解三角方程 . 11. 【 2013 上海 ,理 4】已知 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c.若 3a2 2ab 3b2 3c2 0，则角 C 的大小是 _(结果用反三角函数值表示 )

10、 【答案】 arccos13 【解析】 3a2 2ab 3b2 3c2 0 c2 a2 b2 23ab ，故 cosC 13 ， C 1arccos3 . 12. 【 2013 上海 ,理 11】若 cosxcosy sinxsiny 12 ， sin2x sin2y 23 ，则 sin(x y) _. 智浪教育 -普惠英才文库 【答案】 23 【解析】 cos(x y) 12 ， sin2x sin2y 2sin(x y) cos(x y) 23 ，故 sin(x y) 23 . 13. 【 2013 上海 ,文 5】已知 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c.若

11、a2 ab b2 c2 0，则角 C 的大小是 _ 【答案】 23 【解析】 a2 ab b2 c2 0 cosC 2 2 2 122 2 3a b c Cab . 14. 【 2013 上海 ,文 9】若 cosxcosy sinxsiny 13 ，则 cos(2x 2y) _. 【答案】 79 【解析】 cosxcosy sinxsiny cos(x y) 13 cos2(x y) 2cos2(x y) 1 79 . 15. 【 2012 上海 ,理 16】在 ABC 中，若 sin2A sin2B sin2C，则 ABC 的形状是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能

12、确定 【答案】 C 【解析】由正弦定理可知 a2 b2 c2， 从而 2 2 2cos 02a b cC ab， C 为钝角，故该三角形为钝角三角形 16. 【 2012 上海 ,文 4】若 d (2,1)是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为 _(结果用反三角函数值表示 ) 【答案】 1arctan2 【解析】设直线 l 的倾斜角为 ，则 1tan 2 ， 所以 1arctan2 . 17. 【 2011 上海 ,理 6】在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点 C，若 CAB 75 ， CBA 60 ，则 A、 C 两点之间的距离为 _千米 【答案】 6 智浪教育 -普

13、惠英才文库 【解析】 18. 【 2011 上海 ,理 7】若圆锥的侧面积为 2 ，底面面积为 ，则该圆锥的体积为 _ 【答案】 33【解析】 19. 【 2011 上海 ,文 4】函数 y 2sin x cos x 的最大值为 _ 【答案】 5 【解析】 20. 【 2010 上海 ,理 18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 113 ， 111 ， 15 ，则此人能 答 （ ） （ A）不能作出这样的三角 形 . （ B）作出一个锐角三角形 . （ C）作出一个直角三角形 . (D) 作出一个钝角三角形 . 【答案】 D 【点评】本题考查余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断

14、三角形的形状，由于条件中是三角形三条高的长度，则需转化为三边长度，从而考查运动变化观、数形结合思想 . 21. 【 2010 上海 ,文 18】若 ABC 的三个内角满足 sinA sinB sinC 5 11 13，则 ABC( ) A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 智浪教育 -普惠英才文库 【答案】 C 【解析】设三角形的三边长分别为 a， b， c， 由正弦定理知， a b c 5 11 13，设 a 5t， b 11t， c 13t. a2 b2 (5t)2 (11t)2 146t2，而 c2 (13t)2 169t2，

15、 a2 b2 c2， C 为钝角，即 ABC 为钝角三角形 22. (2009 上海 ,理 6)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是 _. 【答案】 21 【解析】因 y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x = 1)42sin(2 x , 所以 y 的最小值为 21 . 23. (2009 上海 ,文 13)已知函数 )(xf =sinx+tanx,项数为 27 的等差数列 an满足 an ( 2 ,2),且公差 d0. 若 f(a1)+f(a2)+f(a 27)=0,则当 k=_时 ,f(ak)=0. 【答案】 14 【解析】函数 )(xf =sinx+tanx,

16、x ( 2 ,2 )是奇函数 ,且在给定的定义域上单调递增 .在等差数列an中 ,若满足 a1+a27=0(d0), 则 f(a1)+f(a27)=0. 由等差数列的性质易得 f(a1)+f(a27)=f(a2)+f(a26)=f(a 13)+f(a15)=0, 所以 f(a14)=0,此时 k=14. 24. 【 2008 上海 ,理 6】函数 f(x) 3sin x +sin(2 +x)的最大值是 . 25. 【 2008 上海 ,理 10】某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边 界是长轴长为 2a，短轴长为 2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分

17、别为 h1、 h2，且两个导航灯在 海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、 乙 导航灯的仰角分别为 1、 2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 智浪教育 -普惠英才文库 26. 【 2007 上海 ,理 6】函数 sin sin32f x x x 的最小正周期是 _T 27. 【 2007 上海 ,理 11】已知圆的方程 22 11xy ， P 为圆上任意一点（不包括原点） .直线OP 的倾斜角为弧度， OP d ，则 df 的图象大致为 _ 28. 【 2007 上海 ,理 17】在三角形 ABC 中， 252 , , c o

18、s4 2 5BaC ，求三角形 ABC 的面积 S 。 智浪教育 -普惠英才文库 29. 【 2007 上海 ,文 4】函数 sec cos2y x x 的最小正周期 T . 【答案】 【解析】 30. 【 2006 上海 , 理 6 】如 果 cos 51 ，且 是 第 四象 限的 角 ，那 么 )2cos( 【答案】 265 【解析】如果 cos 51 ，且 是第四象限的角， 26sin 5 ，那么 )2cos( sin = 265 31. 【 2006 上海 ,理 8】在极坐标系中， O 是极点，设点 A（ 4， 3 ）， B（ 5， 65 ），则 OAB 的面积是 【答案】 5 【解析

19、】在极坐标系中， O 是极点，设点 A（ 4， 3 ）， B（ 5， 65 ）， AOB=2 76 =56 ，所以 OAB 的面积是 154 5 sin 526S 32. 【 2006 上海 ,理 17】（本题满分 12 分） 求函数 y 2 )4cos()4cos( xx x2sin3 的值域和最小正周期 【答案】 2,2, 智浪教育 -普惠英才文库 33. 【 2006 上海 ,文 6】函数 sin cosy x x 的最小正周期是 _. 【答案】 【解析】函数 sin cosy x x =21 sin2x，它的最小正周期是 . 34. 【 2005 上海 ,理 9】在 ABC 中，若 1

20、20A ， AB=5， BC=7，则 ABC 的面积 S=_. 【答案】 1534 【解析】由余弦定理 1 2 0c o s2222 ACBCACBCAB 解的 AC=3，因此 ABC 的面积 4 3151 2 0s in21S ACAB 35. 【 2005 上海 ,文 5】函数 xxxy co ssin2co s 的最小正周期 T=_. 【答案】 【解析】 15c o s 2 s in c o s c o s 2 s in 2 s in ( 2 )22y x x x x x x ，得最小正周期为 【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达 到转化 . 36. 【 2005 上海 ,文 6】若 71cos ， 2,0，则 3cos =_. 【答案】 1114 【解析】 2,0， 21 4 3sin 1 ( )77 ， 11c o s c o s c o s sin sin3 3 3 1 4 . 【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题 .