1、 1 2007 2009 新课标三年高考数学试题分类解析 平面向量 一、选择题 1、（ 2007山东文 5）已知向量 (1 ) ( 1 )nn ， ， ，ab，若 2 ab与 b 垂直，则 a （ ） A 1 B 2 C 2 D 4 答案： :C 解析： 2 (3, )na b= ，由 2ab与 b 垂直可得： 2( 3 , ) ( 1 , ) 3 0 3n n n n ， 2a 。 2、（ 2007广东文 4 理 10）若向量 ,ab满足 | | | | 1ab， ,ab的夹角为 60，则 a a a b =_； 答案： 32 ； 解析： 131 1 1 22a a a b ， 3、（ 20
2、07山东理 11）在直角 ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的 是 （ A） 2AC AC AB （ B） 2BC BA BC （ C） 2AB AC CD （ D） 22( ) ( )A C A B B A B CCDAB 答案： :C. 解析： 2 ( ) 0 0A C A C A B A C A C A B A C B C ， A 是正确的，同理 B也正确，对于 D 答案可变形为 2 2 2 2C D A B A C B C ，通过等积变换判断为正确 . 4、（ 2007海、宁理 2 文 4）已知平面向量 (1 1) (1 1) ， ， ，ab，则向量 1322a
3、b（ ） ( 2 1)， (21)， ( 10)， ( 12)， 答案： D 解析： 1322ab( 12).， 5、（ 2008广东理科）在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 OE， 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 ACa ， BDb ，则 AF （） 2 A 1142ab B 2133ab C 1124ab D 1233ab 解析：此题属于中档题 .解题关键是利用平面几何知识得出 : 1: 2DF FC ,然后利用向量的加减法则易得答案 B. 答案： B 6、（ 2008广东文科）已知平面向量 (1,2)a ， ( 2, )bm ，且 a /b
4、 ，则 23ab （ ） A、 ( 5, 10) B、 ( 4, 8) C、 ( 3, 6) D、 ( 2, 4) 解析：排除法 :横坐标为 2 ( 6) 4 答案： B 7、（ 2008海南、宁夏） 平面向量 a ， b 共线的充要条件是（ ） A. a ， b 方向相同 B. a ， b 两向量中至少有一个为零向量 C. R， ba D. 存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 120ab 解析：若 ,ab均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 12, 使得120ab ；若 0a ，则由两向量共线知，存在 0 ，使得 ba ，即 0ab ，符合题意，故选 答案： D 8、（ 2008
5、海南、宁夏文）已知平面向量 a =（ 1， 3）， b =（ 4， 2）， ab 与 a 垂直，则 是（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 解析： 4 , 3 2 , 1 , 3 ,a b a 4 3 3 2 0a b a ， 即 10 10 0 1 ，选 答案： A 9. (广东文 3)已知平面向量 a= ,1x（ ） ， b= 2,xx（ ） ， 则向量 ab A平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析： ab 2(0,1 )x,由 210x及向量的性质可知 ,选 C 10.（ 2009广东理 6） 一质点受到平
6、面上的三个力 1 2 3,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 1F ， 2F 成 060 角，且 1F ， 2F 的大小分别为 2 和 4，则 3F 的大小为 3 A. 6 B. 2 C. 25 D. 27 解析： 28)60180c o s (2 0021222123 FFFFF ，所以 723 F ，选 D. 11.（ 2009浙江理 7）设向量 a ， b 满足： | | 3a ， | | 4b ， 0ab 以 a ， b ， ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 解析：对于半径为 1 的
7、圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情 况，但 5 个以上的交点不能实现 12.（ 2009浙江文 5）已知向量 (1,2)a ， (2, 3)b 若向量 c 满足 ( )/c a b ， ()c a b ，则 c （ ） A 77( , )93 B 77( , )39 C 77( , )39 D 77( , )93 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 解析：不妨设 ( , )C mn ，则 1 , 2 , ( 3 , 1
8、)a c m n a b ，对于 /c a b ，则有3(1 ) 2(2 )mn ；又 c a b，则有 30mn ，则有 77,93mn 13.(2009山东 理 7;文 .8)设 P 是 ABC 所在平面内的一点， 2BC BA BP ，则（ ） A. 0PA PB B. 0PC PA C. 0PB PC D. 0PA PB PC 解析： :因为 2BC BA BP ，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应该选 B。 答案： B。 【命题立意】 :本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。 14. （ 2009宁 夏 海 南 理 9 ） 已知 O ， N ， P 在
9、ABC 所 在 平 面 内 ， 且,0O A O B O C N A N B N C ，且 P A P B P B P C P C P A ，则点 O，N， P 依次是 ABC 的 （ A）重心 外心 垂心 （ B）重心 外心 内心 （ C）外心 重心 垂心 （ D）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析： ,0O A O B O C O A B C N A N B N C O A B C 由 知 为 的 外 心 ；由 知 ， 为 的 重 心; 4 0 0 , ,.P A P B P B P C P A P C P B C A P B C A P BA P
10、 B C P C ， ，同 理 ， 为 ABC 的 垂 心 ， 选23.（ 2009辽宁文 理 3）平面向量 a 与 b 的夹角为 060 ， a (2,0), | b | 1，则 | a 2b | （ A） 3 （ B） 2 3 （ C） 4 （ D） 12 解析：由已知 |a| 2,|a 2b|2 a2 4ab 4b2 4 421cos60 4 12 2ab23 答案： B 15.（ 2009宁夏海南文 7）已知 3, 2 , 1, 0ab ，向量 ab 与 2ab 垂直，则实数 的值为 （ A） 17 （ B） 17 （ C） 16 （ D） 16 答案： A 解析：向量 ab （ 3
11、1， 2 ）， 2ab （ 1,2），因为两个向量垂直，故有（3 1， 2 ） （ 1,2） 0，即 3 1 4 0，解得： 17 ，故选 .A。 16.（ 2009福建 理 9，文 12）设 a ， b ， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线， a c a = c ,则 b c 的值一定等于 A以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以 b ， c 为两边的三角形面积 C a ， b 为两边的三角形面积 D. 以 b ， c 为邻边的平行四边形的面积 解析： 假设 a 与 b 的夹角为 ， b c = b c cos = b a cos(900
12、 ) = b a sin ,即为以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积，故选A。 二、填空题 1（ 2008海南、宁夏理）已知向量 (0 11)， ，a ， (410) ， ，b ， 29 ab 且 0 ，则 解析：由 题意 (4,1 , ) a b = 221 6 ( 1 ) 2 9 ( 0 ) 3 答案： 3 5 2、（ 2008江苏 2） ,ab的夹角为 0120 ， 1, 3ab，则 5ab 。 解析： 本小题考查向量的线形运算。 因为 131 3 ( )22ab ，所以 2 2 2 25 ( 5 ) 2 5 1 0a b a b a b a b =49。 因此 5ab7。 答案：
13、7 3.（ 2009广东理 10） 若平面向量 a ， b 满足 1ba ， ba 平行于 x 轴， )1,2( b ，则 a . 解析： )0,1(ba 或 )0,1( ，则 )1,1()1,2()0,1( a 或 )1,3()1,2()0,1( a . 4.（ 2009江苏）已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ， | | 2,| | 3ab，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab = 。 解析： 考查数量积的运算。 32 3 32ab 5.（ 2009安徽理 14）给定两个长度为 1 的平面向量 OA和 OB ，它们的夹角为 120o . 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧
14、AB 上变动 . 若 ,OC xOA yOB其中 ,x y R ,则 xy 的最大值是 _. 解析：设 AOC ,O C O A xO A O A y O B O AO C O B xO A O B y O B O B ，即01c os21c os( 120 )2xyxy 02 c o s c o s ( 1 2 0 ) c o s 3 s i n 2 s i n ( ) 26xy 6.（ 2009安徽文 14） 在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或= + ，其中 ， R ，则 + = _。 解析：设 BC b 、 BA a 则 12AF b a ,
15、12AE b a , AC b a A B C P 第 7 题图 6 代入条件得 2433uu 答案： 4/3 7.（ 2009辽宁文）在平面直角坐标系 xoy 中，四边形 ABCD 的边 AB DC,AD BC,已知点A( 2， 0)， B（ 6， 8）， C(8,6),则 D 点的坐标为 _. 解析：平行四边形 ABCD 中 , OB OD OA OC OD OA OC OB ( 2,0) (8,6) (6,8) (0, 2) 即 D 点坐标为 (0, 2) 答案：（ 0， 2） 14.(天津理 .15)在四边形 ABCD中， AB =DC =（ 1， 1）， 1 1 3BA BC BDB
16、A BC BD，则四边形 ABCD 的面积是 解析： 因为 AB = DC =（ 1， 1） ,所以四边形 ABCD 为平行四边形 ,所以 1 1 3 3 ()B A B C B D B A B CB A B C B D B D 3 3 , 2 , 6B D B A B C B A B C B D 即 则四边形 ABCD的面积为 162 6 2 324S 15.(天津文 15)若等边 ABC 的边长为 32 ，平面内一点 M 满足 CACBCM 3261 ,则 MBMA _. 解析： 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 )3,3(),0,32(),0,0( BAC 这样利用向量关系
17、式，求得 M )21,233( ，然后求得 )25,23(),21,23( MBMA ，运用数量积公式解得为 -2. 三、解答题： 1、（ 2007山东文 17）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为 ta n 3 7a b c C ， ， ， （ 1）求 cosC ； （ 2）若 52CB CA ，且 9ab，求 c 解：（ 1） s i nt a n 3 7 3 7c o s CC C ， 7 又 22sin cos 1CC 解得 1cos 8C tan 0C ， C 是锐角 1cos 8C （ 2） 52CB CA ， 5cos 2ab C， 20a
18、b 又 9ab 222 81a ab b 2241ab 2 2 2 2 c o s 3 6c a b a b C 6c 2.(2009广东文 16)（本小题满分 12 分） 已知向量 )2,(sin a 与 )cos,1( b 互相垂直，其中 )2,0( （ 1）求 sin 和 cos 的值 （ 2）若 c o s53)c o s (5 ， 02,求 cos 的值 解析： （） abvvQ , s in 2 c o s 0ab vvg ,即 sin 2cos 又 2sin cos 1, 224 cos cos 1,即 2 1cos 5 , 2 4sin 5 又 25( 0 , ) sin25
19、, 5cos 5 (2) 5 c o s ( ) 5 ( c o s c o s s i n s i n ) 5 c o s 2 5 sin 3 5cos cos sin , 2 2 2c o s s in 1 c o s ,即 2 1cos 2 又 0 2 , 2cos 2 3.（ 2009浙江理 18）（本题满分 14 分）在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且满足 25cos 25A ， 3AB AC （ I）求 ABC 的面积； （ II）若 6bc ，求 a 的值 解析：（ I）因为 25cos 25A ， 2 34c o s 2 c o s 1 , s i n2
20、 5 5AAA ，又由 3AB AC，得 cos 3,bc A 5bc， 1 s in 22ABCS b c A （ II ）对于 5bc ，又 6bc ， 5, 1bc 或 1, 5bc，由余弦定 理得2 2 2 2 c o s 2 0a b c b c A ， 25a 8 4.（ 2009浙江文 18）（本题满分 14 分）在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且满足 25cos25A ， 3AB AC （ I）求 ABC 的面积； （ II）若 1c ，求 a 的值 解析：（ ） 531)5 52(212c o s2c o s 22 AA 又 ),0( A ， 54c
21、o s1s in 2 AA ，而 353c o s. bcAACABACAB ，所以 5bc ， 所以 ABC 的面积为： 254521s in21 Abc （ ）由（ ）知 5bc ，而 1c ，所以 5b 所以 5232125c o s222 Abccba 5.（ 2009江苏 15）（本小题满分 14 分） 设向量 ( 4 c o s , s i n ) , ( s i n , 4 c o s ) , ( c o s , 4 s i n )a b c （ 1）若 a 与 2bc 垂直，求 tan( ) 的值； （ 2）求 |bc 的最大值 ; （ 3）若 tan tan 16 ，求证：
22、a b . 解析： 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。 6.（ 2009广东理 16） (本小题满分 12 分） 已知向量 )2,(sin a 与 )cos,1( b 互相垂直，其中 (0, )2 （ 1）求 sin 和 cos 的值； （ 2）若 10sin ( ) , 01 0 2 ，求 cos 的值 9 解：（ 1） a 与 b 互相垂直，则 0c o s2s in ba ，即 cos2in ，代入1c o ss in 22 得 55c o s,5 52s in ，又 (0, )2 ， 55c o s,5 52s in . （ 2 ） 20 ， 20 ， 22 ，则10 103)(s in1)c o s ( 2 ， cos 2 2)s i n (s i n)c o s (c o s)(c o s .
