1、 1199 管理类联考数学解析几何求最值问题 的相关典型例题（一） 来源：文都教育 在管理类联考的理论考试中，在解析几何中，大家一定要学会正确运用理论知识点，其中圆与直线的位置关系是考试的重点和难点 .解析几何求最值问题是一类典型题目，解析几何也可以结合其他代数问题求最值的方法，例如利用均值不等式求最值，利用一元二次函数求最值 .故解析几何求最值问题是一类较为综合较为典型的题目，并且要求同学们的理论知识水平较高，一定要充分理解题目所给的意图 .今天介绍两类比较典型的求值问题的例题 . 一、理论基础 1.求 ybxa 的最值 即是求动点 ( , )Pxy 到定点 ,ab 的斜率的最值，一般题目中
2、会给出动点 ( , )Pxy 是某条直线上或者圆上的点，斜率的最值即为当动点 ( , )Pxy 为直线的端点 ,端点 ( , )Pxy 与定点 ,ab连接的直线与圆相切 . 2. ax by 的最值 一般情况为 ,xy满足某个圆的条件下，求 ax by 的最值 .可设 ,ax by k通过画图可知当直线 ,ax by k与圆相切时， k 取得最值 , 二、典型例题 例 1.动点 ( , )Pxy 在圆 2210xy 上，则 12yx 的最大值是（ ） A. 2 B. 2 C. 12 D. 12 E. 43【解】圆 2210xy 的 圆心为 (0,0) ，半径为 1.r 12yx 即为动点 (
3、, )Pxy 与点 -2-1，两点连线的斜率，通过画图可知当两点连线 43 所在的直线为圆的切线时，斜率取得最值，令 1 1 ( 2 ) 2 1 02y k y k x k x y kx 要取得最值，圆心到直线的距离2 2 2221 1 2 1 1 4 - 4 1 11kd r d k k k k kk ，解得方程的解为4 0,3kk或 故最大值为 43 ,答案为 B. 例 2.若 ,xy满足 22 2 4 0x y x y ,则 2xy 的最大值为（ ） A. 5 B. 10 C. 9 D. 5 2 5 E. 0【解】圆化为标准方程为 22 2 2 22 4 0 ( 1 ) ( 2 ) 5x y x y x y ，故圆心为(1, 2) ，半径为 5.r 令 2 2 0x y k x y k ，想要取得最值， 20x y k 所表示的直线必为圆的切线 ,圆心到直线的距离 5 5 0 1 05kd r d k 或 ，故最大值为 10，最小值为 0，答案为 B. 解析几何 问题大家一定要通过画图并结合图像解决相关问题，最值问题更是如此，因此要求大家的综合基本功较高 .希望同学充分理解相关做题方法和步骤，并且在做题的过程中不能出现计算失误，否则功亏一篑 .希望同学们能够认真备考，这样才能在真正的考研时从容应对考试 .
