1、1毕业论文开题报告数学与应用数学浅谈变量代换法在微积分学中的应用一、选题的意义微积分是大学数学的重点内容之一，而求导数和求积分是微积分要解决的一个重大课题。解决这一问题的关键是找到合适的求解方法。其中在众多方法中变量代换法在计算中显示了无比的优越性，变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。所谓变量代换法是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量（或变量表达式）来代换,从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法。这在众多的计算中我们都要经常用到，与学生平时的学习息息相关。对其算法的研究将提高对微积分更深层次的认识，更有助于具体实际问题的发现和解决。在高等数学学习中,
2、必须熟练掌握和运用这种方法。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）对变量代换法的求法进行归纳总结和整理一方面，将具体阐述了变量代换法在微分和积分中的计算上的应用，配合相应的类型题目进行讲解，并摸索题目与算法间的内在联系，尽量在类型题后作出总结归纳，使其公式化，来指导解题，更清楚方便地为学者所参考。另一方面还将重点论述变量代换法在微分学中求导数到积分学求不定积分、定积分等存在怎样的内在联系，将其演化的全过程体现出来。从变量代换法的背景（产生的需要）、求法探讨的意义、求解技巧（代换的恰当选择）、公式表达等方面作具体阐述。还可以在前人的基础上,对已有的方法进行深入理解、剖析，试图发现
3、方法中存在的缺陷，摸索着进一步探究的方法。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）步骤1根据选题，广泛查阅资料，填写任务书有关事项，明确任务要求。之后的论文写作必须严格按照进度有计划地进行。计划阶段22利用课余时间、假期仔细研读参考文献和相关书籍，广泛收集和整理与课题相关的知识，积累写作素材，也为论文写作提供思路，捕捉灵感；同时收集所要翻译的外文资料，为停课后论文写作做好准备。准备阶段3初步确立正文所要研究的主要内容及思想,划定论文研究的范围；并撰写开题报告、文献综述,拟出论文提纲。正文内容的筛选上要求要紧紧围绕着课题进行思考，去掉无关部分，以免造成离题现象。内容不仅涉及相关知识，还可以是揭示
4、相关知识的内在联系。初步筛选4修改开题报告、文献综述。并能在提纲指导下,结合平时所积累的材料,构思出论文初稿。即把之前的准备组织起来，有明确的论点，划分清晰的分论点，更有充足的论据并加以严密的文字说明。构思初稿5构思完成即可撰写论文初稿，初稿的撰写应从课题出发，紧紧围绕中心论点及分论点展开。在提纲的指导下，分块加以完成就不偏题。期间翻译外文资料，外文翻译要语句流畅,并注意专业数学术语的正确翻译。并要在初稿基础上不断加以修改完善。撰写初稿6修改论文、译文，使语句流畅，观点清晰。最终定稿，上交所有相关材料。并准备毕业论文答辩。定稿及答辩方法确立出课题的大论点和分论点，以分论点支持大论点进行论述。对
5、分论点，则通过具体实例加以论证说明，并辅之以专家学者们研究所得加以归纳总结，进行论证。措施（思路）分论点支持大论点，实例说明分论点展开。四、毕业论文（设计）提纲1基础篇11变量代换法12微积分的研究的对象和范围13微积分的相关概念及相关定理131函数的极限132函数的导数133可微微分134不定积分3135定积分136其他相关定义定理2基本应用篇21利用变量代换求极限22利用变量代换法求导23利用变量代换法求微分24利用变量代换法求不定积分241第一换元积分法（凑微分法）242第二换元积分法2421根式代换法2422三角函数代换法2423万能代换法2424倒代换法25思考26利用变量代换法求定
6、积分261变量代换法换元积分法262变量代换法不变限代换27变量代换法与重积分271二重积分272三重积分3结束语五、主要参考文献L许莼舫微积分学习指导M北京中国青年出版社,198072吴振廷简明微积分研究M北京地质出版社,198413龚异微积分五讲M北京科学出版社,20044尹水坊微积分学习指导M北京科学出版社,20055刘里鹏从割圆术走向无穷小揭秘微积分M湖南科学技术出版社,200976路建民实用微积分学习指导M北京中国水利水电出版社,20087李公国微积分及其应用M北京徐氏基金会出版,1988548华东师范大学数学系数学分析第三版上册M北京高等教育出版社,20019华东师范大学数学系数学
7、分析第三版下册M北京高等教育出版社,200110陈建华微积分名师导学M北京中国水利水电出版社,200511李春娟变量代换法在高等数学中的应用J丽水师范专科学校学报,2003,252757812李金霞变量代换在高等数学中应用探讨（续J科技创新导报,200814713陈国干变量代换是实现命题转换的一种重要途径J唐山学院学报,20039,163636414刘立新对不定积分、定积分学习之己见J吉林商业高专学报,19982,2374215王锡华换元积分法常用技巧J益阳师专学报,199310,1069710116相秀芬几个不定积分计算问题的教学体会J承德石油高等专科学校学报,20076,92525517王
8、仙彩换元法在计算三角函数有理式积分中的应用J高等函授学报（自然科学版）,20074,202222518韩振芳谈不定积分中的倒代换法J张家口师专学报（自然科学版）,19962,231355毕业论文文献综述数学与应用数学浅谈变量代换法在微积分学中的应用一、国内外现状众所周知，微积分的应用是非常广泛而深刻的。因此，研究微积分中的计算问题就显得非常有意义了。此处特别提出变量代换法在微积分计算中应用。变量代换法是数学变换方法中的一种，其实我们在中学数学中已经接触过这种数学思想方法，并且它还将贯穿整个高等数学的学习在这种思想方法的指导下，我们将很多不易解决的问题进行变量代换而最终得解，其解题的实质就是一种
9、命题的转化，即把原来的命题转化成另一与之等价的命题的过程。基于这种等价性，将复杂命题转化为简单命题，因此转化的进行不仅要遵循等价性要求，而且还需要我们具备一定的基础知识，掌握好知识间的联系，并将其融会贯通，将方法与技巧内化为自己的储备。变量代换法有其灵活性、多样性。其巧妙性使那些形式繁杂、怪异的题，在它的方法指导下问题将迎刃而解。又由于其多样性，采取不同的变量代换，解题的简便程度也将大不相同。二、研究方向微积分包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等；积分学的主要内容包括不定积分、定积分等。因此，变量代换在微积分中的应用主要将解决的就是在微分学中的求极限、求导数、求微分等
10、的计算，以及在积分学中的求不定积分、求定积分等的计算以及进一步应用在求曲线积分、重积分、三重积分等的计算。利用变量代换法求极限，选择合适的变量代换，把复杂问题转化为简单问题，使得用一般方法就可加以解决。利用变量代换法求导数，就是复合函数求导方法的应用了，关键就是内外函数的区分和复合函数求导公式的正确应用；利用变量代换法求微分，与复合函数求导数的同理。变量代换法在求不定积分（定积分）中又叫做换元积分法第一换元法（又称凑微分法）、第二换元法包括算式代换法、三角代换法、倒代换法、简单根式代换法、万能代换法等的代换。其基本思想,就是将所求的不定积分,设法变成包含在基本积分公式中的形式。因此，6基本积分
11、公式是求积分的基础。对于求曲线积分、重积分、三重积分等，都可以经过适当的变量代换转化为定积分的求解。三、进展情况一直以来国内很多专家学者对于变量代换在微积分中的应用发表了很多自己的独到见解和学习体会，它们都深刻体现着变量代换法的实质性的原则，给我们的进一步学习研究提供着宝贵的材料江苏盐城电大盐都分校的陈国干在其的变量代换是实现命题转换的一种重要途径中提出解题的过程实质上是命题转化,即一个命题转化为另一个命题的过程。北京中国地质大学的李金霞在其变量代换在高等数学中应用探讨中，对各类题型的变量代换法进行了归类，提高学生的解题能力。益阳师专数学系王锡华在其换元积分法常用技巧中对换元积分法作了深入的研
12、究,对用换元积分法解题的技巧进行了系统的整理等等。四、存在问题变量代换法在微积分的应用的研究是一个不断完善、不断积累的过程平时学习微积分教材并没有做深入的研究变量代换的应用，有时甚至只停留在知其然，而不知其所以然的程度上，很多知识都被我们很快的学过去了，结果却发现1、变量代换法在微积分中的应用是非常广泛的，将从各个方面展开研究求极限、求导数、求积分等。这样可以清晰看到变量代换的作用。也是从纵向即依据微积分中知识展开的先后过程，来结合变量代换展开论述。2、基本公式是微积分计算问题中的基础，需要对于基本公式进行进一步的研究，并结合变量代换法，将基本公式作一番推广，得出其推广形式。3、变量代换法的多
13、样性需要基于前人研究基础上，以不同类型代换为标准，做出题型的归类。4、灵活性，要求能选择恰当的变量代换。很难能把变量代换法灵活应用起来，这就决定了解题的方向感的建立是非常重要的，将指导我们选出正确的代换，但这没有捷径可走的。应当不断反思总结经验,掌握使用变量代换法的特点和技巧,提高根据不同问题灵活机动地使用变量代换法解决问题的能力。5、将从横向的角度来进行研究，横向即一题多解，从发散思维的角度，来研究变量代换的多样性，又通过方法比较，来得到指导一般题目的变量代换的灵活性选择。研究一题多7解的各种情况，能有所突破，能大胆创新了。6、对于变量代换法在微积分中应用的研究，需将知识结构系统化，不断把其
14、纳入已有的知识结构中，并不断完善、优化。即内化知识，来指导实践。主要参考文献L许莼舫微积分学习指导M北京中国青年出版社,198072吴振廷简明微积分研究M北京地质出版社,198413龚异微积分五讲M北京科学出版社,20044尹水坊微积分学习指导M北京科学出版社,20055刘里鹏从割圆术走向无穷小揭秘微积分M湖南科学技术出版社,200976路建民实用微积分学习指导M北京中国水利水电出版社,20087李公国微积分及其应用M北京徐氏基金会出版,198858华东师范大学数学系数学分析第三版上册M北京高等教育出版社,20019华东师范大学数学系数学分析第三版下册M北京高等教育出版社,200110陈建华微
15、积分名师导学M北京中国水利水电出版社,200511李春娟变量代换法在高等数学中的应用J丽水师范专科学校学报,2003,252757812李金霞变量代换在高等数学中应用探讨（续J科技创新导报,200814713陈国干变量代换是实现命题转换的一种重要途径J唐山学院学报,20039,163636414刘立新对不定积分、定积分学习之己见J吉林商业高专学报,19982,2374215王锡华换元积分法常用技巧J益阳师专学报,199310,1069710116相秀芬几个不定积分计算问题的教学体会J承德石油高等专科学校学报,20076,92525517王仙彩换元法在计算三角函数有理式积分中的应用J高等函授学报
16、（自然科学版）,20074,202222518韩振芳谈不定积分中的倒代换法J张家口师专学报（自然科学版）,19962,231358（20_届）本科毕业设计数学与应用数学浅谈变量代换法在微积分学中的应用9目录1基础篇111变量代换法112微积分的研究的对象和范围113微积分的相关概念及相关定理2131函数的极限2132函数的导数2133可微微分2134不定积分2135定积分3136其他相关定义定理32基本应用篇321利用变量代换法求极限322利用变量代换法求导数和微分523利用变量代换法求不定积分5231第一换元积分法（凑微分法）6232第二换元积分法92321根式代换法102322三角函数代换
17、法102323万能代换法112324倒代换法12233思考1224利用变量代换法求定积分13241变量代换法换元积分法13242变量代换法不变限代换1425利用变量代换法求重积分17251二重积分17252三重积分183结束语19参考文献20英文摘要2010摘要本文主要对变量代换法在微积分学中一些应用的基本方法、技巧及注意的问题进行归纳总结,以利于有更深刻的认识。关键词变量代换法；应用；极限；导数；不定积分；定积分；重积分1基础篇11变量代换法化归方法1是数学研究中一类基本的思维方法。辞海称,化，改变、变化、高超也；归，趋向、归结、返回也。所谓“化归”,就是转化和归结。数学思维方法中所论及的“
18、化归方法”,就是通过变换,促使转化,将复杂的问题回归到较为简单的问题,将困难的问题归结为较为容易的问题,将未知问题化归为已解决问题的过程。变量代换法是化归法在微积分中应用所谓变量代换法2是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量（或变量表达式）来代换,从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法。变量代换法的解题实质就是一种命题的转化，即把原来的命题转化成另一等价的命题的过程。基于这一等价性，我们进行命题的转化以实现原问题的解决。然而这一转化并不是任意进行的，不仅要遵循等价性，还需要我们具备一定的基础知识，掌握好知识间的联系，并将其融会贯通，将方法与技巧内化为自己的储备。变量代换法也可以形
19、象说成是一般公式的变形应用，变量代换法可以帮助我们更好地认识公式的本质。12微积分的研究的对象和范围3微积分是建立在实数、函数的基础上的。其基本概念更是基础中的基础。微积分的基本内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括定积分、不定积分、重积分等。一般而言，微积分中的计算问题，对于求极限有一般求法、洛必达法则等；求导有公式法、性质法则的运用、复合函数求导法等；求积分有公式法、性质法则的运用、换元法第一换元法、第二换元法、部分分式法、特殊类型的算法等。其中利用变量代换法解决微积分中的计算问题，是本文要研究的问题在我们对各对象展开更深入的讨论之前，做好
20、知识的预备是非常必要的，在此先回顾相关的定义和定理。13微积分的相关概念及相关定理3411131函数的极限定义1（X时函数的极限）设F为定义在A,）上的函数，A为定数，若对任给的0，存在正数M（A），使得当XM时，有FXA，则称函数F当X趋于时以A为极限。记作LIMXFXA或FXAX定义2（0XX时函数的极限）设函数F在点0X的某个空心邻域0,OXU内有定义，A为定数，若对任给的0，存在正数（）,使得当00XX时,有FXA,则称函数F当X趋于0X时以A为极限。记作0LIMXXFXA或0FXAXX132函数的导数定义1设函数YFX在点0X的某邻域内有定义，若极限000LIMXXFXFXXX存在，
21、则称函数F在点0X处可导，并称该极限为F在点0X处的导数。定义2（导函数也称导数）函数在区间I上的每一点都可导，建立每个XI,都有导数FX与之对应，从而定义了一个区间I上的函数，称为F在I上的导函数，简称导数。133可微微分微分设函数YFX定义在点0X的某邻域0XU，当给0X一个增量X，XX0XU时，相应得到函数增量为00YFXXFX，如果存在数A，使得Y表示成YAXOX，则称函数F在0X可微。并称AX为F在0X的微分，记作0XXDYAX或0XXDFXAX，AFX，DXX。（微分DY与增量Y相差一个OX，是关于X的高阶无穷小量）134不定积分原函数设函数F与F在区间I上都有定义，若FXFX，X
22、I，则称F为F在区间I上的一个原函数。不定积分函数F在区间I上的全体原函数成为F在区间I上的不定积分。记作FXDXFXCC为任意常数135定积分12分割设闭区间A,B上有N1个点，依次为011NNAXXXXB，它们把A,B分成N个小区间1IIIXX，I1，N这些分点或这些闭子区间构成对A,B的一个分割，记为T011NNXXXX，或TN,21，其中小区间I的长度为1IIIXXX，并记1MAXIINTX称为分割T的模。定积分设函数F为定义在A,B上的一个函数，J是一个确定的实数，对任给的正数，总存在某一正数，使得对A,B的任何分割T，以及在其上任意选取点集I，只要T，就有1NIIIFXJ，则称函数
23、F在区间A,B上可积，数J称为其定积分。记作BAFXDX136其他相关定义定理三角函数有理式指由三角函数经过四则运算所组成的式子，由于TANX,COTX,SECX,CSCX都可用SINX,COSX表示,所以把三角函数有理式记为RSINX,COSX。微分形式的不变性在求函数微分时，不需辨别函数与自变量的关系是直接的还是复合的，对于两种情形，所用的微分公式在形式上是完全一致的。2基本应用篇21利用变量代换法求极限利用变量代换法求极限需要建立在求极限的基本方法之上，遇到较复杂的函数形式时，使用变量代换法可使得求极限变得简单。变量代换法结合第一个重要极限0SINLIM1XXX，得推广形式0SINLIM
24、1TTFTFT，其中0LIM0TTFT例1求极限AXAXAXSINSINLIM解2COSSINSINSINSIN222LIMLIMLIMLIMCOS22XAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXA1COSCOSAA13变量代换法结合第二个重要极限1LIM1XXEX，得推广形式01LIM1FTTTFTE，其中0LIM0TTFT例2求极限01LIMXXAX解令1XAT，则10011LIMLIMLNLOG1XXTTAAAXT本题是00型不定式极限，运用洛必达法则自然可以。变量代换法结合洛必达法则，主要用于将其他的不定式极限0，1，0，0，等类型转化成00型与型，再运用洛必达法则求解。例3求极限2
25、18001LIMXXEX分析本题是00型不定式极限，但直接运用洛必达法则求解后幂函数次数越来越高，所以必须找一个新的变量将幂次降低，于是可以令TX1解令TX1，则222222180797876080018040403940LIMLIMLIMLIMLIMLIM02XTTTTTXTTTTTTTTTTEXEETEEE之前所做的都是一元函数求极限问题，对于多元函数问题则思考能否作变量代换转化为一元函数求极限问题。例4求多元函数的极限2222001LIMSINXYXYXY解令22XYT，则14222200011LIMSINLIMSIN0XTYXYTXYT22利用变量代换法求导数和微分变量代换法在求导中的
26、应用主要在于利用复合函数求导法则进行求导。要求能看出复合函数的内外函数及其复合关系，再以链式法则结合基本求导公式进行的计算。如果中间变量不止一个的复合函数，可简单由外而内层层进行。例5（利用变量代换法求复合函数的导数）设22,SINZFXYXY且F具有一阶连续偏导，求ZX解令22UXY，SINVXY，则ZFU,V），有2SINUVZZUZVXFYFXUXVX例6（利用变量代换法求隐函数的导数）设由方程1ZEXYZ确定了一个ZFX，Y函数,求ZX解将Z看作X，Y的函数，方程两边同时对X求导得0ZZZEYZXYXX，整理得ZZYZXEXY学习了利用变量代换法求函数的导数，又知微分DYFXDX，即求
27、微分可以通过求导数来得到。利用变量代换法求微分，也是在复合函数中进行，先利用变量代换法求得复合函数的导数，再写成DYFXDX，两步得解。即通过求导来解决，这里不做累述。23利用变量代换法求不定积分利用变量代换法求不定积分又叫做换元积分法。换元积分法,就是通过适当的变量代换,把积分转化为积分表中的形式。包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。因此我们可以从基本的积分公式出发获得灵感，并结合平时的练习，来掌握这类积分方法。15231第一换元积分法（凑微分法）第一积分换元法设GU在,上有定义，UX在A,B上可导，且X，XA,B,并记FXGXX,XA,B。若GU在,上存在原函数GU,则FX在A,B
28、上也存在原函数FX，且FXGXC，即FXDXGXXDXGUDUGUCGXC微分形式的不变性是此式成立的理论依据。常用的凑微分公式5主要有1DXDAXBA；111111KKKXDXDXDAXBKKA；12DXDXX；1LNDXDXX；XXEDXDE；COSSINXDXDX；SINCOSXDXDX；XDXDXDXXTANSECCOS122；221CCOTSINDXCSXDXDXX；21ARCSINCOS1DXDXDARCXX；21ARCTANCOT1DXDXDARCXX。形如FAXBDX，令UAXB,DUADX,DUDXA,则有111FAXBDXFUDUFUCFAXBCAAA例7求不定积分COS3
29、5XDX解令U3X5，则DU3DX，得UDUXDXDXXCOS315353COS3153COSCXCU53SIN31SIN3116形如1MMFAXBXDX，令UMAXB,DU1MAMX,11MXDXDUAM,则有111111MMMMMFAXBXDXFAXBAMXDUFUDUFUCFAXBCAMAMAMAM例8求不定积分2XXEDX解令2UX，则2DUXDX，有CECEDUEDXXEDXXEXUUXX222212121221如果GX能写成XXFEE的形式,那么可作代换XUE。例如21XXEDXE、2XXEDXE、COS1XXEEDX等。例921XXEDXE解令XUE,则XDUEDX，有22ARC
30、TANARCTAN11XXXEDUDXUCECEU对SINCOSRXXDX或2SIN,COSCOSRXXXDX类型，此种类型可用代换USINX,所以DUCOSXDX如SINCOSXEXDX，可作代换USINX对COSSINRXXDX或2COS,SINSINRXXXDX类型，用代换UCOSX,所以DUSINXDX例10求不定积分2SIN1COSXDXX解令UCOSX,则DUSINXDX,有22SIN1SIN1COS1COSXDXXDXXX21ARCTANARCTANCOS1DUUCXCU对于SINCOSMXNXDX，COSCOSMXNXDX，SINSINMXNXDX类型，先积化和差（要用到积化和
31、差公式），将被积函数化作两项之和,再分项用凑微分换元法积分。17例11求不定积分SIN5COS3XXDX解111SIN5COS3SIN8SIN2SIN88SIN222164XXDXXXDXXDXXDX11COS82162XCOSXC如果GX能写成FARCTANX211X的形式,那么可别作代换UARCTANX,UARCSINX。如21ARCTAN1XDXX、32ARCTAN1DXXX等。例12求不定积分21ARCTAN1XDXX解令UARCTANX，则DU211XDX,有332221ARCTAN22111ARCTAN133XDXUDUUCXCX使用凑微分法主要在于选取合适的变换UX，而识别的关键
32、是对基本初等函数的导数、微分比较熟悉事实上任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的途径，为了灵活掌握第一换元法,应演算大量习题才能熟能生巧,但有时需要进行必要等价变形6，进而解决一些难度较大的不定积分。例13计算积分4TANXDX分析通过被积函数式中加、减同一个数的等价变形，使“凑成”所需函数形状，便于积分解44TANTAN11XDXXDX22TAN1TAN11XXDX222TANSECSEC1XXDXXDXDX22TANTANSEC1XDXXDXDX31TANTAN3XXXC18例14计算SINSINCOSXDXXX分析通过把被积函数式拆开，使“凑成”所需函数形状，便于积分。可以是分子分母有理
33、化或者三角函数的积化和差的公式来展开。解SIN1SINCOSCOSSINSINCOS2SINCOSSINCOSXXXXXDXDXXXXXXX1COSSIN12SINCOSXXDX1SINCOS2SINCOSDXXDXXX11LNSINCOS22XXXC例15求不定积分2411XDXX分析通过被积函数式中分子分母同乘除同一个数的等价变形，使“凑成”所需函数形状，便于积分解22242222111111221ARCTAN11112222DXXXXXDXDXDXXCXXXXXXXX232第二换元积分法第二积分换元法设FX在,上有定义，XT在A,B上可导，且T，TA,B,并记FXFTTGT,TA,B。若
34、0T，TA,B，则第一积分换元法可逆，即当GT在A,B上也存在原函数GT时，FX在,上存在原函数FX，且FXCXG1，即CXGCTGDTTGDTTTFDXXF1常用有根式代换法、三角代换法、万能代换法、倒代换法等。2321根式代换法19原理7若被积函数中含有,NRXAXBDX，可令NTAXB；,NAXBRXDXCXD，可令NAXBTCXD。例16求6XXDX解令6TX，则X62T,DX2TDT,有242662212XXDXTTTDTTTDT53532222464655TTCXXC2322三角函数代换法原理8若被积函数中含有22AX时,用代换XASINT或XACOST,若被积函数中含有22AX时
35、，用代换XATANT或XACOTT；若被积函数中含有22XA时，用代换XASECT或XACSCT。例17求积分DXX24解令TXSIN2，则2ARCSINXT,TDTDXCOS2，有DTTTDTTTDDXX2COS12COS4SIN2COS2422CXXXCTT2422ARCSIN22SIN2例18求积分221DXXX解令XSECT,则DXSECTTANTDT,有2222SECTAN1COSSIN1SECTAN1DXTTDTTDTTCXCTTXXX例19求不定积分21DXXX20解令TANXT，则2SECDXTDT，有2222SINSINCOS111COSSINSINSINCOS12COS1C
36、OS11DXDTTTDTDTDXDTDTTTTTTTXX22111COS11LNLN2COS1211XTCCTX2323万能代换法原理对三角函数有理式SIN,COSRXXDX的积分,有些不易积出,令2TANXT,则有SINX221TT,COSX2211TT,DX221TDT。故2222122SIN,COS,111TTRXXDXRDTTTT，使原积分就化为关于T的有理函数的积分。对于三角函数有理式的积分,作代换2TANXT总可以将积分有理化,故此代换常称为万能代换。但对具体问题也要采用灵活的方法处理。例20求不定积分35COSDXX解令2TANXT，则COSX2211TT,DX221DTT,有2
37、2212135COS1351DXDTTXTTDTTTTDT212141421LN2LN24TTC12LN42TCT2TAN12LN42TAN2XCX2324倒代换法21例21求不定积分72DXXX分析积分表达式分母中两个自变量的幂之差大于1时，可以运用倒代换。解令1XT，则XT1,21DXDTT，有677771212211421DXTDTDTXXTT77111LN21LN2LN14142TCXXC233思考两类换元法的关系9区别第一换元积分法，并没有引进新变量，只是从被积函数分解出部分，使得满足FXDXFTTDT，并将部分当作整体来看待解题；而第二换元积分法在我们遇到复杂的不定积分问题时，如果
38、能够适当地选择新变量T，根据公式FXDXFTTDT，以T代替X，那么就能得到比较简单的被积式或者基本公式的形式，从而容易求出它的结果。例如无理式的积分问题，我们无法找到思路，就可以引进新变量T来代替整个无理式来达简化的目的。联系其基本思想都是把被积函数化成基本积分公式中的形式，两种方法在最后都是要进行变量还原的一题多解，由于变量代换法的多样性、灵活性，因此我们在解决一个数学问题时所用的变量代换常常不是唯一的，既要能够选择最佳方法，又要尝试用各种方法来解题,不断积累经验，体会方法间的联系以提高解决问题的能力。例22多种方法求21DXXX解法一凑微分法222211111111DXDXDXXXXXX
39、22222111111LN1LNLNXXCCCXXXX解法二三角代换法令XTANT，则2SECDXTDT，有22SECCSCTANSEC1DXTDXTDTTTXX221111LNCSCCOTLNLNXXTTCCCXXX解法三根式代换法令21TX，21XT，则21TDXDTT，有DTTDTTTTTXXDX1111122222222221111111111LNLNLNLN212211TXXXCCCCTXXX24利用变量代换法求定积分241变量代换法换元积分法定积分最后的结果是具体数值。定积分计算的一般方法可以分为两个步骤进行操作，先是利用不定积分求法求出原函数部分，再结合使用牛顿莱布尼茨公式计算出
40、结果。即定积分的计算可以转化为不定积分的问题来进行求解。如果求原函数时需要使用换元法，则叫做定积分的换元积分法。其特点是在变换积分变量的同时也要变换积分限,而在找出新变量的被积函数的原函数以后,不必换回原变量。在其计算数值部分，就是直接应用牛顿莱布尼茨公式计算结果即可。定积分换元积分法若函数F在A,B上连续，在,上连续可微，且满足A，B，ATB，,T，则有定积分换元公式BAFXDXFTTDT牛顿莱布尼茨公式若函数F在A,B上连续，且存在原函数F，即FXFX，XA,B，则F在A,B上可积，且AFBFXFDXXFBABA23例23求定积分401XDXX解令TX，则2XT，2DXTDT；当X0时，T
41、0；当X4时，T2234220001122111XTTDXTDTDTTTX2220011211TTTDTDTTT222001211DTTTDTT23202LN132TTTT8422LN33282LN333LN2216例24求定积分3209XDX解令3SINXT，则3COSDXTDT；当X0时,T0；当X3时,T2322222000999SIN3COS91SINCOSXDXTTDTTTDT222001COS299COS924TTDTDT242变量代换法不变限代换在积分计算中,往往强调根式代换、三角代换、万能代换、倒代换等常用方法,而不变限代换没有加以强调,但在很多情况下不变限代换相当有效。命题1
42、10设FX在A,B上连续,则BBAAFXDXFABXDX证明令XABT,则BBBBAAAAFXDXFABTDABTFABTDTFABXDX最后一个等号用到定积分与积分变量选取无关性。结论左右两边的积分具有相同的上下限,24这里姑且称XABT为“不变限代换”。为便于记忆,将不变限代换写成XTAB。它为计算定积分提供了一种思路若想将原积分化为相同积分区间的积分,那么使用不变限代换。例25计算101XXDX1,2解用不变限代换XT1,则110011XXDXXXDX111211200011232XXXXDX例26计算401SIN21SIN2XDXX解用不变限代换XT4,则44001SIN21SIN24
43、1SIN21SIN24XXDXDXXX224440001COS2TANSEC111COS24XDXXDXXDXX上面几个实例有个共同点,使用不变限代换,转换得到的新积分比较容易计算。事实上,不变限代换的作用不仅仅在此。命题210若FX满足FXFABXKK为常数,则2BAKBAFXDX证明记BAIFXDX，由BBAAFXDXFABXDX，得到2BBBAAAIFXDXFABXDXFXFABXDXBAKDXKBA，结论得证例27计算40LN1TANXDX25解由于LN1TANLN1TANLN244FXFXXX，因此，40LN20LN24LN1TAN28XDX例28计算20442XDXXX解由于42214224XXFXFXXXXX，因此，2041201242XDXXX命题1显示可以用不变限代换将原积分转化成相同积分区间的积分,当FXFABX为常数时,命题2提供了一种简便的定积分计算方法。事实上,如果FXFABXGX,而且BAGXDX又容易计算,则仍可以使用不变限代换方法计算。推论10若FX满足FXFABXGX,则12BBAAFXDXGXDX例29计算2424SINCOSXXDXXX解由于222SINSIN2SECCOSCOS
