1、毕业论文 开题报告 信息与计算科学 无界函数广义积分的数值计算 一、选题的背景、意义 微积分从 20 世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识 1 .通常谈到积分，最先想到的往往是定积分 .研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性 2 .但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也 称他们为广义积分 .通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义 .因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也
2、是本论文的研究中心 . 广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法 .有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和 3 .也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较 ，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理4 ，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性 .总之，广义积分目前已有多种判别收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性 5 ，随着广义积分理论的逐渐发展，相信这些局限性会日趋减弱。 广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的
3、计算的研究具有很重要的现实意义 .在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点 （ 无 穷 点 ） 并 对 其 取 极 限 的 方 法 处 理 的 6 .通 常 的 积 分 计 算 直 接 利 用 公 式( ) ( ) ( )ba f x dx F b F a 进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函数 ()fx的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式 .而且， 广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间具有一个或多个无穷端点的情况，无论哪种情况，正常的积分逼近规则必须进行 修改 7 .因此引进
4、数值计算的方法进行计算 . 近些年，国内外学者总结出许多处理广义积分的方法，用于计算时，针对具体情况选择具体方法 .由于无穷限的反常积分可以通过变量替换化为无界函数的反常积分，也可以直接仿无界函数的反常枳分作类似地处理 .本论文以无界函数广义积分为研究重点 .用于无界函数广义积分计算的方法有很多，本论文主要讨论： 变量替换法、极限过程法、区间截取法、分部积分法、削减奇异性方法、乘积积分法 .用到的数值积分计算公式有： 梯形公式、抛物线公式、复合公式梯形公式、复合抛物线公式、 Romberg 求积公式、 Guass 型求积公式。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 广义积分的数值计算
5、2.1.1 变量替换法 8 对于形如 10 ()pqx g x dx （其中 p ， q 互为质数，且 qp ， ()gx 通常为多项式），令qxt ，则 11 100( ) ( )p q p qqx g x d x q g t t d t . 2.1.2 极限过程法 设 ()fx在 0x 的邻域内无界，反常积分可以定义为 110 0( ) lim ( ) ,rrf x d x f x d x 由此可得到一个计算方案，令 121 rr 是收敛于 0 的数列，例如 2nnr ，记 121 2 3110 ( ) ( ) ( ) ( )rrr r rf x d x f x d x f x d x f
6、 x d x 右边的每个积分都是正常积分，一般地，当1| ( ) |nnrr f x dx 时，计算停止 . 2.1.3 区间截取法 区间截取通常称奇异性的解析处理，就是把积分区间分成两部分，使一部分有奇点而另不部分没有奇点 .如果 ()baI f x dx 中被积函数 f 在 xa 处有奇异点，则适当地 选取小数 0 ，可使在小区间 , aa 上的积分值处在允许的误差范围之内，即 | ( ) |aa f x dx 而对于积分 ()ba f xdx ， 则可以按标准的数值积分进行 . 2.1.4 分部积分法 9 有时运用分部积分法，也可使某些反常积分化为正常积分，公式如下 : l im ( )
7、 ( ) l im ( ) ( ) | ( ) ( )bb baaabbu x v x d x u x v x u x v x d x . 2.1.5 削减奇异性方法 削减奇异性方法也称分项法，就是把 ( ) ( )baI f f x dx分解为奇异和非奇异两部分，奇异部分可用解析方法求解，非奇异部分可应用标准数值方法求解 .即 找一个函数 ()x ，使它包含 ()fx的奇点，即使 ( ) ( ) ( )f x x x在 , ab 上不再具有奇点，从而 ()ba xdx属正常积分 . 削减奇异性方法有种特殊方法叫康托洛维奇方法，介绍如下： 设积分 ( ) ( )baI f f x dx 的被积
8、函数 f 存在一个奇异点， 康托洛维奇不是直接对 ()If 进行求积，而是选取一个函数g ，使其与 f 有相同的奇异点，并在给定的积分区间 , ab 上可解析求积，而且 fg 有一定阶的导数，把积分写成 ( ) ( ) ( ) ( ) b b ba a af x d x g x d x f x g x d x ， 右边第一个积分可直接求积，第二个积分可用标准的数值求积公式计算 . 函数 g 的选取有很多方法，例如被积函数 f 用公式 ( ) ( ) ( ) , , , f x x c x a c b x a b 来表示，其中 10 ， 在 , ab 上足够光滑， 在 xc 处展成泰勒级数，则可
9、以得到 ()12()2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! 2 ! !( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! 2 ! !k kk kc c cf x c x c x c x c x ckc c cx c x c x c x c x ck 上式右边第一个方括号中是一个幂函数，可以逐项求其积分；而第二个方括号内已无奇点，且相当光滑，可以用标准的数值求积公式计算出来 . 2.1.6 乘积积分法 10 对于形如 ()ba f xdx的反常积分，被积函数能被分解成 ( ) ( ) ( )f x w x g x 的形式，其中(
10、) 0px 它包含 ()wx 是一个奇异的权函数，而 ()gx 在 , ab 上光滑 . 2.2 常用数值积分公式 11 2.2.1 Newton-Cotes 公式 取等距节点 ( 0 , 1 , , , ( ) / )kx a k h k n h b a n 为求积节点，记 x a th ，则有求积系数公式 () 0 1 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )bbn k k nkkaa k k k k k k nx x x x x x x xw l x d x d xx x x x x x x x ， 0,1, ,kn . 称 ()0n nn k kk
11、Q f w f为 Newton-Cotes 公式 . 在上述求积系数公式中，当 1n 时得梯形求积公式： 1 () ( ( ) ( ) )2baQ f f a f b. 当 2n 时得 Simpson 公式： 2 () ( ( ) 4 ( ) ( ) )62b a a bQ f f a f f b . 2.2.2 复合公式和 Romberg 求积公式 记 ( ) / , , 0 , 1 , ,kh b a m x a k h k m .在每个小区间上使用梯形求积公式，便得到复合梯形求积公式 1()10 1 ( 2 )2mmmkkhQ f f f f . 将 , ab 区间 2m 等分，记 (
12、) / ( 2 ) , , 0 , 1 , , 2kh b a m x a k h k m ，在每个小区间上使用抛物线求积公式，则得到复合抛物线求积公式 11( 2 )2 0 2 1 2 2 ( 4 2 )3mmmi i miihQ f f f f f . 使用复合求积公式时，我们通常是将步长 h 逐次分半，利用低次复合求积公式的结果来计算高一次复合求积公式的值，于是有 Romberg 求积公式： 1()10 1 ( 2 )2mmmkkhQ f f f f 2 ( 2 ) ( )( 2 ) 112 22 21mmm Q f Q fQf 4 ( 4 ) ( 2 )( 4 ) 224 42 21m
13、mm Q f Q fQf 6 ( 8 ) ( 4 )( 8 ) 448 62 21mmm Q f Q fQf 111( 2 ) ( 2 )( 2 ) 222 4 41kkkkk m mmkQ f Q fQf . 2.2.3 Gauss 型求积公式 若 , ab 区间上一组节点 01, , , nx x x 使得相应的求积公式 ()0n nn k kkQ f w f， 具有 21n 次代数精度，则称此点 组为 Gauss 点组，相应的求积公式 ()0n nn k kkQ f w f为Gauss 型求积公式 . 2.3 广义积分计算方法在 Matlab 环境中的编程实现 Matlab 是数学、自然
14、科学和工程学的标准指导语言 .它有一个由许多实现特殊应用任务的功能集所组成的工具箱 .对于我的目的而言，我们只需要使用一般的 Matlab 功能集 . 本文将使用 Matlab 通过实例实现 本论文涉及的广义积分计算方法 . 2.4 拟解决的主要问题 运用数值计算公式通过实例对 本论文涉及的广义积分计算方法 在 Matlab 环境中编程实现 . 三 、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 1.研究方法及技术路线 本论文主要以查找资料为主，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，再进行整理 .采取了从阅读已有的数据资料，然后对这些内容进行分析总结，最后运用相关知识来研究无界函数广义积
15、分数值计算的技术路线 . 2.研究难点 （ 1) 关于无界函数广义积分数值计算的资料较少，通过回顾以往所学知识点，通过自主思考，将所学知识运用于实现该数值计算是一个难点 . （ 2）数值计算的公式较多，如何选择既合理又使计算结果准确的公式是一个难点 . （ 3） Matlab 编程 实现是一个难点 . 3.预期达到的目标 本次毕业论文通过无界函数广义积分的研究，熟悉数值计算的基本思想，能回顾 常用的数值积分公式， 深刻理解 多种解决广义积分计算方法 的思想，学会如何借用 Matlab 对数值计算公式进行编程实现 .也掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，在回顾所学知识的基础上，培
16、养自己运用所学知识分析和解决问题的能力，从而增强对所学知识融会贯通的能力 . 四、论文详细工作进度和安排 第 7 学期 11 周（ 2010 年 11 月 15 号）至第 7 学期 12 周（ 2010 年 11 月 28 号） 查阅文献，收集信息、材 料并进行加工整理，形成系统材料 . 第 7 学期 13 周（ 2010 年 11 月 29 号）至第 7 学期 15 周（ 2010 年 12 月 19 号） 研读文献，完成文献综述、开题报告和外文翻译的初稿 . 第 7 学期 16 周（ 2010 年 12 月 20 号）至第 7 学期 17 周（ 2010 年 12 月 31 号） 完成文献
17、综述、开题报告和外文翻译，交指导老师 . 第 7 学期 18 周（ 2011 年 1 月 4 号）至第 8 学期 3 周（ 2011 年 3 月 11 号） 完成论文初稿，并通过审核 . 第 8 学期 4 周（ 2011 年 3 月 14 号）至第 8 学期 10 周（ 2011 年 4 月 29 号） 1、进入实习单位进 行毕业实习，对论文进行修改； 2、 5 月 3 日前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告 . 第 8 学期 11 周（ 2011 年 5 月 3 号）至第 8 学期 12 周（ 2011 年 5 月 12 号） 进一步完善直至完成毕业论文，交指导教师 . 第 8
18、学期 12 周（ 2011 年 5 月 13 号）至第 8 学期 13 周（ 2011 年 5 月 19 号） 1、毕业论文评阅，只有通过评审的毕业论文方可参加毕业论文答辩； 2、撰写答辩提纲，制作答辩 PPT. 第 8 学期 14 周（ 2011 年 5 月 23 号）至第 8 学期 15 周（ 2011 年 6 月 3 日） 完成第一轮论文答辩 . 第 8 学期 15 周（ 2011 年 6 月 4 日）至第 8 学期 16 周（ 2011 年 6 月 12 日） 1、 6 月 5 日至 6 月 10 日第二轮答辩； 2、教务处于 6 月 7 日至 6 月 12 日随机抽取部分毕业论文进行
19、校级答辩 . 五、主要参考文献： 1 华东师范大学数学系 .数学分析 M.第 3 版 .北京 :高等教育出版社 ,2001.6:288. 2 刘勇 . 对 反 常 积 分 非 常 规 收 敛 判 别 法 的 研 究 J.SCIENCE FANS( 理 想 爱 好者 ).2009.4,2(1):22. 3 胡端平 ,李小刚 .反常积分敛散性的根值判别法 J.高等数学研究 .2010.5,3(13):2. 4 丁殿坤，边平勇 .反常积分敛散性极限审敛法的等价定理及其应用 J.湘潭师范学院学报 (自然科学版 ).2005.12,4(27):6. 5 李鑫 .论广义积分敛散性的判别方法 J. 大众商务
20、 .2010.1,1(109):179. 6 Curtis F.Gerald,Patrick O.Wheatley.Applied Numerical AnalysisM.白峰衫改编 .第 7 版 .北京 :高等教育出版社 ,2006.1:270. 7 Richard L.Burden, J.Douglas Faires. Numerical AnalysisM.( 7th edition) 英文影印版 . 北京：高等教育出版社， 2003.4： 213. 8 现代应用数学手册编委会 .现代应用数学手册 计算与数值分析卷 M.北京 :清华大学出版社 ,2005:212. 9 石殿璋 .反常积分的数值积分法 J.纺织基础科学学报 .1990,1(2):121-128. 10 吴强 , 潘 安 江 , 李国强 . 反 常 积 分 求 解 方 法 探 究 J. 内 江 师 范 学 院 学报 .2010,25:99-100. 11 黄明游，刘播，徐涛 . 数值计算方法 M. 北京：科学出版社， 2005.8:125-133
