1、1毕业论文开题报告数学与应用数学浅谈CESARO算子的逼近速度一、选题的意义函数逼近论是现代数学中的一个重要分支。就是研究用比较简单的,可计算的函数来代替(逼近)较复杂的函数,并考虑这种逼近的程度和如何刻画被逼近函数本身的特性。函数逼近关键在于构造函数,在过去的几十年,人们已经对点态逼近与函数的构造性之间的关系以及对用插值多形式、有理数等作为逼近工具的问题进行了深入的研究,以及代数多项式,三角多项式的逼近研究有了深入的展开。算子逼近论是逼近论中的一个重要分支。近几十年来,由于泛函分析的方法与思想融入逼近论以及著名的KOROVKIN定理的建立,使得算子逼近论得到迅猛发展,研究范围也从连续函数空间
2、推广到了可测函数空间,并对其他数学分支产生了广泛的影响。我国函数的逼近论研究主要是在FOURIER分析的基础上展开的,这也是分析中很重要的一个问题,由于FOURIER级数是一个无穷级数,因而存在收敛问题以及求和问题。但是关于FOURIER级数的收敛问题,我们已经知道的收敛条件,有很大部分是充分条件,还有些混合判定法。我们也可以用CESARO平均的求和法判断级数的敛散性。CESARO求和是一种计算无穷级数和的方法,若一个级数收敛至某个数,那么它的CESARO和存在,且它的值就为那个数。对于发散的级数,也可以用CESARO求和的方式,求出其CESARO和。因此,它对级数收敛性的研究,有着重大的意义
3、。除此之外,CESARO算子还在多种空间上,如BERGMAN空间、BESOV空间、DIRICHLET型空间、HARDY空间等,有着广泛的应用。函数既包含在级数中,它本身又和级数在某种程度上有等价关系。因此,对CESARO算子逼近的研究,是推进了人们对函数以及级数的认识的重要手段,为级数敛散性的判别提供了很多便利,解决一些用其他方法难以实现的问题。但对CESARO算子的研究,大部分是在实数范围内的。选择这个题目,一方面是为了探讨CESARO算子的逼近速度,另一方面则是体验函数逼近和CESARO算子在级数性质上的广泛应用同时,还得到了它的一些变式,使它扩大了使用范围可见,对CESARO算子的逼近速
4、度的研究,对当代数学的发展,有着重大的意义。二、研究的主要内容,拟解决的主要问题(阐述的主要观点)课2CESARO算子的逼近速度是对算子逼近论的研究,利用算子构造一些逼近函数,可以证明一些重要的的定理,对于解决实变函数,数学分析中的一些问题具有重要意义。本文主要是对算子、CESARO算子以及逼近论中的一些基本的条件和定理作出简要的叙述,同时讨论,说明它对某一函数的逼近,计算出相应的逼近度,并通过研究和证明,得出CESARO算子的逼近速度,探讨最佳逼近问题等,将结论用于不同空间中,说明相应的逼近问题。三、研究(工作)步骤、方法及措施(思路)研究(工作)步骤12011115201138根据选题,广
5、泛查阅资料,填写任务书有关事项,明确任务要求,初步形成研究方向。220113182011320利用课余时间、假期仔细研读参考文献,初步拟定论文提纲,收集所要翻译的外文资料,完成两篇外文翻译,以及撰写开题报告和文献综述。320113202011325修改开题报告、文献综述和外文翻译,进一步整理论文大纲。420113252011331根据论文大纲翻阅相关详细资料。52011331201145整理收集的相关材料,开始写论文工作。62011452011420撰写论文初稿,上交论文、译文、开题报告、指导记录、中期检查表。720114202011425修改论文,上交所有相关材料。8201142620115
6、18补充必要的内容,论文打印、定稿。920115192011528准备毕业论文答辩。方法及措施主要采用举例分析、探讨、证明的方法。四、毕业论文提纲1基本概念的引入11CESARO算子的概念12实函数逼近的引入121最佳逼近2CESARO算子逼近的问题21CESARO算子的可用条件22CESARO算子对某些连续函数的逼近问题221相关的证明323CESARO算子逼近速度的探讨3CESARO算子逼近的运用31CESARO算子在不同空间中的运用4CESARO算子的特殊形式及应用5总结6致谢辞7参考文献五、主要参考文献1陈建功编三角级数论(上册)(第一版)M上海科学技术出版社,1964122谢庭藩,周
7、颂平编实函数逼近论(第一版)M杭州大学出版社,199883PLBUTZERRJNESSEL著郑维行,苏维宜,任福贤,何泽霖译FOURIER分析与逼近论(第一卷)(上册)M北京高等教育出版社,19854陈建功编富里叶级数蔡查罗绝对求和的一些结果J杭州大学学报(自然科学版),1964,141285钮宏霞,孙世全CESARO平均的收敛性及强逼近J聊城师院学报自然科学版,200136刘丽婉关于富里埃级数和幂级数的蔡查罗平均J数学研究与评论,198647杨汝月,李落清CESARO平均逼近球面函数J应用数学学报,199428钮宏霞球面函数的CESARO平均的收敛性与强求和及逼近阶的研究J潍坊学院学报,20
8、03,49陈守银FOURIER级数的极大CESARO算子J湖北大学学报,200910张希荣,戴峰FOURIERLAPLACE级数的强逼近J数学进展,2004511余纯武,陈莘萌,戴峰单位球面上HARDY空间中CESARO平均的逼近及几乎处处收敛问题J武汉大学学报,2002,312BOSANQUETCESARO的平均函数J伦敦数学会志PROCLMS2,31,193013SZEGOGORTHOGONALPOLYNOMIALSAMSPUBLICATION,193714王昆扬,张璞球面上的强一致逼近J北京师范大学学报,1994,30332132815孙永生连续周期函数傅利叶级数的蔡查罗平均的一致逼近J
9、1963,6(4)37938716BERENH,LILUOQINGTHEPETREKMODULIANDBESTAPPROXIMATIONONTHESPHEREJACTA4MATHSINICA,1995,38558959917郭竹瑞连续函数用它的富里埃级数的蔡查罗平均数来逼近J数学学报,1962,9,12332032918孙永生关于CESARO算子的逼近常数J数学学报,1981,7,24451653719余纯武,陈莘萌,戴峰单位球面上HARDY空间中CESARO平均的逼近及几乎处处收敛问题J武汉大学学报(理学版),2002,6,48325726020黄仿伦BLOCH空间上的CESARO算子是有界
10、的J安徽大学数学系,1998,6,31219719921胡璋剑单位球上BERGMAN空间的CESARO算子J数学年刊,2005,26221922822唐笑敏加权DIRICHLET空间上CESARO算子的一点注记J湖州职业技术学院学报,2004,6,2869123庄碧如关于FEJER算子的逼近度J新疆大学数学系,1994,112425毕业论文文献综述数学与应用数学浅谈CESARO算子的逼近速度一、国内外状况恩纳斯托蔡查罗ERNESTOCESARO,1859年3月12日1906年9月12日意大利数学家,出生于那不勒斯。蔡查罗的贡献主要集中在微分几何方面,因为在发散级数的领域提出蔡查罗平均和蔡查罗求
11、和而闻名。早年就读于列日和罗马,1886年在巴勒莫任教学教授。1891年始任那不勒斯大学分析教授。他的工作是多方面的,共有论著259种。19岁时解決某些拓扑方面的问题,24岁时发表成名之作1883。同年又开始研究内蕴几何学,经过十几年的努力,出版了该学科的奠基性著作1896,书中给出皮亚诺曲线函数的解析形式,得到“蔡查罗曲线”等结果,并在一般情況下讨论了曲面和多维空间的性质。1890年,他按柯西法则求解级数相乘问题,提出了所谓“蔡查罗方法”,即算术平均求和法。我国著名数学家陈建功也在关于三角级数的收敛和绝对收敛、蔡查罗CESRO求和及绝对蔡查罗求和等方面成果甚多,于1928年发表在帝国科学院院
12、报上的一篇论文尤为重要,它解决了当时国际上许多数学家都在研究的三角级数绝对收敛的特征问题。并在1956年开始对复变函数逼近论的研究时,对于具有极光滑的境界曲线之区域上的解析函数,他用费伯(FABER)级数之蔡查罗(CESARO)平均来一致逼近它。在一定条件下,逼近偏差可以为函数的连续模所控制。对于CESARO平均的应用,在陈建功所著的三角级数论等著作,以及“富里叶级数蔡查罗绝对求和的一些结果”等文章中,可见一斑。CESARO算子主要贡献在于,对级数的求和,和在级数的敛散性,连续性问题中,我们也可以用CESARO平均的求和法作为充要条件来判断。CESARO算子还在多种空间上,如BERGMAN空间
13、、BESOV空间、DIRICHLET型空间、HARDY空间等,有着广泛的应用,是研究不同空间,函数性质的重要工具。关于函数逼近论的研究,1885年德国数学家WEIERSTRASS在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理,这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示,但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。1859年CHEBYSHEV提出的最佳逼近的特征定理为函数逼近论的发展奠6定了基础。从18世纪到19世纪初期,在L欧拉、PS拉普拉斯、JBJ傅里叶、JV彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题
14、。在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是N次多项式时最佳逼近元的性质,建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。在此后,人们对点态逼近与函数构造性之间的关系以及对插值多项式、有理数等作为逼近工具的问题进行了深入的研究,在函数逼近,算子逼近等方面有了更深入的发展。在高等数学研究中,级数是人们最为关注的一部分内容,而对算子逼近论的研究,可以解决一系列级数性质的问题,如逼近问题、敛散问题等。在三角级数论、PLBUTZER,RJNESSEL所著的FOURIER分析与逼近论等书中有相关的见解。二、进展情况通过对CESARO算子逼近的研究,我们不仅能
15、加深对CESARO算子的理解,而且还能了解,CESARO算子的逼近速度是否有限,是否随着被逼近函数的构造性质的改变而改变。在对它深入研究的过程中进行推广,得到了逼近速度的性质,计算逼近误差等。同时也能扩大CESARO算子在其他方面的应用。对其逼近速度的研究,也许还能用于级数的逼近,更加完善地解决其他方面的问题。三、存在问题CESARO算子的逼近速度的研究属于函数逼近论的研究范围,虽然函数逼近论经过几十年的发展已经足够深入,我们得到了很多相关的成果,能解决一部分问题,但是其中对算子逼近论的研究仍然不够完备而且非常抽象。关于CESARO算子逼近速度的研究相对较少,除此之外,CESARO算子逼近速度
16、在其他方面的应用,还有待于大家作更大的努力,进一步地探讨和研究。四、参考文献1陈建功编三角级数论(上册)(第一版)M上海科学技术出版社,1964122谢庭藩,周颂平编实函数逼近论(第一版)M杭州大学出版社,199883PLBUTZERRJNESSEL著郑维行,苏维宜,任福贤,何泽霖译FOURIER分析与逼近论(第一卷)(上册)M北京高等教育出版社,19854陈建功编富里叶级数蔡查罗绝对求和的一些结果J杭州大学学报(自然科学版),1964,141285钮宏霞,孙世全CESARO平均的收敛性及强逼近J聊城师院学报自然科学版,2001376刘丽婉关于富里埃级数和幂级数的蔡查罗平均J数学研究与评论,1
17、98647杨汝月,李落清CESARO平均逼近球面函数J应用数学学报,199428钮宏霞球面函数的CESARO平均的收敛性与强求和及逼近阶的研究J潍坊学院学报,2003,49陈守银FOURIER级数的极大CESARO算子J湖北大学学报,200910张希荣,戴峰FOURIERLAPLACE级数的强逼近J数学进展,2004511余纯武,陈莘萌,戴峰单位球面上HARDY空间中CESARO平均的逼近及几乎处处收敛问题J武汉大学学报,2002,312杨汝月,李落清CESARO平均逼近球面函数J应用数学报,1994,28(20_届)本科毕业设计数学与应用数学浅谈CESARO算子的逼近速度910目录中文摘要1
18、1基本概念及定理的引入111实函数逼近的引入112CESARO算子的概念5二、CESARO算子逼近的问题521CESARO算子的可用条件522CESARO算子对某些连续函数的逼近问题823CESARO算子逼近速度的探讨113CESARO算子逼近的运用1631CESARO算子在HARDY空间中的运用1632CESARO算子在其他空间中的运用174CESARO算子的特殊形式及应用195总11结20致谢词20参考文献20ABSTRACT21浅谈CESARO算子的逼近速度摘要本文研究了CESARO算子的性质、应用,给出了CESARO算子的可用条件介绍了逼近论的基本内容,在不同的空间范围内得到CESAR
19、O算子的性质以及逼近速度,用来近似地描述其他的函数对CESARO算子的特殊形式在逼近方面做出简要的介绍关键词CESARO算子CESARO求和法FOURIER级数逼近速度FEJER算子1基本概念及定理的引入CESARO算子的逼近速度是对算子逼近论的研究,利用算子构造一些逼近函数,可以证明一些重要的的定理,对于解决实变函数,数学分析中的一些问题具有重要意义首先,我们引入与之相关的概念及定理,以便接下去做深入的探讨11实函数逼近的引入关于函数逼近论的研究,1885年德国数学家WEIERSTRASS在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理,这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项1
20、2式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示1859年CHEBYSHEV研究了逼近函数类是N次多项式时最佳逼近元的性质,建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理,为函数逼近论的发展奠定了基础在数学理论研究和实际的应用中,常常需要考虑用一些简单的函数去逼近复杂函数的问题例如,对于定义在闭区间BA,上的连续函数XF,我们常常需要考虑代数多项式XPNNXAXAA10去逼近它,并且用数值XPXFBXAMAX作为多项式XP对函数XF的逼近程度把在BA,上的连续函数全体记作BAC,(C)若F是BA,上的连续实函数,记其最大模XFBXAMAX为CF(或BACF,),称CF为函数F的范数1
21、定理1111若BACF,,则对任意给定的正数,都有代数多项式XP满足不等式CPF假如所考虑的函数是周期函数,而且周期是2,那么就记这种连续函数的全体为2C,2CF的范数是2CFXFXMAX在周期情况下,相应的空间PL1记作PL2,此时的函数F的范数是PLF2PPDXXF1容易想到,由于周期性,用代数多项式逼近自然不见得最合适代替代数多项式,人们常用三角多项式作为逼近的工具所谓三角多项式是由三角函数系XXXX2SIN,2COS,SIN,COS,21做出的有限线性组合,我们称NKKKKXBKXAA10SINCOS21为N阶三角多项式,其中KA,KB是与X无关的实数,且KA,KB不同时为零定理112
22、1若2CF,则对任意给定的正数,都有三角多项式XT满足不等式2CTF定理111和定理112是KWEIERSTRASS在研究逼近论时得出的初步结论,为逼近论的发展奠定了基础,在之后多人对其进行了证明13用代数多项式或三角多项式逼近函数是逼近论中一个十分重要的方面,但是,即使在空间C中,也考虑用其他函数列的线性组合作为逼近工具一般而言,给定一列函数CXGK,,2,1K对于任一函数XFC,考虑用形如NKKKXG1的广义多项式来逼近XF,其中K(NK,2,1)为实数此时要考虑的问题,首先是对于任何函数CF,这种逼近是否可能,也就是说,随着N的无限增大,是否可以选择恰当的系数NK,NK,2,1,使得逼近
23、度01CNKKNGFK倘若可能,那么如何去选择NK还有这种多项式中是否存在最佳的,即,使范数CNKKNGFK1达到最小的多项式是否存在定理1131线性赋范空间的有限维子空间至少包含一个点,使它到一个固定点有最小的距离证明设M为定理假设中的有限维子空间而G为指定的一点又设0F是M中的任意一点,则欲求之点位于GFGFMFF0,之内由于线性赋范空间中的每一个有限维有界闭集是紧致集所以上述集合为紧致集设MFFGINF由下确界的定义,可以找到M中一个点列,21FF使当N时,NFG根据M的紧致性,可以假定该序列收敛于M中的一点F,因为若有必要,可以从给定的序列中取出一个具有此性质的子序列按照三角不等式,F
24、FFGFGNN,于是FG由于MF,FG因此FG,这样,定理113得证又由定理113,可以得到以下推论推论1111设BACF,,则有NNP使得CNPFCNPPFNNINF,其中,N为次数不大于N的代数多项式全体推论1121设2CF,则有NTNT使得2CNTF2INFCNTTTFNN,其中,NT为阶数不大于N的三角多项式全体14我们对BACF,,记FENCNPPFNNMINCNPF,对2CF,记FEN2MINCNTTTFNN2CNTF,并称NP为F的N次最佳逼近(代数)多项式,FEN为F的次数不高于N的代数多项式的最佳逼近;同样地,称NT为的N阶最佳逼近三角多项式,FEN为F的阶数不高于N的三角多
25、项式的最佳逼近显然,FEFEFEN10,FEFEFEN10,由KWEIERSTRASS定理知道,以上两序列都是收敛于零在1859年,PLCHEBYSHEV建立如下定理说明了最佳逼近多项式的特征定理1141设BACF,,则XP为XF的N次最佳逼近多项式的充分必要条件是在BA,上有2N个点BXXXAN221使得CJJJPFXPXF1,2,2,1NJ式中,1定理1151设BACF,,则对任一整数0N,F的N次最佳逼近多项式是唯一的定理1161(VALLEEPOUSSIN定理)设BACF,,若有NP以及2N个点BXXXAN221使得JJJJJXPXFXPXF1,1,则,FENAXPXFJJNJMIN2
26、1定理1171设BACF,是一个奇(偶)函数,则其所有最佳逼近多项式也是奇(偶)函数在周期连续函数空间内,我们看出任意不恒等于零的三角多项式NJJJJXBJXAAXT10SINCOS2在2,0上至多有N2个零点事实上,利用EULER公式2COSIXIXEEX,IEEXIXIX2SIN可以得到15NNKIKXKECXT,其中2KKKIBAC,2KKKIBAC,NK,1,0令IXEZ,则ZPZZCXTNNNKKK,式中ZP是个N2次代数多项式,它最多只有N2个零点当三角函数系1,XCOS,XSIN,X2COS,X2SIN,,NXCOS,NXSIN构成了2,0上的线性无关组是,应用以上结果,我们有定
27、理1181设2CF,则有T为XF的N次最佳逼近三角多项式的充分必要条件是在2,0上有22N个点221NXXX使得21CJJJTFXTXF,2,2,1NJ式中,1而且,最佳逼近三角多项式是唯一的定理1191设2CF,若TNT以及22N个点20221NXXX使得JJJJJXTXFXTXF1,1,则FENJJNJXTXF221MIN12CESARO算子的概念假如,10AA;,21BB等数与变数X没有关系,那么N阶三角多项式(1)所产生的一般形式的三角级数若F是以2为周期且在,上可积的函数,那么令按照NXDXXFANCOS1,,2,1,0NNXDXXFBNSIN1,,2,1N计算得到的NA和NB称为函
28、数F的傅里叶系数,以F的傅里叶系数为系数的三角级数(1)称为F的傅里叶级数2,记作10SINCOS21NNNNXBNXAAXF(2)CESARO平均求和法3是傅里叶级数的一种线性求和方法设1,1621NNAN,则称NA为阶CESARO数傅里叶级数(2)的如下线性平均XFSAAXFKKKNNN,111称为阶CESARO平均,相应的级数求和的方法称为CESARO求和,简记作,C求和当0时,对于连续函数F,XFN必一致收敛于F,由此可见CESARO求和的好处2CESARO算子逼近的问题通过以上对CESARO算子的概念以及对逼近和最佳逼近的了解,我们接下来研究CESARO算子性质及应用21CESARO
29、算子的可用条件关于CESARO平均求和法的运用是有条件4的()对于正整数K对于数列NS,NNSS0,001001NNSSSS,111102NNSSSS,11110KNKKKNSSSS;10NA,0001NNAAA,110KNKKNAAA当SASKNKNN时,SASKNKN11,假如SASKNKNNLIM,那么数列NS可用KC,平均法求和,且和是S由斯多耳次定理可知,KC,(K是自然数)求和法是具有正则性的()阶不属于正整数,1,设111NNANN当自然数N时,N1N17当10X时,NNNXX0111成立对于级数NA,设NS0NSNAA0,那么,从0111NNNXAX0011NNNXSX0NNN
30、XS中可以得到NSNNA0NNS001设NNNAS,当极限式SN成立时,称NA或NS可用,C求和法求和,且和为S,记作0NNA,CS或者SSCNN,LIM当阶数增高到H时,有如下性质定理2114当1H时,,CSAN含有HCSAN,XF中,当确定X而不确定时,可以用,C平均法求和的充要条件已经在1924年为哈戴和利托尔伍德所获得,他们的结果,包含在以下定理之中定理2124XF可用CESARO平均法求和的充要条件是TX的某一平均函数TK在0T时具有连续性定理2134当0时,关系XF,CS,含有STT20LIM,这里TXFTXFT02定理2144假如STKT0LIM,那么当K时,XF,CS引理211
31、4用CESARO的平均法,假如级数NKA可以求和,那么当1OANK时,级数1,KNA也可以求和定理2154是可以用CESARO求和的充分必要条件,是对于一般的F而言的,假如F是有界的,那么XF可用CESARO平均法求和的充要条件大大的简化,我们有如下18哈戴,利托尔伍德获得的定理定理2164在点X的附近,假如F是单方有界,这就是说,有如下的K和KTXFT,那么XFCS的充要条件是T11OS,当此条件成立时,XF,CS对于任何正数成立我们记T0T,TDUUTUTT100称T为T的CESARO次平均函数且TKKTKTKKTTTDTTTDTTDTTDTTKK1221001100022111是T的HO
32、LDERK次平均函数定理2175当TX1O对于某一0成立时,XF,CO0成立该定理为BOSANQUET所证明,在之后又证明了,XF,CO0含有11OTX0在1934年,BOSANQUET又扩充得到如下命题设0,0SUPLIMLIM0DTTTTKXXK,则,当XFCS时,XF,CS,它的充要条件是11OSTBOSANQUET又指出1OT0时,XF可用C法求和的充要条件是极限STT0LIM对于任何一个0存在22CESARO算子对某些连续函数的逼近问题以DR表示D维欧几里得空间,以1D表示DR上的单位球面,其中3D如果1DLF,那么F有球面调和展开XF0,KKXFY(3)19其中XFYK,是阶数为K
33、的球面调和空间的射影。DYXYPYFKXFYKDK112,,2,1,0K其中22D,TPK,2,1,0K是盖根鲍尔多项式6用1DC表示1D空间的连续多项式,1MAXDCXXFF,FEK是F1DC的最佳逼近的K阶球面多项式设0KKF是一个正数的单调序列,且0LIMKKF,T具有连续的模记,2,1,0,1KFFECFFCKKD,TTXFCFHD0,1其中TF,是1DCF7模连续的函数对于1DLF,1时,由(3)得,阶数为的CESARO平均为XFYAAXFKNKKNNN,10,2,1,0N临界值22D,22D有着重要的意义下面,我们提出几个定理定理2216设0KKF是一个正数的单调序列,且0LIMK
34、KF那么当时,有KNKKNNCNFCFAAFFF011SUP此处的表示若则存在绝对连续常项0C和0C使得CC,以下叙述也相同定理2227假如存在常数0B使得111110KKBVKV,那么对于,有11,1SUP01KFAAFFNKKNNCNHF定理221是球面模拟与傅利叶级数对应的结果引理2218假设1DCF,那么20NKKDCNFENCFF0,1,2,10N其中DC,表示仅跟D,有关的常项对于KAK0K,10A当1我们根据PC不等式,容易得出以下结论引理2228假如0KKF满足条件01KKFF,2,1,0K,那么对于任何0都有NKKNKKKNNFNCFAA00111由以上内容得出推论2218设
35、1DCF,且那么有NKKKNNDCNFEAACFF01,,21,0N证明因为2122D,令FEFKK,2,1,0K,由引理221和引理222,很容易即可得证定理221的证明8由推论221我们得到KNKKNNDCNFCFFAACFF01,SUP(4)我们用不等式(4)的逆,取极点1DE,设XF0EXPAFFVVVVV11211,1DX函数XF0是由UGULAVA建立,显然地,10DCF用XFSK0XFYKII,00表示0F第K个部分和对JACOBI多项式引用下列估计6121KKAP,12KKATP(5)得到0FEKCKFSF00CKVVVVVEXPAFF1112111KVVVFFKF所以FCF0
36、21由(5)得EFN0EEPAFFAAKNKKKKKNN111211NKKKNNFAF0101,由EF0EEPAFFVVVVV112110F,可以得到EF0EFN0NKKKNNFAA111,0(6)KNKKNNCNFCFFAAFF011SUP(7)根据(4)和(7),和引理221,引理222,定理221得证推论2229在定理221的假设下,有KNKCNFCFFNFF011SUP,定理222的证明取极点1DE,设EXPAKKXFKKK11211111,1DX,其中是一个待定常数根据9中的定理31和定理32,得到KIIFEKCKF0111,,所以当BC21时,HF1令11KFK,2,1,0K根据(
37、4)有EF0EFN0NKKNNKAA0111,所以NKKNNBDCNHFKAACFF01,11SUP(8)由推论221和11,KFCFEDK22(9)得到NKKKNNDCNFEAACFF01,NKKNNDKFAAC01,11,所以NKKNNDCNHFKFAACFF01,11,SUP(10)由(8)和(10)结论成立23CESARO算子逼近速度的探讨我们用PL2P1表示2周期的P次羃可和的函数空间,当P时,约定PL22C,2C表示2周期的连续函数空间黎斯曾经证明过设XF2C,XF的FOURIER级数的阶CESARO平均数XFN,1,0N,0,均匀逼近于XF设FH,2是XF的光滑模,即FH,2XF
38、XFXFH2SUPXFXFXFXH2MAXSUP,在FH,2HO的条件下,XF的FOURIER级数的1,C平均数逼近XF,得到XFXFN,1NODTTNTXFXFNTXF1222212,后来得到更加一般的结果设2CXF,则XFXFN,1FNODTTNTXFXFNTXFA,12222122引理23110设2CXF,记TXFTFTXFTX2,NANN,那么当0时,DTTTNTANXN112SIN222121SIN1FNO,1223引理23210设2CXF,那么212SINTDTTNXFNNO,122引理23310设2CXF,则DTTVTTNX412SIN2COSFNNO,123,,3,2,1V利用
39、上述三个引理,我们得到以下定理定理23110设2CXF,0,那么XFXFN,DTTTXFXFTXFNN122SIN221FNO,12定理23210设2CXF,则XFXFN,DTTNTXFXFNTXFA22FNO,12,其中0A是任意常数,0特别地,当1时,可有上述定理得到推论23110设2CXF,则XFXFN,1DTTNTXFXFNTXFA221FNO,12对于XFPL2,PFPPDXXF120,P1XFFXCMAXTFPPPTUDXXFUXF120SUPP1CTFXFUXFXTUMAXSUP关于XF用其CESARO算子逼近的问题有各种说话,而且已经知道很多结果,下面是其24中的几个定理23311若XFPL2P1,则对每一整数0N成立PNXFXF12LNNNFBP(11)当,1P,0时,有PNXFXF11,NFPBP(12)当P1且1时,在(11)和(12)内不等式在阶的意义下不能再改进XNAXXNCONSTFXFNFNXFXF121LNSUP(13)XNBXXNCONSTFXFNNFXFXF1LN12SUP(14)此处2CX及2L(1P时,12L的简写),XTF表示XXF在X尺度下的连续模,所以,XNB是(11)右端系数的最佳者,由XXNFNCNNF121LN1LN12得到较(11)弱得不等式XNXFXFXNFNB121LN(1)XNA是(1)右端系