1、 高三数学（理）摸底试卷第 1 页（共 4 页） 开始 输入 x 0x？ 2 1yx 1yx 是 否 输出 y 结束 通州区 2017 2018学年度高三 摸底 考试 数学（理）试卷 2018 年 1 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 150 分考试时间长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 第卷 （选择题 共 40 分） 一、选择题 ： 本 大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1 已知 集合 2| 2 0A x x x Z ，集合 1,0,1B ，那么
2、 AB等于 A 1 B 0,1 C 0,1,2 D 1,0,1,2 2 已知点 2 2 2P ， 为抛物线 2 2y px 上一点，那么点 P 到抛物线准线的距离是 A 2 B 22 C 3 D 4 3 一个算法的程序框图如图所示， 如果 输出 y 的 值 是 1， 那么 输入 x 的值是 A 2 或 2 B 2 或 2 C 2 或 2 D 2 或 2 4 已知 aR ， 那么 “ 直线 1y ax与 42y ax 垂直 ”是“ 12a ”的 A 充分 而 不必要条件 B 必要 而 不充分条件 C 充分必要条件 D 既不 充分也不必要条件 5 已知数列 na 是公差不为 0 的等差数列， 1
3、1a ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列，那么数列 na 的前 10项和 10S 等于 A 90 B 100 C 10 或 90 D 10 或 100 高三数学（理）摸底试卷第 2 页（共 4 页） 6 已知 a ， bR ， 0ab，则下列不等式一定成立的是 A. 11ab B. tan tanab C. 22log logabD.22baab 7 已知点 2, 1A ，点 ),( yxP 满足线性约束条件 2 0,1 0,2 4,xyxyO 为坐标原点， 那么OPOA 的最小值是 A. 11 B. 0 C. 1 D. 5 8 如图 ， 各 棱 长 均为 1的正三棱柱 1 1 1AB
4、C ABC ， M ， N 分别为线段 1AB ， 1BC 上的动点， 若点 M ， N 所在直线与 平面 11ACCA 不相交 ， 点 Q 为 MN 中点 ， 则 Q 点 的 轨迹的长度 是 A 22 B 32 C 1 D 2 第卷 （非选择题 共 110分） 二、填空题：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在答题卡上 9已知复数 2iia 的实部与虚部相等，那么实数 a _. 10 二项式 612xx的 展开式中的常数项是 _. 11 在极坐标系中， 已知 点 A 是以 2,6为圆心 ， 1为半径的圆上的点，那么点 A 到极点的最大距离是 _. 12 已知点 P
5、的坐标 是 4 3,1 ， 将 OP 绕坐标 原点 O 顺时针旋转 3 至 OQ ， 那么 点 Q 的横 坐标 是 _. NMC 1B 1A 1CBA高三数学（理）摸底试卷第 3 页（共 4 页） 13在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示 已知 小正方形网格的边长为 1，那么该 四面体 的四个面中，面积最大的面的面积是 _. 14 已知 函数 222x axfxa x x 无零点， 那么 实数 a 的取值范围是 _. 三、解答题：本大题 共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说 明，演算步骤或证明过程 . 15 （本题满分 13 分） 已知函数 2 si n c os si n 22
6、f x x x x . （） 求fx的 最小正周期 及单调递增区间 ； （）求 在区间02，上的最大值和最小值 16 （本题满分 13 分） 某次有 600 人参加的数学测试，其成绩的 频数分布表 如图所示，规定 85 分及其以上为优秀 . 区间 75， 80) 80， 85) 85， 90) 90， 95) 95， 100 人数 36 114 244 156 50 （） 现用分层抽样的方法从这 600 人中抽取 20 人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数 ； （） 在 （） 中抽取的 20 名学生中，要随机选取 2 名学生参加 活动 ，记“其中成绩为优秀的人数”为 X ，求 X 的分布
7、列与数学期望 . 17（本题满分 14 分） 如图，在四棱 柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA 平面 ABCD ,底面 ABCD 为梯 形， /AD BC ， 2AB DC，1 1 22AD AA BC ， 点 P ， Q 分别 为 11AD ， AD 的中点 . （）求证： /CQ 平面 1PAC ； QPD 1C 1B 1A 1DCBA高三数学（理）摸底试卷第 4 页（共 4 页） （）求二面角 1C AP D的 余弦值； （）在线段 BC 上是否 存在点 E ，使 PE 与 平面 1PAC 所 成角 的正弦值是 21421 ，若存在，求 BE 的长；若不存在，请 说
8、明理由 . 18（本题满分 13 分） 已知椭圆 22 10xy abab 过点 0, 1 ，离心率 22e . （ ）求椭圆的方程； （ ）已知 点 ,0Pm ， 过点 1,0 作斜率为 0kk 直线 l ，与椭圆 交于 M ， N 两点， 若 x 轴平分 MPN ， 求 m 的值 19（本题满分 13 分） 已知函数 () lnxafx x ， aR . （ ） 当 0a 时，求函数 ()fx的单调区间； （） 对任意的 1,x ， f x x 恒成立，求 a 的取值范围 . 20（本题满分 14 分） 已知等差数列 na 的首项 为 a ，公差为 b ， 等比数列 nb 的首项为 b ，
9、公比为 a . （ ） 若 数列 na 的 前 n 项和 2 3nS n n ，求 a ， b 的 值 ； （） 若 a N ， b N ，且 2 2 3a b a b a . （ i） 求 a 的值； （ ii） 对于数列 na 和 nb ， 满足 关系式 nm bka =+ ， k 为 常数，且 k N ，求 b 的最大值 . 高三数学（理）摸底试卷第 5 页（共 4 页） 高三数学 （理科）摸底考试参考答案 2018.1 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B B D C B 二、填空题 9 2 10. 160 11.3 12. 53213. 1214.
10、, 4 0, 2 三、解 答题 15. 解： （） 因为 ( ) 2 s in c o s c o s 2f x x x xsin 2 os 2xx 2 sin 2 + 4x 4 分 所以fx的最小正周期 2 .2T 5 分 由 2 2 22 4 2k x k ，得 3 .88k x k 所以的单调递增区间 是 3 ,.88k k k Z ， 7 分 （ ） 因为 0,2x ， 所以 52 + ,4 4 4x . 所以当 2 42x ， 即 8x 时，函数 )(xf 取得最大值 是 2 . 当 52 44x ， 即 2x 时，函数 )(xf 取得最小值 52 sin 1.4 所以fx在区间0，
11、上的最大值和最小值 分别为 2 和 1 13 分 16. 解： （） 设其中成绩为优秀的学生人数为 x ，则 244 156 5020 600x ，解得 15x . 所以 其中成绩为优秀的学生人数为 15. 5 分 高三数学（理）摸底试卷第 6 页（共 4 页） （） 依题意， 随机变量 X 的所有取值为 0 ， 1 ， 2 . 25220 1( 0) 19CPX C ， 115 15220 15( 1) 38CCPX C ， 215220 21( 2 ) 38CPX C . 11 分 所以 X 的分布列为 12 分 所以 随机变量 X 的 数学期望 1 1 5 2 1 30 1 2 .1 9
12、 3 8 3 8 2EX 13 分 17. 解： （） 连接 PQ ，因为 点 P ， Q 分别为 11AD ， AD 的中点， 所以 1/PQ CC ， 1PQ CC . 所以四边形 PQCC1 是平行四边形 . 所以 1/ .CQ CP 因为 CQ 平面 1PAC ， 1CP 平面 1PAC ， 所以 /CQ 平面 1.PAC 4 分 （） 因为 1AA 平面 ABCD , 1/AA PQ ， 所以 PQ 平面 ABCD . 5 分 所以以 Q 为坐标原点，分别以 直线 QA ， QP 为 x 轴， z 轴建立空间直角坐标系Qxyz ， 则 y 轴在 平面 ABCD 内 所以 ,A100
13、， ,P002 ， ,C 1 212 ， ,B210 ， 所以 1,0, 2PA， 1 2,1,0PC . 7 分 设平面 1PAC 的法向量为 ,n x y z ，所以 ,n PAn PC 100即 ,.xzxy 20所以 2,4,1n . 8 分 X 0 1 2 P 119 1538 2138 高三数学（理）摸底试卷第 7 页（共 4 页） 设平面 PAD 的法向量为 0,1,0m ， 所以 4 4 21c os , .2121 1nm 又 二面角 1C AP D为锐角， 所以 二面角 1C AP D的余弦值 是 4 21.21 10 分 （） 存在 . 设点 ,Ea10 ，所以 ,1,
14、2 .PE a 设 PE 与平面 1PAC 所成角为 ， 所以 2 1 4sin c o s , .21n P E 所以222 2 1 4212 1 5a a ，解得 1.a 所以 1.BE 14 分 18. 解： （） 因为 椭圆的焦点在 x 轴上，过点 0, 1 ，离心率 22e ， 所以 1b ， 2.2ca 2 分 所以由 2 2 2a b c，得 2 2.a 3 分 所以椭圆 C 的标准方程是 2 2 1.2x y 4 分 （） 因为 过椭圆的右焦点 F 作斜率为 k 直线 l ， 所以直线 l 的方程是 ( 1)y k x. 联立方程组 221,1,2y k xx y 消去 y ，
15、得 2 2 2 21 2 4 2 2 0.k x k x k 显然 0. 设点 11,M x y ， 22,N x y ， 高三数学（理）摸底试卷第 8 页（共 4 页） 所以 212 2412kxx k， 212 222.12kxx k 7 分 因为 x 轴平分 MPN ，所以 MPO NPO . 所以 0.MP NPkk 9 分 所以 12 0.yyx m x m所以 1 2 2 1 0.y x m y x m 所以 1 2 2 11 1 0 .k x x m k x x m 所以 1 2 1 22 2 0 .k x x k k m x x k m 所以 22222 2 42 2 0 .1
16、 2 1 2kkk k k m k mkk 所以242 0.12k kmk 12 分 所以 4 2 0.k km 因为 0k ， 所以 2.m 13 分 19.解： （） 因为 0a ， 所以 lnxfx x ， 0,1 1, .x 1 分 所以 ln .lnxfx x 21 2 分 令 fx 0 ，即 lnx10，所以 .xe 3 分 令 fx 0 ，即 lnx10，所以 .xe 4 分 所以 fx在 ,e 上单调递增，在 ,01 和 ,e1 上单调递减 . 所以 fx的单调递增区间是 ,e ，单调递减区间是 ,01 和 ,e1 . 5 分 （ ）因为 x1 ， 所以 ln .x0 因为 ，
17、 高三数学（理）摸底试卷第 9 页（共 4 页） 所以 对任意的 1,x ， f x x 恒成立，即lnxaxx 恒成立 . 等价于 lna x x x 恒成立 . 7 分 令 lng x x x x ，所以 ln .xxgxx 222 9 分 令 lnh x x x 22，所以 .xhx x 1 所以当 x1 时， .hx 0 所以 hx在 1, 上单调递增 . 所以 .h x h10 11 分 所以当 x1 时， .gx 0 所以 gx在 1, 上单调递增 . 所以 .g x g11 所以 1.a 13 分 20.解：（） 因为 2 3nS n n ， 所以 1 2.aS 1 分 因为 2
18、 2 1 0.a S S 所以公差 2 2.b a a 3 分 （） 证明： 因为 1na a b n ， 1nnb b a ， 又 2 2 3a b a b a ， 所以 2.a b a b ab a b 因为 a ， b 均为正整数， 且 ab ， b ab ， 所以 1.a 所以 2a ， 3.b 6 分 又 2ab a b ，所以 211.ab 当 3a ， 4b 时，有 2 1 2 1 1 11 3 4 1 2+ab ，产生矛盾 . 高三数学（理）摸底试卷第 10 页（共 4 页） 所以 2.a 10 分 （ ） 因为 ， 所以 12 1 2 .nb m k b 所以 12 2 1 .nk b m 12 分 因为 b ， k 均为正整数， k 为 常数， 所以当且仅当 12 1 1n m 时， b 有 最大值 是 2.k 所以 b 的 最大值 是 2.k 14 分
