1、 本科毕业论文（设计） （ 201 届） 无界函数广义积分的数值计算 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 摘要： 由于以 往学习的微积分对广义积分计算的处理方法介绍得不够详尽，因此，通过本论文对广义积分作进一步的探讨 .论文 首 先介绍了广义积分的概念；接着简单阐述了无界函数广义积分的收敛性与发散性的判别方法以及一些常用解析计算方法；最后讨论了几种无界函数广义积分的数值计算方法，并通过实例对上述方法进行Matlab编程实现 . 关键词： 无界函数广义积分；解析计算；数值计算 Numerical Calculation of Improper I
2、ntegral with Unbounded Functions Abstract: Because the past calculus learning doesnt describe the treatment of calculation of improper integral in detail, this thesis will do further discussion about improper integral. Firstly, the concept of improper integral is introduced. Secondly, some criterion
3、s for convergence and divergence as well as some commonly used methods of analytical calculation for the improper integral with unbounded functions are briefly described. Finally, the some numerical methods for the improper integral with unbounded functions are discussed, and the Matlab programs for
4、 the methods mentioned above through specific instances are made. Key words: improper integral with unbounded functions; analytical calculation; numerical calculation 目 录 1 绪论 . 1 1.1 问题的背景 . 1 1.2 问题的意义 . 1 2 无界函数广义积分 . 3 2.1 无界函数广义积分的概念 . 3 2.2 无界函数广义积分的敛散性 . 4 2.3 无界函数广义积分的解析计算 . 6 2.3.1 牛顿 莱布尼茨公
5、式法 . 6 2.3.2 换元积分法 . 6 3 无界函数广义积分的数值计算 . 7 3.1 变量替换法 . 7 3.2 极限过程法 . 7 3.3 区间截取法 . 7 3.4 分部积分法 . 8 3.5 削减奇异性法 . 8 3.6 高斯积分法 . 9 4 MATLAB 实例 . 11 4.1 常用数值积分公式 MATLAB程序 . 11 4.1.1 复合梯形公式 . 11 4.1.2 复合抛物线公式 . 12 4.1.3 龙贝格公式 . 12 4.1.4 一般型高斯 -勒让德积分公式 . 14 4.2 无界函数广义积分数值计算举例 . 15 4.2.1 变量替换法举例 . 16 4.2.2
6、 极限过程法举例 . 17 4.2.3 区间截取法举例 . 19 4.2.4 分部积分法举例 . 20 4.2.5 削减奇异性法举例 . 21 4.2.6 高斯积分法举例 . 22 致谢 . 25 参考文献 . 26 本科生毕业论 文（设计） 1 1 绪论 微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶 .它给出一整套的 科学方法 ，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用 . 1.1 问题的背景 微积分从 20 世纪初开始进入中学， 它 作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终 将成为世人皆知的常识
7、1 .定积分是微积分的研究重点之一，研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性 2 .但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，这样的积分称广义积分 . 通过以往对定积分的学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活中广义积分的应用更加具有实际意义 .因此广义积分自然而然地成了很重要的研究课题 . 在研究广义 积分的过程中，常常要用到数值计算方法，它是数学的一个分支，以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象 .数值计算方法的应用极为广泛，无论是日常工农业生产还是国防尖端科学技术的研究，如大、中型机电
8、产品的优化设计、重大工程项目的设计、地质勘探与油田开发、气象预报与地震预测、新型尖端武器的研制和航空与航天的发展等都离不开它，近年来还被应用到医学、生物学及经济管理、金融和社会学等领域 .另外，它作为一种科学方法渗透到不同的科学领域，形成了一些诸如计算力学、计算物理、计算化学、数字图像处理、计量经济学等交叉学科方向， 随着科学技术的突飞猛进，计算技术和数值计算方法将更加有广阔的发展前景 .相信随着数值计算方法的不断发展和完善，广义积分的计算将变得更加简便和准确 . 1.2 问题的意义 广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，不少人对其进行研究得出了许多的判定方法 .有学者认为，由于积分与级数
9、在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和 3 .也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积 分敛散性极限审敛法的等价定理 4 ，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性 .总而言之，广义积分目前已有多种判别收敛性的方法，但每个判别本科生毕业论 文（设计） 2 法都有其应用的局限性 5 ，但随着广义积分理论的逐渐发展，相信这些局限性会日趋减弱 . 广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，但对于广义积分的计算的研究同样具有很重要的意义 . 广义积分的计算有解析计算和数值计算，在解析方法中，收敛的
10、广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代 替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理 的 6 .通常的积分计算直接利用 牛顿 -莱布尼兹公式 ( ) ( ) ( )ba f x dx F b F a进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此 ， 能够借助微积 分 学的牛顿 -莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的 .许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解 ， 而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区 间上无界或积分区间具有一个或多个无穷端点的情况，无论哪种情况，正常的
11、积分逼近规则必须进行 修改 7 .数值计算的应用有效地解决了这一问题 ,它是 有效使用数字计算机求数学问题近似解的方法与过程 ，其中的数值积分就是求广义积分近似值的有效数值方法 ,因此数 值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题 . 无界函数广义积分的出现和发展，的确解决了许多一般定积分无法求解的问题，尤其在数值计算的辅助下，许多科学与工程计算中的难题，都能迎刃而解 .相信 随着 理论分析和研究的日益深入，无界函数广义积分的数值计算的方法将更加完善，计算过程将更加简便 ,计算结果将更加准确，也将为我们提供产生更有效的解法的新思路 ,其方法在应用上的发展也将日趋进步 . 目前，专家们对数值
12、积分的理论和方法的研究，已经有了很大的突破，为广义积分的数值计算的实现奠定了坚实基础 . 近些年，国内外学者总结出许多处理广义积分计算的方法，理解了这些方法的处理思想，就可以针对具体情况进行灵活的运用 .本论文研究的主要目的就是通过实例分析广义积分数值计算方法的思想， 由于无穷限的广义积分可以通过变量替换化为无界函 数的 反常积分，也可以直接 仿无界函数的广义积分作类似的处理 ,因此，本论文将以无界函数广义积分为研究对象，讨论无界函数广义积分数值计算的处理方法，同时将运用常用的数值积分公式对以上方法通过Matlab进行编程实现 . 本科生毕业论 文（设计） 3 2 无界函数广义积分 广义积分分
13、为无穷限广义积分和无界函数广义积分两种 .无穷限广义积分是指积分区间无界的定积分，而无界函数广义积分是指被积函数无界的定积分，无界函数广义积分也称为瑕积分 . 2.1 无界函数 广义积分的概念 定义 2.1:设函数 f 定义在无穷区 间 , )a 上 ,且在任何有限区间 , au 上可积 ,如果存在极限 lim ( )uau f x dx J ，(2.1) 则称此极限 J 为函数 f 在 , )a 上的无穷限反常积分（简称无穷积分） ,记作 ()aJ f x dx ， 并称 ()a f x dx收敛 .如果极限 (2.1)不存在 ,称 ()a f x dx发散 . 类似地 ,可定义 f 为在
14、( , b 上的无穷积分 : ( ) lim ( )bbuuf x d x f x d x . (2.2) 对于 f 在 ( , ) 上的无穷积分 ,它是用前面两个无穷积分来定义的 : ( ) ( ) ( ) ,aaf x d x f x d x f x d x (2.3) 其中 a 为任意一个实数 ,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .很显然 ,无穷积分(2.3)的收敛性与收敛时的值 ,都和实数 a 的选取无关 .由于无穷积分 (2.3)是由 (2.1)、 (2.2)两类无穷积分来 定义的 ,因此 ,f 在任何有限区间 , ( , )vu 上 ,首先必须是可积的 . 定义 2.2
15、:设函数 f 定义在区间 (, ab 上 ,在点 a 的任一右邻域内无界 ,但在任何内闭区间 , ( , u b a b 上有界且可积 .如果存在极限 lim ( )buua f x dx J (2.4) 则称此极限为无界函数 f 在 (, ab 上的反常积分 ,记作 ()baJ f x dx ，并称反常积分 ()ba f xdx收敛 .如果极限 (2.4)不存在 ,称反常积分 ()ba f xdx发散 8 . 本科生毕业论 文（设计） 4 在定义 2.2中 ,被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 ,这时点 a 称为 f 的瑕点 ,则无界函数反常 积分()ba f xdx 称为瑕积分 . 类似
16、地 ,可定义瑕点为 b 时的瑕积分 : ( ) lim ( )buaaubf x d x f x d x ，其中 f 在 , )ab 有定义 ,在点 b 的任一左邻域内无界 ,但在任何 , , )a u a b 上可积 . 若 f 的瑕点 ( , )c ab ,则定义瑕积分 ( ) ( ) ( ) l im ( ) l im ( )b c b u ba a c a vu c v cf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x ， (2.5) 其中 f 在 , ) ( , a c c b 上有定义 ,在点 c 的任一邻域内无界 ,但任何 , , )a u a c
17、 和 , ( , v b c b上可积 .当且仅当 (2.5)式右边两个瑕积分都收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 . 又若 ab、 两点都是 f 的瑕点 ,而 f 在任何 , ( , )u v a b 上可积 ,这时定义瑕积分 ( ) ( ) ( ) l im ( ) l im ( )b c b c va a c u cu a v bf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x ， (2.6) 其中 c 为 (, )ab 内任一实数 ,同样地 ,当且仅当 (2.6)式右边两个瑕积分都收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 . 2.2 无界函数广义积分的敛散性 判别广
18、义积分收敛或发散的方法有多种 ,主要有定义法、比较法则、柯西判别法、狄里可雷判别法和阿贝尔判别法等 .一般而言 ,被积函数的原函数已知或易求的用“定义法” ,同样，对于其它判别法，根据具体条件进行选择， 熟悉各判别法的定义，总结各判别法的异同，就能灵活地进行运用 . 常用的几种敛散性判别方法介绍如下： 第一种方法如定理 2.1 所描述的，它在大部分数学教科书上都可以见到，是一种很实用的判别方法 . 定理 2.19 :设函数 ()fx定义在 (,ab 上 ,a 为瑕点 , 在任何 , ( , u b a b 上可积 ,并且lim ( ) | ( ) |pxa x a f x l ,则有 : (1
19、) 当 1,0pl 时 , 瑕积分 | ( )|ba f x dx 收敛； 本科生毕业论 文（设计） 5 (2) 当 1,0pl 时 , 瑕积分 | ( )|ba f x dx 发散 . 在学习数学的过程中，知识的积累和完善至关重要，这不仅可以开拓自己的视野，还 可以让自己对数学的整体有一个全新的认识 .如有时可以利用数项级数以及数列和反常积分之间的联系，运用一定的技巧，巧妙地判断反常积分的敛散性，以下通过定理 2.2及推论 2.1 和 2.2加以说明 . 定理 2.2： 设函数 ()fx在 , )ab 上有定义， b 是 ()fx的瑕点，则瑕积分 ()ba f xdx收敛于 A ，当且仅当对
20、任意序列 nb ，存在 NN ，对任意的 , nn N b b且 limnn bb ，有lim ( )nban f x dx A . 推论 2.1： 设函数 ()fx 在 , )ab 上有定义， b 是 ()fx 的瑕点，如果存在数列 , , limn n nnb b b b b，有 lim ( )nban f x dx 或不存在，则瑕积分 ()ba f xdx 发散 . 推论 2.2： 设函数 ()fx 在 , )ab 上有定义， b 是 ()fx 的瑕点，如果存在数列 , , , ,n n n na b a b b b有 l im ( ) l im ( )nnabaannf x d x f
21、 x d x ，则瑕积分 ()ba f xdx 发散 . 在一定的条件下，也可以利用函数和导函数之间的联系，运用一定的技巧，巧妙地判断反常积分的敛散性 ,如定理 2.3描述的那样，这也是一种简便又有效的判别方法 . 定理 2.310 ： 若 ( ) ( )( ) ( )f x g xf x g x， ()ba g xdx收敛时， ()ba f xdx也收敛； 当 ()ba f xdx发散时， ()ba g xdx也发散 . 在判别无界函数广义积分敛散性时 ,如果被积函数的原函数存在， 可以首先注意观察该原函数在积分区间的闭区间上是否连续或无界 .如果连续，则积分收敛，而且可以用计算普通定积分的
22、方法计算积分值 ;如果无界，则积分值不存在，从而判定积分发散 .判定方法正 如定理 2.4所描述的那样，这样做可以简化计算过程 ,因为直接按定义计算 , 不仅要取极限 ,有时还要分段求解 ,显然比较繁琐 . 定理 2.4： 设函数 ()fx 在 (, ab 上连续， lim ( )xafx （ a 点称瑕点 )，( ) ( )( ( , )F x f x x a b， 则有 (1) 若 ()Fx在 , ab 上连续 ,则广义积分 ()ba f xdx 收敛 ,且 ( ) ( ) ( )ba f x dx F b F a 11 . (2) 若 lim ( )xaFx ， 则广义积分 ()ba f xdx发散 .
