1、1毕业论文开题报告数学与应用数学关于极限运算的探索一、选题的意义极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题,正是由于它采用了极限的思想方法。极限法揭示了变量与
2、常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限理论在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的。借助极限法,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识准确。无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）极限是高等数学的重点内容之一,是贯穿高等数学始终的重要工具,借助于极限进行推理是这门课程的基本手段,因此掌握好极限的求法是学习高等数学的关键一环。极限的运算题目类型多,而且技巧性强,灵活多变,难教也难学。极限被称为高等数学学
3、习的第一个难关。函数极限的计算方法主要有1利用极限定义以及极限四则运算法则求极限。2利用连续函数性质求极限。3利用两个重要极限求极限。4利用洛必塔法则求极限。5利用夹逼定理求极限。6利用等价无穷小量替代法求极限。7利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）1确定论文题目，研究方向；（2011年3月1日2011年3月6日）22通过图书馆、网络收集相关资料，并进行文献整理，根据任务书撰写开题报告，形成论文框架，翻译两篇外文文献；（2011年3月7日2011年3月20日）3撰写文献综述，根据论文大纲，形成论文初稿；（2011年3月21日2011年4月4
4、日）4根据指导老师意见修改论文，得到第二稿，进行中期检查；（2011年4月5日2011年4月17日）5修改论文，并定稿；2011年4182011年4月24日6打印，送审，准备论文答辩。2011年4月25日2011年4月30日方法1文献资料法阅读、学习相关文献，进行归纳、总结、借鉴，并适当深化。2举例说明法运用典型例子说明各种求函数极值的方法的应用，体现极值在实际生活中的应用。四、毕业论文（设计）提纲1引言2极限理论发展的概况3求解极限的方法3求解极限方法的应用5总结五、主要参考文献1康彩萍浅谈求函数极限的方法J科技创新导报，2010，41602杨春艳浅谈高职高专数学中几种求极限的方法J黑龙江科
5、技信息，1461473伏玲娇，孟凤娟计算极限的几种常见方法J科技信息，2010,71521554高彦，函数极限的运算方法J黑龙江科技信息,2010，171555崔立功，极限求法J科技信息，2010,112712726殷俊峰，求极限方法研究J长春大学学报,2010,20（8）18217张冬堂，姜景连运用反例加深对几种求极限方法的理解J中国科技信息,2010,122872888魏东仓，函数极限计算中常用的几种理论J内江科技，2010，8（8）81879王小利，任俊峰再谈两个重要极限的思想及应用J科技创新导报,2010,2312112210廖红菊，求极限的方法与技巧J湖北广播大学学报,2010,30
6、（10）148149311鲁元海，中学数列极限及其运算J内江科技,2009,211612江庆华，复合函数极限的运算法则探究J中国西部科技,2009,31939413宋桢桢，高等数学极限运算的教学方法J科技创新导报,2009,3212514李伟加，四种求极限的方法J广东技术师范学院院报,2008,3394115张敏捷，函数极限的几种特殊求法J黄石理工学院学报,2008,24，（2）56584毕业论文文献综述数学与应用数学关于极限运算的探索一、国内外古代极限思想在中国古代数学史上,无限思想极限的最初雏形占有非常重要的地位。很多哲学思想无不渗透着极限的光辉思想。著名的庄子一书中有言一尺之棰,日取其半
7、,而万世不竭。从中就可体现出我国早期对数学中无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中,且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的割圆术。公元前三世纪,数学之神希腊数学家阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形。毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现,以及在关于数与无限这两个概念的定义中就已经孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。柏拉图和德谟克利特学派探索过无穷小量观念等等第二次数学危机有力地推动了极限理论的发展,其源于微增量相关的一类计算。经过一个多世纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成
8、的欧拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦出来,微积分理论获得了空前丰富。法国著名数学家柯西的研究使分析基础严密化的工作向前迈出了第一大步,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念建立在了较坚实的基础上。不过,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的极限理论还不可能完善。柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学建在了
9、牢固可靠的基础之上。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体5体积等问题,正是由于它采用了极限的思想方法。极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证
10、法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限理论在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的。借助极限法,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识准确。无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展。无限个数目的和不是一般的代数和,把它定义为部分和的极限,就是借助极限法,从有限认识无限。变与不变反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互转化,这种转化是数学科学的有力杠杆之一。例如,求变速直线运动的瞬时速度,这时速度是变量,为此人们先在小范围内用匀速代替变速,并求其平均速度,把瞬时速度定义为
11、平均速度的极限,就是借助极限法,从不变认识变。曲线形与直线形有本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一直线形的面积容易求得,要求曲线形的面积,只用初等的方法就不行了。刘徽用圆内接多边形逼近圆,一般地,人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积,都是借助极限法,从直线形认识曲线形。质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一,在数学研究工作中起重要作用。无穷级数求和、瞬时速度等都是借助极限法,从近似认识准确。二、进展情况随着数学科学的研究，我们的知识体系也趋于完善。极限理论是数学分析的基础,数学分析主要研究微分和积分,而极限又是微积分学大厦的基石,可以说
12、没有充分的极限理论,就不可能有今天数学蓬勃发展的局面。如今数学分析已经成为一门重要的数学分支,对整个数学的面貌的改变起到了不可磨灭的贡献。微积分作为一种重要的数学工具,已经渗透到科学的各个领域。作为微积分基石的极限理论也在随着科学技术的发展而发展,极限理论为整个科学提供了一个强大工具。三、研究方向求函数极限，我们可以从很多方面入手。利用定理和准则、两个重要极限、极限的运算法则、初等函数的连续性、洛必达法则、泰勒公式、定积分求和式极限、极限存在的必要条件、等价无穷小代换对与一些特殊极限，也可以探讨一下它的解题思路（例如两个重要极限）。另外还可以结合近期的报刊和一些现金的思想更深一步的研究函数极限
13、。四、存在的问题极限运算是高等数学的重要内容但学生在运算过程中经常会出现一些认识上的偏差,6致使解题失误下面就是教学中遇到的学生所出现的一些问题。1忽视等价无穷小替换的条件2忽视洛比达定理的条件3忽视极限运算法则适用条件4忽视变量的变化过程。五、参考文献1康彩萍浅谈求函数极限的方法J科技创新导报，2010，41602杨春艳浅谈高职高专数学中几种求极限的方法J黑龙江科技信息，1461473伏玲娇，孟凤娟计算极限的几种常见方法J科技信息，2010,71521554高彦，函数极限的运算方法J黑龙江科技信息,2010，171555崔立功，极限求法J科技信息，2010,112712726殷俊峰，求极限方
14、法研究J长春大学学报,2010,20（8）18217张冬堂，姜景连运用反例加深对几种求极限方法的理解J中国科技信息,2010,122872888魏东仓，函数极限计算中常用的几种理论J内江科技，2010，8（8）81879王小利，任俊峰再谈两个重要极限的思想及应用J科技创新导报,2010,2312112210廖红菊，求极限的方法与技巧J湖北广播大学学报,2010,30（10）14814911鲁元海，中学数列极限及其运算J内江科技,2009,211612江庆华，复合函数极限的运算法则探究J中国西部科技,2009,31939413宋桢桢，高等数学极限运算的教学方法J科技创新导报,2009,32125
15、14李伟加，四种求极限的方法J广东技术师范学院院报,2008,3394115张敏捷，函数极限的几种特殊求法J黄石理工学院学报,2008,24，（2）56587（20_届）本科毕业设计数学与应用数学关于极限运算的探索89目录1、极限的发展历史102、求解极限的方法1121极限的定义、性质和存在的条件11211函数极限的定义11212函数极限的性质12213函数极限的存在条件1322几种常用的求解极限的方法13221利用定理和准则13222利用两个重要极限14223利用极限运算法则15224利用初等函数的连续性18225利用洛必达法则18226利用泰勒公式21227利用定积分求和式极限21228利
16、用级数收敛的必要条件22229利用等价无穷小代换,求函数的极限222210利用有界变量与无穷小量之积仍为无穷小,求函数的极限232211利用无穷小量与无穷大量的倒数关系,求函数的极限232212利用函数在0X点极限存在的充要条件,求函数的极限233、求解极限方法的应用2431无穷小运算定理,无穷小因子代换定理2432利用洛必达法则2433利用夹逼定理2534总结254、极限运算中值得注意的几个问题2541忽视等价无穷小替换的条件2542忽视洛必达定理的条件2643忽视极限运算法则适用条件2844忽视变量的变化过程285、总结296、致谢错误未定义书签。7主要参考资料2910关于极限运算的探索摘
17、要本文主要从极限的发展历史、极限的求解方法、极限的应用、极限求解中的几个问题展开论述，探求极限运算规律关键词极限1、极限的发展历史在中国古代数学史上,无限思想极限的最初雏形占有非常重要的地位很多哲学思想无不渗透着极限的光辉思想著名的庄子一书中有言一尺之棰,日取其半,而万世不竭从中就可体现出我国早期对数学中无穷的认识水平而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中,且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的割圆术公元前三世纪,数学之神希腊数学家阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形毕达哥拉斯学派关于不可公度量的发现,以及在关于数与无限这两个概念的定义中
18、就已经孕育了微积分学的关于无穷的思想方法柏拉图和德谟克利特学派探索过无穷小量观念等等第二次数学危机有力地推动了极限理论的发展,其源于微增量相关的一类计算经过一个多世纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦出来,微积分理论获得了空前丰富法国著名数学家柯西的研究使分析基础严密化的工作向前迈出了第一大步,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念建立在了较坚实的基础上不过,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的极限理论还不可能完善柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过
19、自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学建在了牢固可靠的基础之上11极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法
20、,也是数学分析与初等数学的本质区别之处数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题,正是由于它采用了极限的思想方法极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用极限理论在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的借助极限法,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识准确无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展无限个数目的和不是一般的代数和,把它定义为部分和的极限,就是借助极限法,从有限认识无限变与不变反映
21、了事物运动变化与相对静止两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互转化,这种转化是数学科学的有力杠杆之一例如,求变速直线运动的瞬时速度,这时速度是变量,为此人们先在小范围内用匀速代替变速,并求其平均速度,把瞬时速度定义为平均速度的极限,就是借助极限法,从不变认识变曲线形与直线形有本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一直线形的面积容易求得,要求曲线形的面积,只用初等的方法就不行了刘徽用圆内接多边形逼近圆,一般地,人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积,都是借助极限法,从直线形认识曲线形质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一,在数学研究工作中起重
22、要作用无穷级数求和、瞬时速度等都是借助极限法,从近似认识准确下面将具体讨论求解极限的常用方法和应用2、求解极限的方法21极限的定义、性质和存在的条件211函数极限的定义1X趋于时函数的极限设F为定义在,A上的函数，A为定数若对任给的0，存在正数M（A），使12得当XM时有FXA，则称函数F当X趋于时以A为极限，记作LIMXFXA或FXAX2X趋于0X时的函数极限函数极限的定义设函数F在点0X的某个空心邻域00UX内有定义,A为定数若对任给的0,存在正数,使得当00XX时有FXA,则称函数F当X趋于0X时以A为极限,记作0LIMXXFXA或0FXAXX212函数极限的性质定理1（唯一性）若极限0
23、LIMXXFX存在，则此极限是唯一的定理2（局部有界性）若0LIMXXFX存在，则F在0X的某空心邻域00UX内有界定理3（保不等式性）设0LIMXXFX与0LIMXXGX都存在，且在某邻域00UX内有FXGX，则00LIMLIMXXXXFXGX定理4（迫敛性）设00LIMLIMXXXXFXGXA，且在某00UX内有FXHXGX，则0LIMXXHXA定理5（四则运算法则）若极限0LIMXXFX与0LIMXXGX都存在，则函数FG，FG当0XX时极限也存在，且1）000LIMLIMLIMXXXXXXFXGXFXGX；2）000LIMLIMLIMXXXXXXFXGXFXGX；又若0LIM0XXGX
24、，则/FG当0XX时极限存在，且有3）000LIMLIM/LIMXXXXXXFXFXGXGX13213函数极限的存在条件定理6归结原则设F在00UX内有定义极限0LIMXXFX存在的充要条件是对任何含于00UX且以0X为极限的数列NX,极限LIMNNFX都存在且相等定理7设函数F在点0X的某空心右邻域00UX有定义0LIMXXFXA的充要条件是对任何以0X为极限的递减数列00NXUX,有LIMNNFXA定理8设F为定义在00UX上的单调有界函数,则右极限0LIMXXFX存在定理9柯西准则设函数F在00UX内有定义0LIMXXFX存在的充要条件是任给0,存在正数,使得对任何00,XXUX有FXF
25、X22几种常用的求解极限的方法221用定理和准则比如夹逼定理及连续性定理在解决N项和的极限计算时，有一种方法就是夹逼准则，但是教材中都没有交代利用夹逼准则计算特定数列的极限时的基本原理，以及该方法所适应的形式与处理问题的技巧我们看下例例1求极限22212LIM12NNNNNN解记2221212NNNNNN，于是有222212111121NNNNNNNN，且22221212NNNNNNNNNNNN由于211LIM212NNNN故原极限222121LIM122NNNNNN其目的是通过缩小与放大使得表达式简化便于得出和式的通项形式而计算出极限，准14则要求缩小与放大后对应两边的极限必须相等，因此应当
26、考虑,1,2,NNNIIIBACIN，即121112NNNNNNNNNNNBBAAACCC时，必须有LIM0,1,2,NNIINCBIN，LIM1,1,2,NINNICINB，或者LIM01,2,NNIINCBIN注意这两个条件并不等价例2求极限222222111LIM12NNNNN解记22222211112NNNNN，显然222111111NNNN，且22222211112NNNNNNNN因为2LIM01NNN，1LIM02NN所以222222111LIM012NNNNN结论在使用夹逼准则准则的时候，对其中的每一个“小项”NIAI1，2，N进行放大或缩小所引发的误差必须是1N的高阶无穷小，才
27、能保证所引发的总体误差是无穷小显然，例2的形式是两个条件都满足的，而在例3中，虽然22211LIMLIM11,2,2NINNNICNINNNB，22222222111LIMLIMLIM0,1,2,11NNIINNNNNNNCBNINNNNNNN仍然是满足要求，故结论是正确222利用两个重要极限0SINLIM1XXX；1LIM1XXEXDBX15OCA图1例如利用夹逼定理证明首先注意到,函数SINXX对于一切0X都有定义在图1所示的单位圆中,设圆心角02AOBXX,点A处的切线与OB的延长线相交于D,又BCOA,则SINXCBXAB弧长,TANXAD因为AOB的面积圆扇形AOB的面积AOD的面积
28、所以111SINTAN222XXX即SINXXTANX不等号各边都除以SINX,就有11SINCOSXXX或者SINCOS1XXX1因为当X用X代暂时,COSX与SINXX都不变,所以上面的不等式对于开区间,02内的一切X也是成立的为了对1式应用夹逼定理,下面来证0LIMCOS1XX事实上,当02X时,0|COSX1|1COSX22SIN2X22X即0|1COSX|22X,（2）当0X时,202X,由夹逼定理有0LIM1COS0XX,所以0LIMCOS1XX由于0LIMCOS1XX,0LIM11X，由不等式2及夹逼定理得0SINLIM1XXXX利用“单调有界数列必有极限”准则可以证明1LIM1
29、XXEX,在此不再赘述223利用极限运算法则在极限的四则运算法则中，有一点是要特别注意的对商的极限讨论时，分母的极限不能为0但是根据无穷小运算的结果，我们有下面的定理16定理10设FX,GX在0XU内有定义，且0LIM0XXGX，0LIMXXFXAGX，则0LIM0XXFX该定理对自变量的各种变化趁势都成立，借助定理5可以解决下面的问题已知221LIM4SIN1XXAXBXX，求,AB解由于21LIMSIN10XXX由定理1可知21LIM0XXAXB，因为21XAXBXXB,故原极限为222211111LIMLIMLIM14SIN1SIN1SIN1XXXXAXBXXBXXBBXXXXXX解之得
30、2,3AB极限四则运算法则的条件是充分而非必要的,因此,利用极限四则运算法则求函数极限时,必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件,满足条件者,方能利用极限四则运算法则进行求之不满足条件者,不能直接利用极限四则运算法则求之但是,并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限,而是需将函数进行恒等变形,使其符合条件后,再利用极限四则运算法则求之例3求22125LIM1XXXX解22211112221111LIM25LIMLIM2LIM525125LIM41LIMLIM111LIM1XXXXXXXXXXXXXXX例4求3211LIM1XXX由于当321,10,10XXX因此321
31、1LIM1XXX不符合四则运算法则条件，需进行恒等变换即消去当1X时，分子、分母为0的因子X1后方可利用极限四则运算法则求之17解322211111113LIMLIMLIM11112XXXXXXXXXXXXX例5求3813LIM2XXX由于当8X时，3130,20XX，不符合四则运算法则条件，需进行恒等变换，即消去当8X时，分子、分母为0的因子X8后方可利用极限四则运算法则求之323388323313134213LIMLIM224213XXXXXXXXXXXX3233238884242LIMLIM213813XXXXXXXXXX例6求3113LIM11XXX当1X时，11X，331X，因此31
32、13LIM11XXX不符合四则运算法则需要进行恒等变换后在求之2211122LIMLIM1111XXXXXXXXXX例7求LIMXXXXX解2LIMLIM111LIM21111XXXXXXXXXXXXXXXX例8求1102LIM105NNX18由于当N时，102N，1105N，因此1102LIM105NNX不符合四则运算法则，需先进行恒等变换后，方可求之解121102110LIMLIM5105101010NNNXXN224利用初等函数的连续性例9求0LN1LIMXXX解由对数函数的连续性有原式1100LIMLN1LNLIM1XXXXXXLN1E例10求20LN1LIMCOSXXX解由于0X属于
33、初等函数2LN1COSXFXX的定义域之内，故由F的连续性得20LN1LIM00COSXXFX225利用洛必达法则我们在学习无穷小大量阶的比较时,遇到过两个无穷小大量之比的极限由于这种极限可能存在,也可能不存在,因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限分别记为0/0型或/型的不定式极限现在我们将以导数为工具研究不定式极限,这个方法通常称为洛必达法则10/0型不定式极限定理11若函数F和G满足I00LIMLIM0XXXXFXGXII在点0X的某空心邻域00UX内两者都可导,且0GX19III0LIMXXFXAGXA可为实数,也可为或,则00LIMLIMXXXXFXFXAGX
34、GX例11求21COSLIMTANXXX解容易检验1COSFXX和2TANGXX在点0X的邻域内满足定理11的条件I和II,又因32SINCOS1LIMLIMLIM2TANSEC22XXXFXXXGXXX故由洛必达法则求得001LIMLIM2XXXXFXFXGXGX2/型不定式极限定理12若函数F和G满足I00LIMLIMXXXXFXGXII在点0X的某空心邻域00UX内两者都可导,且0GXIII0LIMXXFXAGXA可为实数,也可为或,则00LIMLIMXXXXFXFXAGXGX例12求LNLIMXXX解由定理12,有LNLN1LIMLIMLIM0XXXXXXXX例13求3LIMXXEX解
35、32LIMLIMLIMLIM366XXXXXXXXEEEEXXX203其他类型不定式极限不定式极限还有000,1,0,等类型经过简单变换,他们一般均可以转化为0/0型或/型的不定式极限例14求11110LIMXXXXXABCABC解1111LNLN11100LIMLIMXXXABCABCXXXXXXXABCEABC1111110LNLNLNLNLNLNLIMXXXXXXXAABBCCAABBCCABCABCEE11LNXXXABCABCABCABCEABC附洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的重要而且有效的方法,在同一运算过程中可连续使用,直到求出所求的极限但是,如果无法判定函
36、数的极限状态,或能判定它振荡而无极限时,则洛必达法则失效,此时需用别的办法求其极限例152200111SIN2SINCOSLIMLIMSINCOSXXXXXXXXXX等式右端振荡无极限,所以,洛必达法则失效事实上,原极限可以用下法求得解200011SINLIMSINLIM0SINSINLIMXXXXXXXXXX由此可见,求两个无穷小或无穷大之比的极限时,洛必达法则常和其它方法联合使用,从而使计算过程简化例16求222220SINCOSLIMSINXXXXXX解22222200SINCOSSINCOSSINCOSLIMLIMSINSINSINXXXXXXXXXXXXXXXX22COSCOSSIN
37、SINLIM1COS2LIM2SINCOSSIN2SINCOSXXXXXXXXXXXXXXXXX0122LIMCOS32SINXXXX21226利用泰勒公式例17求2240COSLIMXXXEX解本题可以用洛必达法则求解，但由于比较繁琐在这里可以用泰勒公式求解考虑到极限式的分母为4X,我们用麦克劳林公式表示极限的分子取N4245COS1224XXXOX,22452128XXXEOX,2452COS12XXXEOX因而求得245244001COS112LIMLIM12XXXXOXXEXX227利用定积分求和式极限由定积分的定义我们知道,定积分是某一和式的极限,因此,如果关于N的某一和数可以表示成
38、某一积分和形式时,则可利用定积分,求出这个和式的极限,显然,若要利用定积分求极限其关键在于将和式化成某一函数的积分形式例18求111LIM122XNNN解1111111LIMLIM12122111XXNNNNNNNN111LIM1NXIINN若令11FXX，且将0,1等分为N等份，则每个小区间长度1XN，取为每一小区间的右端点时，有22111111LIMLIM1221NXXIINNNNN1100LN1|LN21DXXX228利用级数收敛的必要条件若级数0NNU收敛，则当N时，有00U所以,若把所求的极限视为一个级数的一般项,且能判断此级数收敛,则此函数的极限必为零例19求LIM1KNXNAA解
39、研究级数0,1KNNNAA，由于111111LIMLIMLIM1KKNNKXXXNNNUNANUNAAA所以级数0,1KNNNAA,收敛，LIM0KNXNA229利用等价无穷小代换,求函数的极限利用等价无穷小代换求函数的极限时,一般只在以乘积形式出现时使用若以和、差形式出现时,不要轻易代换,因为经此代换后,往往会改变无穷小之比的阶数,故此慎用为好例20求230SINLIM1COSXXXX解2232000SIN11LIMLIMLIM1COS1COS1COS2XXXXXXXXXX232210利用有界变量与无穷小量之积仍为无穷小,求函数的极限例21求LIMSIN1SINXXX解11SIN1SIN2S
40、INCOS22XXXXXX当X时,1111022121XXXXXXXXXX即1SIN02XX，而1COS12XX011LIMSIN1SINLIM2SINCOS022XXXXXXXX2211利用无穷小量与无穷大量的倒数关系,求函数的极限例22求232LIM09XXX解当3X时，2902XX，232LIM9XXX（注232LIM9XXX错误）例23求1LIM2XX解当X时，1LIM02XX（注11LIM02XX错误）2212利用函数在0X点极限存在的充要条件,求函数的极限此方法主要用于求分段函数在分段点处的极限例24已知,0,0XEXAXBXFX，求0LIMXFX解00LIMLIM1XXXFXE，
41、00LIMLIMXXFXAXBB24当B1时，00LIMLIM1XXFXFX故0LIM1XFX当B1时，00LIMLIMXXFXFX故0LIMXFX不存在3、求解极限方法的应用31无穷小运算定理,无穷小因子代换定理常用的等价代换有当0X时SINXX,TANXX211COS2XX,1XEX例如求解极限22201COS12LIM2XXXXX有界变量与无穷小的积仍是无穷小,例求极限222201LIMSINXXYXY解2200,0XYXY是无穷小,221SIN1XY是有界量,所以2222001LIMSIN0XYXYXY由此直接得出极限为0,省去了大量证明和运算32利用洛必达法则洛必达法则适用于00和两
42、种形式例如求解下列极限000SINCOSLIMLIMLIMCOS011XXXSINXXXXX00型33320000002COS2COSSINLN1LNLN2COSLN312COS1SIN11332COSLIM1LIMLIMLIMLIMLIM3222COS6XXXXXXXXXXXEXXXXXXXXXXXX型的方法类似,都是对分子和分母求导但要注意此种方法只适用于导数存在的形式洛必达法则的应用大大提高了解题效率,尤其对于求复杂极限,可以将表达式化简,有的甚至可以直接求出极限,有的在化简后便于进一步求极限,减少了解题步骤,简单易解,且25准确率高33利用夹逼定理例25求极限24220SINLIMXX
43、YYXY解24242222SIN0XYYXYXYXY24222000COS2SINLIMLIM0XYXYYXY,所以242200SINLIM0XYXYYXY在20SINLIM1XXX的证明时也采用了夹逼定理,这种方法,对于求解复杂极限,甚至是其它方法无法求出的极限时,夹逼定理表现出明显的解题优势,并且道理容易让人理解,是解答计算题和证明题常用的一种方法34总结极限理论是数学分析的基础,数学分析主要研究微分和积分,而极限又是微积分学大厦的基石,可以说没有充分的极限理论,就不可能有今天数学蓬勃发展的局面如今数学分析已经成为一门重要的数学分支,对整个数学的面貌的改变起到了不可磨灭的贡献微积分作为一种
44、重要的数学工具,已经渗透到科学的各个领域作为微积分基石的极限理论也在随着科学技术的发展而发展,极限理论为整个科学提供了一个强大工具4、极限运算中值得注意的几个问题41忽视等价无穷小替换的条件例26计算30TANSINLIMTANXXXX错解由于当0,TAN,SINXXXXX故3300TANSINLIMLIM0TANXXXXXXXX分析上式错误产生的原因是,将差函数各项分别使用等价无穷小代换,应将差函数26看作整体去代换正确解法由于0,TAN,SINXXXXX211COS2XX故30TANSINLIMTANXXXX23300SIN1COS12LIMLIMTANCOSCOS2XXXXXXXXX例27利用等价无穷小的性质计算30SINLIMSINXTGXXX解332000SINSINSIN1COSCOSLIMLIMLIMSINSINCOSSINXXXXXTGXXXXXXXX由于211COS2XX,22SINXX,因而232001SIN12LIMLIMSINCOS2XXXTGXXXXX在求两个无穷小之比的极限时,可用等价无穷小代替整个分子或分母,也可用等价无穷小代替分子或分母的因子由于不注意这些,从而有如下错误的计算3300SINLIMLIM0SINXXTGXXXXXX42忽视洛必达定理的条件例28计算21LIMXXX错解2222211
