1、 本科毕业论文（设计） （ 20 届） 矩阵逆的推广 及应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要： 在线性代数中，矩阵必须满足非奇异条件才能求出逆矩阵，但是在线性方程组的求解、矩阵方程、投入产出分析、线性规划、控 制论等各种实际新问题中，经常出现奇异矩阵和长方形矩阵，所以要考虑将逆矩阵的概念进行推广。本文首先对矩阵的广义逆进行定义、分类，然后详细讨论每一类广义逆矩阵的性质及其求解方法，其中包括 A 的性质与求解， rA 的性质与求解以及 A 的唯一性证明与求解。通过对每一类广义逆矩阵的求解方法的研究，最后探讨矩阵的广义逆在解线性方程
2、组中的应用。 关键词： 广义逆矩阵；左逆；右逆；满秩分解；线性方程 组 II The Extension Inverse of Matrix and Its Application Abstract: In linear algebra, a matrix must be of non-singular so as to find its inverse matrix, but in some application of areas, such as solving linear equations, matrix equations, input-output analysis, line
3、ar programming, control theory and some new practical issues, there is often singular and rectangular matrix, so we must consider extension the concept of inverse of matrix. In this paper, we firstly consider the definition and classification of generalized inverse of matrix, then discuss the charac
4、teristics and solutions of all kinds of generalized inverses of matrix in detail, such as A , rA and A . Based on researching the methods of solving all kinds of generalized inverses of matrix, finally we discuss the application of generalized inverse of matrix in solving linear equations. Key words
5、: generalized inverse of matrix; left inverse; right inverse; full rank decomposition; linear equations III 目 录 1 绪 论 . 1 1.1 问题的背景 . 1 1.2 问题的研究意义 . 2 2 几种常用 广义逆矩阵的 性质及 求解 方法 . 4 2.1 预备知识 . 4 2.2 广义逆矩阵的定义及分类 . 5 2.3 减号逆的性质与求解 . 6 2.4 自反广义逆的性质与求解 . 9 2.5 加号逆的性质与求解 . 13 3 矩阵的广义逆在解线性方程组中的应用 . 18 3.1 线
6、性方程组的求解问题 . 18 3.2 减号逆 与相容线性方程组的 通 解 . 19 3.3 极小范数逆与相容线性方程组的极小范数 解 . 20 3.4 最小二乘逆与 矛盾线性方程组的最小二乘解 . 22 3.5 加号逆 在线性方程组求解中的应用 . 25 4 结论 . 26 致 谢 . 27 参考文献 . 28 1 1 绪论 1.1 问题的背景 Moore.E.H 是公认的研究广义逆矩阵的第一人，他在美国数学会 1920 年 一个会议报告的摘要中，对任意矩阵定义了广义逆，当时他称之为 general reciprocal。 Moore 关于广义逆的较详细结果发表在 Moore(1935)的著名
7、论文中。于是，许多学者通常把 1935 年作为广义逆研究的起点。在这篇论文中，对任意 nm 矩阵 A ， Moore 用下面两个矩阵方程 )(ARPAX ， )(XRPXA (1) 来定义广义逆 X ，这里 )()( XRAR PP 和 分别是 )()( XRAR 和 上的正交投影算子。在这之后的 20 多年中，人们对广义逆的研究并未给予应有的重视。 到了二十世纪 50 年代，一些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二乘性质。 Bjerhammar（ 1951a,1951b）在不知道 Moore 结果的情况下，重新提出了广义逆矩阵的概念（他称之为 reciprocal matrix），并注意到了广义
8、逆与线性方程组解的关系。 Bott 和 Duffin(1953)在研究电网理论时，引进了一种后来被称为 Bott-Duffin 广义逆的逆矩阵。当时他们称为约束逆（ constrained inverse）。但这时期的研究工作缺少一般性，零散而不系统。 在广义逆研究中，一个重要的里程碑是 Penrose（ 1955）的著名论文。在这篇文章中， Penrose以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵 A 满足的四个条件（也称 Penrose 条件）：设 nmCA ，则满足 XAXAAXAXXX A XAA X A HH )(4()(3()2()1( (2) 的矩阵 nmCX 称为矩阵 A 的广义逆
9、（其中 的共轭转置表示 AA H ），并证明了（ 2）式的解是唯一的。他还建立了（ 2）式的第一方程的解 A 与方程组 bAx 解的联系。 Penrose 的这项工作在广义逆的研 究中起着十分重要的作用，它使广义逆这一概念获得再生。从此以后，学者们对广义逆的研究倾注了前所未有的兴趣。在此后短短 10 余年 中，发表了数百篇关于广义逆的研究论文。这包括 Greville（ 1957）， Bjerhammar（ 1957,1958） ,Ben-Israel 和 Charnes(1963)， Chipman（ 1964），Scroggs 和 Odell（ 1966）等。在这期间， Erdelyi(1
10、967)引进了群逆，而 Drazin 于 1958 年引进了另一种广义逆，他称之为 pseudo inverse，现在通称为 Drazin 逆。 在 广 义 逆 研 究 的 这 一 高 峰 时 期 ， 统 计 学 家 的 研 究 工 作 占 了 相 当 的 分 量 。 Rao（ 1955,1962,1966,1967）和 Mitra(1968a， 1968b)研究了 1-逆结构表示和不唯一性，并把他们应用于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析估计与检验问题。现在广义逆矩阵已经成为数理2 统计的许多分支不可缺少的有效工具，参见王松桂（ 1987）， wang 和 chow(1994)。 1
11、968 年 3 月，在美国 Texas 举行了广义逆矩阵的专题学术会议，并出版了会议文集，见 Boullion和 odell(1968)。后来 ，分别于 1973 年和 1976 年举行了关于这一课题的讨论班和区域性会议，并出版有文集，分别见 Nashed(1976)和 Campbell（ 1982）。 Ben-Israel(1966)， Stewart（ 1969）， Wedin（ 1973）和何旭初（ 1979）研究了广义逆矩阵的扰动和连续性问题，他们建立了 A 连续性的条件。 在二十世纪 70 年代前后，一些关于广义逆矩阵及其应用的专著陆续问世，其中主要有 Rao 和Mitra（ 197
12、1）， Boullion 和 Odell（ 1971）， Ben-Israel 和 Greville(1974)。这些著作广泛收集和系统总结了散见在各种刊物中关于广义逆的理论、方法和应用的许多重要结果，并在一定程度上规范了许多常用的术语和记号。 我们知道，矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛。可以这样说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到广义逆。Nashed（ 1976）和 Campbell(1982)介绍或综述了广义逆在许多方面的应用，其中包括数理统计、数学规划、数值分析、控制论、博弈论和计量经济等，部分内 容的详细讨论可以在
13、 Rao 和 Mitria(1971)以及 Ben-Israle 和 Greville(1974)中找到。 现在，广义逆矩阵已广泛应用于人工智能与模式识别、信息安全、图像恢复、现代控制论、概率统计、网络定理、测绘学等方面。 1.2 问题的研究意义 矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学实验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日异月新的进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生活实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要。 在生产实践和科学实验中，人们经常碰到一类线 性系统： bAx (3) 其中， nmCA ， nCx ， mCb 。 当 rbAra n k
14、Ara n k ),()( 时，该方程组有解，且 nr 时，有唯一解， nr 时，有无穷多组解， 当 ),()( bArankArank 时，该方程组无解。 无解的线性方程组好像是最为乏味并且没有实际意义。但事实相反，在某些实际问题中，如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，所遇到的方程组往往是不相3 容方程组，没有一个 nCx 能使方程精确相等。因此在实际应用中，需要找一个 nCx ，使得 Ax尽可能的逼近 b ，如何去找 这样的 x ？为了解决这一问题，数学家们做了大量的工作。高斯最先引入了最小二乘法，并从统计方面证明它的合理性。所谓最小二乘，就是找出一个 nCx
15、 ，使得系统的残差 Axbr 的 2 范数最小，即2|min rnCx。如何计算最小二乘问题，成了一个重要的课题。但人们总希望能像 A 可逆时那样显式地写出其解 x 的表达式，为适应这种需要，广义逆应运而生。应用 M-P 逆及其所衍生出的其他类型的广义逆彻底解决线性系统： mnnm CbCxCAbAx ， 的求解问题。 由文献 1的结果，我们知道了广义逆的确是逆矩阵的推广。 4 2. 几种常用广义逆矩阵的性质及求解方法 2.1 预备知识 2.1.1 矩阵的左逆和右逆 文献 14介绍了 所谓“矩阵的右逆，左逆”的概念，其定义如下： 定义 2.1.1 设 A 是 nm 的矩阵，若有 mn 的矩阵
16、G ，满足 mIAG （或 nIGA ） 则称 G 为 A 的右逆（或左逆），记为 1RA （或 1LA ）。 在一般情况下， 11 LR AA ，若 11 LR AA ，则 1A 存在，且 111 LR AAA 。 下面给出左逆，右逆存在的充要条件： 定理 2.1.1 设 A 是 nm 的矩阵， A 有右逆 1RA 的充要条件是 mArank )( 若 A 有右逆，则其中一个右逆是 11 )( HHR AAAA （ 4） 通式为 11 )( HHR AVAVAA （ 5） 其中 V 是任意一个满足 )()( HAV Ara n kAra n k 的矩阵。 定理 2.1.2 设 A 是 nm
17、的矩阵， A 有左逆 1LA 的充要条件是 nArank )( 若 A 有左逆，则其 中一个左逆是 HHL AAAA 11 )( （ 6） 通式为 VAVAAA HHL 11 )( （ 7） 其中 V 是任意一个满足 )()( VAArankArank H 的矩阵。 5 另外由文献 12可得 ，由式（ 4） (或（式 6） )所定义的右逆（或左逆）满足 M-P 方程的四个条件，即 （ 1） )( 11 AAAAAAAA LR （ 2） )( 111111 LLLRRR AAAAAAAA (3) AAAAAAAA LHLRHR 1111 )()( (4) 1111 )()( LHLRHR AAA
18、AAAAA 上面的定理对于广义逆矩阵的计算有着极其重要的作用。 2.1.2 矩阵的最大秩分解 由文献 10可得，设 nmrCA （ nmrC 表示 矩阵集合 nmC 中秩为 r 的矩阵全体构成的集合），则存在矩阵 nrrrmr CCCB ， 使得 BCA 。 矩阵的这种分解，称为最大秩分解（满秩分解）。文献 10同时也给出了求 CB， 的方法。 2.1.3 矩阵的奇异值分解 由文献 14可得，设 A 是 nm 的矩阵， rrankA ，则存在酉矩阵 mmCU ， nnCV 使得 Hr VUA 00 0，其中 r rdiag ),( 21 ， i （ ri ,2,1 ）是 A 的非零奇异值。 2
19、.2 广义逆矩阵的定义及分类 对任意一个 nm 矩阵 A ， Penrose（ 1955）用下面的四个方程定义 A 的广义逆： XAXAAXAXXX A XAA X A HH )(4()(3()2()1( (8) 其中 HA 表示 A 的转置共轭阵。 Penrose（ 1955）证明了，满足上面四个方程的矩阵 X 是唯一的。然而。在更早些时候， Moore（ 1920,1935）用另一种等价形式定义了这种广义逆。后来人们就把式（ 8）定义的广义逆称为 Moore-Penrose 逆（或 M-P 逆），简记为 A ，而把式（ 8）的四个矩阵方程统称为 Penrose 方程。 为了不同的目的，人们
20、定义了满足 Penrose 方程中任意若干个方程的广义逆。 定义 2.2.1 对任意 nm 的矩阵 A ，若 mn 的矩阵 G 满足 Penrose 方程中的第 )(,),(),( lji 方程，则称 G 为 A 的 , lji -逆，记为 ),( ljiA ，其全体记为 , ljiA 。其中 4,1 lji 。 由定义 2.2.1 可知满足 1 个， 2 个， 3 个和 4 个 Penrose 方程的广义逆共有 15 类，其中应用较6 多的是以下 5 类： AAAAA ,4,1,3,1,2,1,1 。矩阵的 1-逆是最基本的广义逆矩阵，通常记为 A ，它与相容线性方程组的解有着紧密的联系。矩
21、阵的 1,2-逆记为 rA ， 1,3-逆记为 lA ， 1,4逆记为 mA ，并称 rA 为自反广义逆， lA 为最小二乘广义逆， mA 为极小范数广义逆。 A 同时包含在 15 类广义逆的集合中， 2.5.1 节介绍了任一矩阵都有 Moore-Penrose 广义逆矩阵，因此任一矩阵的 , lji -逆都是存在的，即集合 A , lji 非空。由于 A 同时具有 15 类广义逆矩阵的特性，且由于它的惟 一性决定了它的重要性及应用的广泛性。 2.3 减号逆的性质与求解 2.3.1 减号逆 A 的定义 定义 2.3.1 对 nmCA ，若 nmCG 满足 AAGA 则称 G 为 A 的 1-逆
22、（或称为 A 的 g 逆），记为 )1(A （或 A ）。 由文献 4可得，对任意 nmCA ，其秩为 r ，其相抵标准形为 QIPA r 00 0(9) 这里 P 和 Q 分别为 mm 和 nn 可逆阵，则 12221121 PBB BIQA r (10) 在（ 10）中，三个矩阵 222112 , BBB 可以任意选取，因此，当 nArr )( 或 m 时，存在无穷多个 A 。仅当 mnAr )( 时才惟一，且就是通常的 1A ，将 222112 , BBB 任意变化，取遍所有可能取的值，我们就获得了全体的 A 。 2.3.2 减号逆 A 的性质 定理 2.3.1 设 nmCA ， C ，则有 （ 1） )()( HH AA (2) )( AA ，其中 00 01 若若
