1、嘉兴市第一中学 2017 学年第一学期期末考试 高二数学 试题卷 满分 100分 ， 时间 120分钟 2018 年 2 月 第一部分 选择题 (共 30 分 ) 一、 选择题 ： 本大题共 10 小题 ， 每小题 3 分 ， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 . 1命题 “若 -1 1x，则 2 1x ”的逆否命题是 ( ) A.若 11xx 或 ，则 2 1x B若 2 1x ，则 -1 1x C若 2 1x ，则 11xx 或 D若 2 1x ，则 11xx 或 2设 ,mn是两条不同的直线， 是一个平面，则下列说法正确的是 （ ） A.若 /m
2、， /n ，则 /mn B若 /m ， /n ，则 mn C 若 m ， n ，则 /mn D若 m ， n ，则 mn 3. 如图，在三棱锥 O ABC 中 ，点 D 是棱 AC 的中点 ，若 OA a ， OB b ， OC c ，则 BD 等于 ( ) A. a b c B. 1122a b c C. a b c D. 1122a b c 4. 已知 ,ab都是实数，那么 “ 0ab ”是 “ 22ab ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 中心在坐标原点的椭圆，焦点在 x 轴上，焦距为 4 ，离心率为 22 ，则该
3、椭圆的方程为 ( ) A 22116 12xy B 22112 8xy C 22112 4xy D 22184xy 6. 圆 22 2 4 4 0x y x y 与直线 2 2 2 0 ( )tx y t t R 的位置关系为 ( ) A相离 B相切 C相 交 D以上都有可能 第 10 题图 C B A D F E C B A D F 7如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD ABCD平 面 ， NB ABCD平 面 ，且 1MD NB， G 为 MC 的中点则下列结论中不正确的是 ( ) A MC AN B /GB AMN平 面 C C M N A M N平 面 平 面 D
4、/D C M A B N平 面 平 面 8. 已知点 (0,2)A ，抛物线 2: 2 ( 0)C y px p的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若 | | 5| | 5FMMN ，则 p 的值等于（ ） A 14 B 2 C 4 D 8 9. 过双曲线 C ： 12222 byax )0( ab 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ，分别与两渐近线交于 CB, 两点，若 2AB AC ，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 210 B 10 . C. 102 D. 103 10.如图，在矩形 ABCD 中， 2, 1AB AD,点 E 为 CD
5、 的中点， F 为线段 CE（端点除外）上一动点 .现将 DAF 沿 AF 折起，使得平面 ABD 平面 ABC .设直线 FD 与平面ABCF 所成角为 ，则 sin 的最大值为（ ） A. 12 B. 24C. 23 D. 13 第二部分 非选择题 (共 70 分 ) 二、 填空题 ： 本大题共 7 小题 ，多空题每题 4 分，单空题每题 4 分，共 28 分 . 11.若直线 ( 1) 2 0a x y 与直线 1x ay互相平行，则实数 a ,若这两条直线互相垂直，则 a . 12.双曲 线 22: 4 1C x y的焦距是 ，双曲线 C 的渐近 线方程是 . 13.某空间几何体的三视
6、图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的体 积 V = cm3，表面积 S = cm2 正视图 侧视图 俯视图 22 21 1G 14.如图所示，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， ,EF分别是正方形 1 1 1 1ABCD 和 11ADDA 的中 心，则 EF 和 CD 所成的角是 . 15.过抛物线 2 4yx 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点若 | | 3AF ，则 AOB 的 面积为 . 16.若 P 为椭圆 22116 15xy上任意一点 , EF 为圆 22: ( 1) 4N x y的任意一条直径 ,则PEPF 的取值范围是 .
7、 17.三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底是边长为 1 的正三角形，高 1 1AA ,在 AB 上取一点 P ,设11PAC 与面 1 1 1ABC 所成的二面角为 ， 11PBC 与面 1 1 1ABC 所成的二面角为 ，则tan( ) 的最小值是 . 三、解答题 ： 本大题共 5 小题 ， 共 42 分 . 其中第 18、 19、 20、 21 小题 8 分，第 22 小题每题10 分。 解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤 . 18. 已知命题 p：对数 2lo g ( 2 7 5 ) ( 0 , 1 )a t t a a 有意义；命题 q：实数 t 满足不等式2 ( 3
8、) ( 2 ) 0t a t a . ( )若命题 p 为真，求实数 t 的取值范围； ( )若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 19.如图所示，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且直线 PA ABCD 平 面 ，又棱2PA AB， E 为 CD 的中点， 60 .ABC ( ) 求证：直线 AE PAB平 面 ； ( ) 求直线 AE 与平面 PCD 的正切值 . 20.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 2 4yx 相交于不同的 A， B 两点 ( )如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OAOB 的值； ( )如果 4OA OB ，
9、证明直线 l 必过一定点，并求出该定点 21如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C ，侧面 11B C C B A B C 底 面 . ( )若 ,MN分别是 1,ABAC 的中点，求证： 11/M N B C C B平 面 ； ( )若三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各棱长均为 2，侧棱 1BB 与底面 ABC 所成的角为 60 ，问 在线段 11AC 上是否存在一点 P ，使得平面 1 1 1B C P A C C A 平 面 ?若存在，求 1CP与 1PA 的比值，若不存在，说明理由 22. 已知椭圆 C ： 22 1( 0 )xy abab ，右顶点为 (2,0) ，离
10、心率为 32 ，直线 1l ：( 0 , 0 )y k x m k m 与椭圆 C 相交于不同的两点 A ， B ，过 AB 的中点 M 作垂直于1l 的直线 2l ，设 2l 与椭圆 C 相交于不同的两点 C ， D ，且 CD 的中点为 N （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设原点 O 到直线 1l 的距离为 d ，求 MNd 的取值范围 ABMOCDN1l2lyx(第 22 题图 ) 嘉兴市第一中学 2017 学年第一学期期末考试 高二数学 参考答案及评分标准 三、 选择题 ： 本大题共 10 小题 ， 每小题 3 分 ， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题
11、目要求的 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B A D C C B B A 10.答案 A。解：如图：在矩形 中，过点 作 的垂线交 于点 ， 交 于点 。设 ， 。 由 ，得 ,即有 ， 由 ，得 。 在翻折后的几何体中， , 平面 。 从而平面 平面 ，又平面 平面 ，则 平面 。 连接 ,则 是直线 与平面 所成角，即 。 而 ， ，则 。 由于 ，则当 时， 取到最 大值，其最大值为 。 四、 填空题 ： 本大题共 7 小题 ，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 34 分 . 11 _ 21a或 _， 13a _； 12 _ 5 _， _ 12yx _； 1
12、3 _ _， _ _； 14 _4 _； EDB CAPH15 _ 322_； 16 _5,21_； 17 _ 8 313 _ 16.解析 :因为 =( - )( - ) = - ( + )+ =| | |cos -0+| |2 =-4+| |2. 所以 5,21. 答案 :5,21 17. 1 1 1PP A B作 ， 则 1PP作 是三棱柱的高 .过 1 1 1 1P P H A C作 ，则 1PHP ,设 AP= x ，BP=1 (0 1)xx ， 2tan3x，同理 2tan3(1 )x 2 3 8t a n( ) 33 (1 ) 4 13xx （当 12x 时取等号） 18解： (1
13、)由对数式有意义得 2t2 7t 50， 解得 152， 解得 a12. 即 a 的取值范围是 12， . 法二：令 f(t) t2 (a 3)t (a 2)，因 f(1) 0，故只需 f 52 12. 即 a 的取值范围是 12， . 19.解：（ 1）证明： ADE= ABC=60， ED=1， AD=2 AED 是以 AED 为直角的 Rt 又 AB CD, EA AB 又 PA 平面 ABCD， EA PA, EA 平面 PAB, （ 2）如图所示，连结 PE，过 A 点作 AH PE 于 H点 CD EA, CD PA CD 平面 PAE, AH CD，又 AH PE AH 平面 P
14、CD AEP 为直线 AE 与平面 PCD 所成角 在 RtPAE 中， PA =2， AE= 3 3 3232t a n AEPAA E P20.解： (1)由题意知抛物线焦点为 (1,0)， 设 l： x ty 1，代入抛物线 y2 4x， 消去 x 得 y2 4ty 4 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1 y2 4t， y1y2 4， OA OB x1x2 y1y2 (ty1 1)(ty2 1) y1y2 t2y1y2 t(y1 y2) 1 y1y2 4t2 4t2 1 4 3. (2)证明 ： 设 l： x ty b 代入抛物线 y2 4x， 消去 x 得
15、y2 4ty 4b 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1 y2 4t， y1y2 4b， OA OB x1x2 y1y2 (ty1 b)(ty2 b) y1y2 t2y1y2 bt(y1 y2) b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b. 令 b2 4b 4， b2 4b 4 0， b 2. 直线 l 过定点 (2,0) 若 OA OB 4，则直线 l 必过一定点 (2,0) 21解： (1)证明：连接 AC1， BC1， 则 AC1A1C N， AN NC1， 因为 AM MB，所以 MN BC1. 又 BC1平面 BCC1B1， 所以 MN 平面
16、 BCC1B1. (2)作 B1O BC 于 O 点，连接 AO， 因为平面 BCC1B1 底面 ABC， 所以 B1O 平面 ABC， 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0， 3，0)， B( 1， 0,0)， C(1,0,0)， B1(0,0， 3)由 1AA 1CC 1BB ， 可求出 A1(1， 3， 3)， C1(2,0， 3)， 设点 P(x， y， z)， 11AC 1AP . 则 P 1 1， 3 3 ， 3 ， CP 1， 3 3 ， 3 ， 1CB ( 1,0， 3) 设平面 B1CP 的法向量为 n1 (x1， y1， z1)， 由 n1CP 0，n1
17、1CB 0，得 x 3 3 y 3z 0， x 3z 0，令 z1 1，解得 n1 3， 1 1 ， 1 . 同理可求出平面 ACC1A1的法向量 n2 ( 3， 1， 1) 由平面 B1CP 平面 ACC1A1， 得 n1n 2 0，即 3 1 1 1 0， 解得 3，所以 A1C1 3A1P， 从而 C1P PA 1 2. 22 （本题满分 15 分） 解： （ ） 2 32aca ，得 2 2 14x y. . 4 分 （ ）（ ） 由 2 2 14x yy kx m ，得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k m x m ， 设 11( , )Ax y ， 22( , )B
18、x y ，则12 2212 281444.14mkxxkmxxk ，故224( , )1 4 1 4m k mM kk . 2l : 2214()1 4 1 4m m kyxkkk ，即 21314myxk k . 由 222131414myxkkx y ，得 222 2 2 24 2 4 3 6( 1 ) 4 0( 1 4 ) ( 1 4 )mmxxk k k k ， 设 33( , )Cx y ， 44( , )Dx y , 则34 2224(1 4 ) ( 4 )mkxx kk ， 故 22 2 2 21 2 3( , )( 1 4 ) ( 4 ) ( 1 4 ) ( 4 )m k m kN k k k k . 故21| | 1MNM N x x k = 22224 | | ( 1) 1(1 4 )( 4)m k kkk. 又2|1md k . 所以 MNd = 22224( 1)(1 4 )( 4)kkk. 令 2 1( 1)t k t ， 则 MNd = 22 224 4 49 9 1 1 2 54 9 9 4 9 ( )24ttt ttt 16 ,1)25 .
