1、计算机控制系统,北京航空航天大学2007年3月,第6章 计算机控制系统的状态空间设计,6.1 离散系统的状态空间描述6.2 离散系统的可控可观性6.3 状态反馈控制律的极点配置设计6.4 状态观测器设计6.5 调节器设计（控制律与观测器的组合）,状态空间方法与经典方法,1.经典控制适用于SISO（单输入单输出）系统，用传递函数G(z),G(s)描述，设计是工程、试凑方法根轨迹设计(s,z)、Bode图设计(s=j,G=ejTW)优点：极点位置、频带与系统特性直接相关局限性：无法设计MIMO（多输入多输出）系统， 多回路系统设计复杂2.状态空间方法矩阵概念，微分方程、差分方程描述，适用于MIMO
2、系统控制方法多样化：自适应、最优、非线性、鲁棒分析方法：可控可观性，矩阵理论，线性空间，泛函仍然要用到经典理论中的基本概念：根轨迹、频带便于利用智能控制方法,线性连续系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述,6.1.1由G(z)建立状态方程,例：(1)串行法状态方程：,两个环节串联,(2)并行法（部分分式法）矩阵形式：A、B、C矩阵都与串行法不同,(3)直接实现：Z-1的形式，分子阶数低于分母 令：有： 选：状态方程：,几种方法的ABC阵不同阶数相同实现的传递函数相同输入输出关系相同,（4）由差分方程建立状态方程,有很多种方法：可控标准型，可观标准型，标准型等介绍一种方法，以n阶SISO系
3、统为例选状态变量： 式中：离散状态方程：,（4）由差分方程建立状态方程,例：求：F,G,C,D解：得离散状态方程：与SISO系统相同，不同的实现方式产生不同的ABCD阵阶数不变，输入输出关系不变，特征多项式不变,6.1.3采样系统的状态方程,采样系统：由连续系统采样产生的离散系统，采样后带有零 阶保持器，保证采样输出在一个采样周期内不变连续系统状态方程：方框图：连续状态方程的解： eAt状态转移阵,离散状态方程,考虑一个采样周期T，设：由连续方程的解：由于被控对象输入为ZOH的输出信号，在每个kT上不变，U(kT)=常值，k=1,2, kTt(k+1)T，U(kT)可以作为常值提到积分外面令（
4、k+1)T-=, d=-d,即由kT(k+1)T, 由T 0写为；式中：F=eAT 离散系统状态转移阵 控制矩阵 转换过程中考虑了ZOH作用，相当于,F、G矩阵的求解,(1)级数展开法 若A-1存在若A-1不存在,用级数求，可以利用MATLAB指令exp(AT),F、G矩阵的求解,(2)L变换法描述了F阵的解析解形式,一般用于证明二阶时便于求逆,6.1.4 脉冲传递函数阵,多变量系统用脉冲传递函数矩阵Z变换：当x0=0, H脉冲传递函数矩阵,Hij(z)第i个输出对第j个输入的z传递函数,6.1.5 离散状态方程求解,（1）递推法,由x(0)引起 由输入u引起,（2）Z变换法,例62（P166
5、）T0.1求：离散状态方程解：(1)控制器设：(2)连续部分先求A,B，再求F,G令： 得连续状态方程：,离散化：(3)反馈部分代入控制器最后得：,三阶差分方程可以用MATLAB求解,第6章 计算机控制系统的状态空间设计,6.1 离散系统的状态空间描述6.2 离散系统的可控可观性6.3 状态反馈控制律的极点配置设计6.4 状态观测器设计6.5 调节器设计（控制律与观测器的组合）,6.2 离散系统的可控可观性,系统的可控可观性是系统的基本特性，反映了系统的本质 可控：可以设计控制律，改善系统特性 可观：可以设计观测器，估计状态SISO（单输入单输出）系统都是可控可观的MIMO（多输入多输出）系统
6、结构复杂，特性不直观，通过可控可观性研究可以了解系统的本质,6.2.1 可控性与可达性,可控性定义： 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)=0，则称该系统是状态完全可控的（简称是可控的）。可达性定义：对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。,离散系统：,(6-1),判断可控可达性解：,对任意控制序列u(k)，x(2)=x(3)=x(k)0, 系统可控 对任意控制序列u(k)，不存在x(N)0,
7、 系统不可达 可控对应连续系统的可稳定，可达对应连续系统的可控 可达肯定可控（ x(N)0是任意x(N)的特例 ）,例：,离散系统可控可达应满足的条件,1. 可达性条件利用迭代法,为使,惟一存在，应满足下述充分必要条件：,（1）x是n维向量，N=n， 对n阶系统，至少有N步控制（2）必须满足：,可得控制序列：,WR可达阵,离散系统可控及可达应满足的条件,2. 可控性条件,为使上述线性方程组有解，必须,若F 是可逆的，则,或,N=n,可控阵,系统状态完全可控的充分必要条件，与连续系统条件一致,可控性与可达性一致,由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，故采样系统的可达性与可控性一致。 若F-1不
8、存在，用定义判可控性由系统结构决定，不能通过改变状态变量、顺序或增加控制序列来改变,X(N)=0,6.2.2 可观性与可重构性,一般系统的输出维数pn状态的维数，不是全部状态可测量有时候需要用输出量构造状态量（状态观测器），条件是系统可观应用广泛： 传感器故障下的状态量估计， 利用输出量估计状态量的值，实现全状态反馈 信息重构,6.2.2 可观性与可重构性,可观性定义：如果可以利用系统输出y(k)，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。,系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制无关，为此，以后可只研究系统的自由运动：,离散系统：,6.2.2 可观性,可
9、观性判据：,离散系统：,已知,，为使x(0)有解，要求：,(1)Nn，利用y的N步值,(2),唯一确定x(0),是系统可观的充分必要条件,可重构性,由y可以确定x(0),从而可以唯一确定x(N)系统可观，一定可重构F-1存在时，可观可重构采样系统F=eAT, F-1存在以后只讲可控，可观，不再讲可达，可重构,可重构性定义：如果可以利用系统输出y(k)，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(N) ，则称该系统是可重构的。X(N)可探测,但不一定知道全部x（0k）的值,例： 研究可观性解：令离散：,系统可观,若：,系统不可观,已知，求 可微分或差分唯一得到已知 ，求，需要积分，解不唯一，所以不可
10、观,6.2.3 可控可观性与系统结构的关系,1. 与传递函数的关系系统组成部份S1:可控可观S2:不可控不可观S3:可控不可观S4:可观不可控,系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。,系统不完全可控可观：G(z)中发生了零极对消 一个n阶系统，G(z)有pn个极点时，一定有零极对消,例： 研究可控可观性解： 可控阵若可控：可观阵：当b=a+1时，系统不可控，不可观,发生了全部零极对消,这时：环节 被消掉，(0.8)k模态不受u控制，不可控同时，(0.2)k模态不出现在y中，不可观,2. 可控可观与系统模态的关系,离散系统： 有各异特征根1, n进行相似变换： P系统的特征向量
11、阵式中：可得：若 中第i行全为0， 不可控若 中第j列全为0， 不可观,上例中：令: 得：模态 不出现在y中，不可观模态 与u无关，不可控,6.2.4 可控可观性与采样周期的关系,计算机控制系统采样系统（连续系统的子集）采样系统可控可观连续系统可控可观 （反之不一定成立）对于采样系统，不加证明给出下述结论： 若原连续系统是可控及可观的，采样系统仍然可控可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根p、q，下式应成立：,若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可控及可观的。,ks采样频率的整数倍,例： 研究可控可观性1.连续系统 系统可控可观,2.离散系统(由L反变换得到):依据定理,当:
12、系统为不可控或不可观的,(1)K为奇数，k=1，Tk/= /,不可控， 不可观,(2)K为偶数，k=2, Tk/= 2/ 不可控，不可观,3.传递函数连续：离散：,（1）k为奇数：cos T=cosk=-1 有一对零极对消，不可控或不可观将原 映射在z=-1处被采样信号振荡周期： , 采样周期：脉冲响应：不可控：c(k)与c(t)差别大不可观：c(k)不能完全反映c(t),（2）k为偶数：cos T=cosk=1 将1，2映射在z=1处被采样信号振荡周期： , 采样周期：脉冲响应：c(z)=0, 采样点上为0， 采样点间可能有振荡 （隐含振荡）不可控：任何输入下，c(k)0不可观：c(k) 0,不能反映c(t)有2类隐含振荡1）振荡模态不可观改T（上例）2）控制器设计不当，改T也不行重新设计控制器,
