1、 第 1 页 共 9 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修 +选修 II） 第 I 卷（共 60 分） 参考公式：如果事件 A、 B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 如果事件 A、 B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 一选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项 . （ 1） 2211ii（ ） （ A） i （ B） i （ C） 1 （ D） 1 （ 2）函数 1 0xyxx的反函数图像大致是 （ ） （ A） （ B）
2、（ C） （ D） （ 3）已知函数 sin c o s1 2 1 2y x x ，则下列判断正确的是（ ） （ A）此函数的最小周期为 2 ，其图像的一个对称中心是 ,012（ B）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是 ,012（ C）此函数的最小周期为 2 ，其图像的一个对 称中心是 ,06（ D）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是 ,06（ 4）下列函数既是奇函数，又在区间 1,1 上单调递减的是（ ） 第 2 页 共 9 页 （ A） ( ) sinf x x （ B） ( ) 1f x x （ C） 1() 2 xxf x a a（ D） 2( ) ln 2 x
3、fx x （ 5）如果3 213 nxx的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中31x的系数是（ ） （ A） 7 （ B） 7 （ C） 21 （ D） 21 （ 6）函数 21s i n ( ) , 1 0 ,() , 0 .xxxfx ex ，若 (10 ( ) 2,f f a则 a 的所有可能值为（ ） （ A） 1 （ B） 22 （ C） 21, 2 （ D） 21,2 （ 7）已知向量 ,ab，且 2 , 5 6AB a b BC a b ， 72CD b，则一定共线的三点是（ ） （ A） A、 B、 D （ B） A、 B、 C （ C） B、 C、 D （ D） A、
4、C、 D （ 8）设地球的半径为 R ，若甲地位于北纬 45 东经 120 ，乙地位于南纬 75 东经 120 ，则甲 、乙两地的球面距离为（ ） （ A） 3R （ B） 6R （ C） 56R （ D） 23R （ 9） 10 张奖券中只有 3 张有奖， 5 个人购买，至少有 1 人中奖的概率是（ ） （ A） 310 （ B） 112 （ C） 12 （ D） 1112 （ 10）设集合 A、 B 是全集 U 的两个子集，则 AB 是 UC A B U的（ ） （ A）充分不必要条件（ B）必要不充分条件（ C）冲要条件（ D）既不充分也不必要条件 （ 11） 01a，下列不等式一定成立
5、的是（ ） （ A）( 1 ) ( 1 )l og (1 ) l og (1 ) 2aaaa （ B）( 1 ) ( 1 )l og (1 ) l og (1 )aaaa （ C）( 1 ) ( 1 )l o g (1 ) l o g (1 )aaaa ( 1 ) ( 1 )og (1 ) l og (1 )aaaa （ D）( 1 ) ( 1 )l o g (1 ) l o g (1 )aaaa ( 1 ) ( 1 )og (1 ) l og (1 )aaaa （ 12）设直线 : 2 2 0l x y 关 于原点对称的直线为 l ，若 l 与椭圆 22 14yx 的交点为 A、 B、，点
6、P 为椭圆上的动点，则使 PAB 的面积为 12 的点 P 的个数为（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 第 3 页 共 9 页 第 II 卷（共 90 分） 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .答案须填在题中横线上 . （ 13） 2222li m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _( 1 )nnnnCCn . (14)设双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的右焦点为 F ，右准线 l 与两条渐近线交于 P、 Q 两点，如果 PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 _e . (15)设 x 、 y 满足约束条件5,
7、3 2 12,0 3,0 4.xyxyxy 则使得目标函数 65z x y 的最大的点 (,)xy 是_ . (16)已知 mn、 是不同的直线， 、 是不重合的平面，给出下列命题： 若 / , , ,mn 则 /mn 若 , , / ,m n m 则 /若 , , /m n m n ，则 / ,mn是两条异面直线，若/ / , / / , / / , / /m m n n ，则 / 上面的命题中，真命题的序号是 _ （写出所有真命题的序号） 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17）（本小题满分 12 分） 已知向量 (cos , si
8、n )m 和 2 s i n , c o s , , 2 ，且 82,5mn 求cos 28的值 . (18)(本小题满分 12 分 ) 袋中装有黑球和白球共 7 个 ,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1,7 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个 第 4 页 共 9 页 球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终 止所需要的取球次数 . （ I）求袋中所有的白球的个数； （ II）求随机变量 的概率分布； （ III）求甲取到白球的概率 . （ 19）（本小题满分 12 分） 已知 1x 是函数 32( )
9、 3 ( 1 ) 1f x m x m x n x 的一个极值点，其中 , , 0m n R m， （ I） 求 m 与 n 的关系式； （ II）求 ()fx的单调区间； （ III）当 1,1x 时，函数 ()y f x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ，求 m 的取值范围 . (20)(本小题满分 12 分 ) 如图，已知长方体 1 1 1 1,ABCD A B C D 12, 1,AB AA 直线 BD 与平面 11AABB 所成的角为 30 ， AE 垂直 BD 于 E ， F 为 11AB 的中点 . （ I）求异 面直线 AE 与 BF 所成的角； （ II）求平面 BD
10、F 与平面 1AAB 所成的二面角； （ III）求点 A 到平面 BDF 的距离 . （ 21）（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的首项 1 5,a 前 n 项和为 nS ，且 *1 5 ( )nnS S n n N （ I）证明数列 1na 是等比数列； （ II）令 212() nnf x a x a x a x ，求函数 ()fx在点 1x 处的导数 (1)f 并比较 2 (1)f 与223 13nn 的大小 . (22)(本小题满分 14 分 ) 已知动圆过定点 ,02p，且与直线 2px 相切，其中 0p . （ I）求动圆圆心 C 的轨迹的方程； （ II）设 A、 B是
11、轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA和 OB 的倾斜角分别为 和 ，当 ,A1 AB CD1 BF1C1DEy AxoB,02pFMN2px 第 5 页 共 9 页 变化且 为定值 (0 ) 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标 . 2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） （试题参考答案） 理科数学（必修 +选修 II） 一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B D C C A D D A A B 二填空题 13 32 14. 2e 15. 2,3 16. 三 .解答题 17.考查知识点：（三角和向量相结合）
12、 解 : c o s s i n 2 , c o s s i nmn 2 2c o s s i n 2 ( c o s s i n )mn = 4 2 2 (c o s s in )= 4 4 cos 4= 2 1 cos 4 由已知 82,5mn ,得 7cos4 25又 2c o s 2 c o s ( ) 14 2 8 2 16cos ( )2 8 25 ,2 598 2 8 8 cos 028 4cos 2 8 5 18.（考查知识点：概率及分布列） 解 :(I)设袋中原有 n 个白球 ,由题意知 227( 1 )1 ( 1 )2767 7 62nnnC n nC 第 6 页 共
13、9 页 可得 3n 或 2n (舍去 )即袋中原 有 3 个白球 . (II)由题意 , 的可能取值为 1,2,3,4,5 3( 1) ;7P 4 3 22;7 6 7P 4 3 2 6( 3 ) ;7 6 5 3 5P 4 3 2 3 3( 4 ) ;7 6 5 4 3 5P 4 3 2 1 3 1( 5 ) ;7 6 5 4 3 3 5P 所以 的分布列为 : 1 2 3 4 5 P 37 27 635 335 135 (III)因为甲先取 ,所以甲只有可能在第一次 ,第三次和第 5 次取球 ,记 ”甲取到白球 ”为事件 A ,则 22( ) 1 3 5 35P A P P P 19.（考
14、查知识点：函数结合导数） 解 (I) 2( ) 3 6 ( 1 )f x m x m x n 因为 1x 是函数 ()fx 的一个极值点 , 所以 (1) 0f , 即3 6 ( 1) 0m m n ，所以 36nm （ II）由（ I）知， 2( ) 3 6 ( 1 ) 3 6f x m x m x m = 23 ( 1) 1m x xm 当 0m 时，有 211m ，当 x 变化时， ()fx与 ()fx 的变化如下表： x 2,1 m 21m 21 ,1m 1 1, ()fx 0 0 0 0 0 ()fx 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 第 7 页 共 9 页 故有上表
15、知，当 0m 时， ()fx在 2,1m 单调递减，在 2(1 ,1)m 单调递增，在 (1, ) 上单调递减 . （ III）由已知得 ( ) 3f x m ，即 2 2 ( 1) 2 0m x m x 又 0m 所以 2 22( 1) 0x m xmm 即 2 22( 1 ) 0 , 1 , 1x m x xmm 设 2 12( ) 2 (1 )g x x xmm ，其函数开口向上，由题意知 式恒成立， 所以 22( 1 ) 0 1 2 0(1 ) 0 10g mmg 解之得 43 m又 0m 所以 4 03 m 即 m 的取值范围为 4,0320 (考查知识点：立体几何 ) 解：在长方体
16、 1 1 1 1ABCD A B C D 中，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 y 轴， 1AA 所在的直线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 12, 1,AB AA可得 (0 , 0, 0), (2, 0, 0)AB， (1,0,1)F 又 AD 平面 11AABB ，从而 BD 与平面 11AABB 所成的角为 30DBA ，又 2AB ， AE BD ，231, 3AE AD从而易得 1 3 2 3, , 0 , 0 , , 02 2 3ED （ I）因为 13, , 0 , 1 , 0 , 122A E B F 所以 c o s , A E B FA E
17、B FA E B F= 1 2242 易知异面直线 AE BF、 所成 的角为 2arccos 4 （ II）易知平面 1AAB 的一个法向量 (0,1,0)m 设 ( , , )n x y z 是平面 BDF 的一个法向量，23( 2, , 0)3BD 由 00n BF n BFn BD n BD 023203xzxy 第 8 页 共 9 页 即 1, 3,1n 所以 15c o s ,5mnmn mn即平面 BDF 与平面 1AAB 所成的二面角的大小（锐角）为 15arccos 5 （ III）点 A 到平面 BDF 的距离，即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值，
18、 所以距离 co s ,d AB AB n = 255AB nn 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 255 21（考查知识点 :数列） 解：由已 知 *1 5 ( )nnS S n n N 可得 12 , 2 4nnn S S n 两式相减得 1121n n n nS S S S 即 1 21nnaa 从而 1 1 2 1nnaa 当 1n 时 212 1 5SS 所以 2 1 126a a a 又 1 5a 所以 2 11a 从而 211 2 1aa 故总有 1 1 2( 1)nnaa ， *nN 又 115, 1 0aa 从而 1 1 21nnaa 即数列 1na 是等比数列； （ I
19、I）由（ I）知 3 2 1nna 因为 212() nnf x a x a x a x 所以 112( ) 2 nnf x a a x n a x 从而 12(1) 2 nf a a na = 23 2 1 2 3 2 1 ( 3 2 1 )nn = 23 2 2 2 2 nn -12 = 1 ( 1)3 1 2 62n nnn 由上 22 (1 ) 23 13 12 1 2 nf n n n - 212 2 1nn= 1 2 1 2 1 2 1 ( 2 1 )nn n n =12 ( 1) 2 (2 1)nnn 当 1n 时，式 =0 所以 22 (1) 23 13f n n ； 当 2n
20、 时，式 =-12 0 所以 22 (1) 23 13f n n 当 3n 时， 10n 又 0 1 12 1 1 nn n nn n n nC C C C 2 2 2nn 所以 1 2 2 1 0nnn 即 0 从而 2 (1)f 223 13nn 22（ 考查知识点 :圆锥 曲线） 第 9 页 共 9 页 解：（ I）如图，设 M 为动圆圆心， ,02p为记为 F ，过点 M 作直线 2px 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 2px 的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中 ,02pF为焦点， 2px 为准线，所以轨迹方程为
21、 2 2 ( 0)y px P； （ II）如图，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y，由题意得 12xx （否则 ）且 12,0xx 所以直线 AB的斜率存在，设其方程为 y kx b，显然 221212,yyxxpp，将 y kx b与 2 2 ( 0)y px P联立消去 x ，得 2 2 2 0ky py pb 由韦达定理知1 2 1 222,p pby y y ykk （ 1 ）当 2 时，即 2 时， tan tan 1所以 121 2 1 212 1, 0yy x x y yxx ，2212122 04yy yyp 所以 2124yy p 由知： 22 4pb pk
22、 所以 2.b pk 因此直线 AB 的方程可表示为2y kx Pk ，即 ( 2 ) 0k x P y 所以直线 AB 恒过定点 2 ,0p （ 2） 当 2 时，由 ，得 tan tan( ) = tan tan1 tan tan= 122122 ( )4p y yyy p 将式代入上式整理化简可得： 2tan 2pb pk ，所以 2 2tanpb pk， 此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx2 2tanp pk 即 2( 2 ) 0ta npk x p y 所以直线 AB 恒过定点 22,tanpp 所以由（ 1）（ 2）知，当 2 时，直线 AB 恒过定点 2 ,0p ，当 2 时直线 AB 恒过定点22,tanpp .
