1、毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化AXB的系数矩阵具有两个明显的特点大型化和稀疏化。大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组AXB是数值计算的重要任务，但是大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求
2、解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）非线性的迭代法是解非线性
3、方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、NEWTON迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。四、研究
4、（工作）步骤、方法及措施（思路）（一）研究方法利用网络、书籍，杂志等渠道收集与非线性方程组迭代解法问题相关的信息资料,然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。（二）准备工作非线性方程组的迭代法是数值计算的重要任务，但是它的体系还不是很完善，现有的研究和理论还比较薄弱，但是人们从来没有停止过对非线性方程组的深入研究。很多人都会根据需要来研究非线性方程组迭代法的推广，探索它新的理论体系。在关于非线性方程组迭代法的研究上，我采取了先对已知非线性方程组的迭代法定义了解的基础上，再根据这些非线性方程的迭代得出新的迭
5、代法定义，然后就所有可用资料结论来完成对这项研究进行全面的认识而后集结成文。这次研究资源的主要取向是图书馆藏书、网上的刊物及博硕士论文，通过对资料的整理、对知识点的理解、掌握，编写而成。主要思想是在非线性方程组迭代法的理解基础上，讨论它们之间的关系，对非线性方程组迭代法的推广的分析来完成。五、毕业论文（设计）提纲摘要1引言11概念2非线性方程的根的定位和二分法21根的定位22二分法3非线性方程组的迭代法解法31概论4基于不动点迭代原理41概述42不动点的迭代格式性43迭代法的局部收敛性与收敛阶44非线性方程组的不动点迭代解法5牛顿迭代法51牛顿迭代法格式52牛顿迭代法的收敛性质53牛顿迭代法解
6、非线性方程组六、主要参考文献1张韵华，奚梅成等数值计算方法和算法M科学出版社，2001,112施吉林，刘淑珍等计算机数值方法第三版M高等教育出版社，2009,43封建胡，车刚明等数值分析原理M科学出版社，2001,94吕同富，方秀男等数值计算方法M清华大学出版社，2008,105马东升，熊春光数值计算方法习题及解答M机械工业出版社，2006,96周国标，奚宋宝润等数值计算M高等教育出版社，2009,57贾利新，张国芳等数值分析M武汉大学出版社，2009,58杨泮池，乔学军等计算方法M西安交通大学出版社，2005,79杜玉琴几类迭代格式收敛性的新判据D哈尔滨理工大学，200310徐良藏求解非线性
7、方程迭代法之研究D浙江大学，200111刘静解非线性方程组高阶迭代算法的收敛性分析D浙江大学，200412朱静芬关于牛顿类迭代法的收敛性和误差分析D浙江大学，200413王文霞若干非线性算子与非线性方程的讨论D郑州大学，200314牛顿NEWTON求根公式的改进J吉林工学院学报自然科学版，2002,0315陈新明，杨逢建求多项式方程重根的一种高阶收敛的迭代法J五邑大学学报自然科学版，2003,0316汪天友，刘木静，孙芳琴非线性方程迭代法近似求根及程序实现J贵阳金筑大学学报，2005,03毕业论文文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代
8、解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面
9、，是一门理论性较强的课程。近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。特别是MATHWORKS公司对MATLAB软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。利用MATLAB所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如动力学，农业学等等。非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现
10、了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。我们通过对非线性方程的研究推广到非线性方程组的研究，两者有很多的共通性。我们把非线性方程的定理定义运用到解非线性方程组，并且结合线性方程组的解法，来求非线性方程组的解。三、研究方向数值分析问题在工农业生产、自然科学和技术科学以及社会经济领域中都有涉及。而
11、非线性的迭代问题在这些领域内都有广泛的应用。我从学习非线性方程的根的定位和二分法、不动点迭代法以及牛顿法出发，深入了解各种迭代法的性质，比如构造、迭代函数、收敛性质以及误差估计等。并且结合线性方程组的知识，比如它的几种迭代形式（整体JACOBI迭代整体CAUSSSEIDEL迭代整体SOR迭代。）在它们的基础上加上自己得出的一些结论。以便我们更好、更清楚理解非线性方程组的迭代解法。四、存在问题线性方程组的数学理论已比较系统，与线性方程组相比，非线性方程组的求解要困难和复杂得多，计算量也大的多，现有的理论研究结果还相对薄弱。非线性方程组的解的结构至今商不清楚，甚至解的存在性还没有一般性结论，解的个
12、数也因问题而异，除非特殊情况。其求解尚无通过的直接方法，目前常用的数值求解思路有两组基于不动点原理的间接法和基于变分原理的优化方法，他们都采用逐步逼近法。四、参考依据1张韵华，奚梅成等数值计算方法和算法M科学出版社，2001,112施吉林，刘淑珍等计算机数值方法第三版M高等教育出版社，2009,43封建胡，车刚明等数值分析原理M科学出版社，2001,94吕同富，方秀男等数值计算方法M清华大学出版社，2008,105马东升，熊春光数值计算方法习题及解答M机械工业出版社，2006,96周国标，奚宋宝润等数值计算M高等教育出版社，2009,57贾利新，张国芳等数值分析M武汉大学出版社，2009,58
13、杨泮池，乔学军等计算方法M西安交通大学出版社，2005,79杜玉琴几类迭代格式收敛性的新判据D哈尔滨理工大学，200310徐良藏求解非线性方程迭代法之研究D浙江大学，200111刘静解非线性方程组高阶迭代算法的收敛性分析D浙江大学，200412朱静芬关于牛顿类迭代法的收敛性和误差分析D浙江大学，200413王文霞若干非线性算子与非线性方程的讨论D郑州大学，200314牛顿NEWTON求根公式的改进J吉林工学院学报自然科学版，2002,0315陈新明，杨逢建求多项式方程重根的一种高阶收敛的迭代法J五邑大学学报自然科学版，2003,0316汪天友，刘木静，孙芳琴非线性方程迭代法近似求根及程序实现J
14、贵阳金筑大学学报，2005,03（20_届）本科毕业设计信息与计算科学非线性方程组的迭代解法目录摘要21引言211概念22非线性方程的根的定位和二分法321根的定位322二分法43非线性方程组的迭代法解法431一般概念44基于不动点迭代原理641概述642不动点的迭代格式543迭代法的局部收敛性与收敛阶744非线性方程组的不动点迭代解法95牛顿迭代法1051牛顿迭代法格式1252牛顿迭代法的收敛性质1353牛顿迭代法解非线性方程组16非线性方程组的迭代解法摘要非线性问题是近代数学研究的主流之一，而非线性方程组常用的求解思路有两种基于不动点原理的间接法和基于变分原理的优化方法，他们都是以迭代的形
15、式实现的。现在我们对非线性方程组的迭代法解法的相关性质及其定理进行了解和研究。关键词非线性方程组不动点迭代法牛顿迭代法1引言现实中的一些问题可转换成为求非线性方程组的数值解的问题，求解非线性方程组既基础又重要，因此在初等代数中就研究了它，迭代法是求解非线性方程组的常用方法，从单变量单个方程组0FX开始，由不动点迭代的基本原理，直到收敛较快的牛顿迭代。牛顿迭代是最常用的求解方法，由于其可扩展到非线性方程组，缺点是局部收敛性和计算量大。近来，对这些缺点提出了不少新意算法，这些算法可分为两个主流一是针对牛顿法局部收敛性引起的初始法选择困难，扩展初始法范围，实现较大范围的收敛效果，其二是针对牛顿法的计
16、算量大提出的，有代表性的是拟牛顿法及其各种变形。基于变分原理的优化方法，把求解非线性方程组问题转换为一个优化问题，这样一来许多与最优领域的发展而来的方法就可以一一应用了。通常，非线性方程组的根不止一个，对于非线性方程组的迭代法求解过程中，要给定初始值或求解范围。下面我们来对非线性方程组进行研究探讨。11概念含N个方程的N元非线性方程组的一般形式是11,2,21,2,1,2,0,0,0NNNNFXXXFXXXFXXX（11）上述1,2,IFIN中至少有一个为非线性函数，记N元变量X12,TNXXX,向量函数FX12,TNNNFXFXFXFXDRR定义非线性函数F,则（11）可记为0FX（12）本
17、文定义FX在定义域D内连续，以保证问题的适定性。所谓非线性方程组求解，指寻找0NXDRFXX使得（），称这样的为方程（12）的解，或为向量值函数FX的零点，特别的当1N时，（12）是一个只含单变量X的非线性方程组0FX13研究非线性方程组的解的存在性和有效解法已有很多成果。本文我们将先讨论（13）的求解原理、方法实施、及其算法分析，然后再扩展到非线性方程组的求解。2非线性方程的根的定位和二分法21根的定位出于迭代法确定初始解的需要，我们需要弄清解的分布情况，在解非线性方程过程中，我们首先要确定根所在的区间，进行方程根的定位。211一般定位方法1分析法使用数学分析的方法，讨论FX及其导数,FXF
18、X在各个区间的值，找出他的单调区间、拐点、渐近线等特征量，弄清FX的性态等，当函数简单时，可以作图分析。2逐步搜索法运用于连续函数，在区间,AB,如0FAFB，则方程0FX在,AB上至少存在一个根。按照某个规则把,AB分成几个子区间。在子区间1,KKXX计算1,2,KFXKN，并记下符号，当发现两个端点的函数值异号，那么该子区间至少有一个实根。如果还能确定该区间上函数的单调性，就可以进一步确定该区间为根的隔离区间。逐步搜索法虽然直观简单，但由于其步长不易确定，当根为偶次重根时不能达到目的。下面我们将对逐步搜索法稍加改进，使之能成为使用的方法，即二分法。22二分法将有根区间,AB用中点02ABX
19、将它平分。如0X不是FA的零点，则继续搜索，检查0FX与FA的符号，如果同号，其所求根在的右侧，此时令1010,AXBX，无论出现什么情况，新有根区间11,AB长度为原区间的一半。对新有根区间继续上述操作可得到新的更小的区间，依次类推，得到一系列区间，这些区间都是前一个的一半1122,NNABABABAB且有12NNNBABA当N时，,NNAB的长度会趋于零，即这些区间将最终收敛于一个点。此点为方程所求的根（在实际操作对于二分法只能执行有限次）。3非线性方程组的迭代法解法31一般概念基于不动点原理和变分原理是求解非线性方程组数值解法的两大思想主流，现在我们讨论基于不动点原理的基本方法的两个策略
20、方法一非线性古典迭代法从解线性方程组的相应方法推广而来，它基于单个非线性方程的迭代。有非线性JACOBI迭代、非线性CAUSSSEIDEL迭代和非线性SOR迭代。二基于整体方程的迭代先将原方程组0FX化为等价的不动点方程组XX（31）其中不动点函数12,TNXXXX是定义在定义域D上的多元连续函数，即111212,NNNNXXXXXXXX（32）由此可建立三种向量迭代格式。整体JACOBI迭代整体CAUSSSEIDEL迭代整体SOR迭代。整体JACOBI迭代格式是最常用的，现有的理论分析主要针对它的其迭代格式为11112112,0,1,2,MMMMNMMMMNNNXXXXMXXXX（33）即1
21、,0,1,2,MMXXM（34）整体CAUSSSEIDEL迭代方式为1111211221211112,0,1,2,MMMMNMMMMNMMMMNNNXXXXXXXXMXXXX（35）类似地有整体SOR迭代1111211221211112,0,1,2,MMMMNMMMMNMMMMNNNXXXXXXXXMXXXX（36）例31【8】求解非线性方程组21121122212112,4080,4040FXXXXXFXXXXX，解分别构造JACOBI和CAUSSSEIDEL不动点迭代格式为2211121211212111212222240400,1,2114040MMMMMMMKMKXXXXXXMXXXX
22、和取初始值00120XX，则JACOBI迭代的计算结果为K1MX2MXK1MX2MX1200000001000000010233103522511869949212212500001075000015233103659511870003176233070857311868763611623310365951187000317可以看出，上述迭代格式是收敛的，但收敛不快。如用CAUSSSEIDEL迭代，可加快本题的收敛速度但是如果将原方程组构成下列迭代形式121221221140400,1,2,4080MMMMMMXXXMXXX仍用原始初值00120XX，迭代序列则发散。由此可见，迭代序列是否收敛
23、是迭代法首要功能，它不仅与迭代函数有关，也可与初值的选择有关。研究非线性方程组的解的存在性和有效解法已有很多成果。下面我们将介绍解非线性方程组的不动点迭代法和牛顿迭代法。4基于不动点原理的迭代41概论在了解了非线性方程的根的定位和二分法后，我们要进一步对非线性方程进行深入研究，我们知道非线性方程的两个基本解法是基于不动点迭代法和基于变分原理迭代法，而牛顿迭代法也是解非线性方程的重要方法之一。下面我们将对非线性方程的不动点迭代法定义定理着重进行了解与探究。从而探讨从单一的解非线性方程扩展到解多个非线性方程组的问题（单一非线性方程的性质推广到非线性方程组），然后对非线性方程组的迭代法性质定理给予证
24、明然后运用迭代法解非线性方程组。应用不动点迭代法需要解决三个问题选择合适的迭代函数X是构造迭代法的首要任务。不动点迭代要保证三个基本要求一为适应性，要保证序列KX始终在X的定义域中，才能使迭代不中断；二为收敛性，要求序列KX收敛到方程0FX的解。迭代收敛性分为全局收敛和局部收敛。三为收敛率，要求收敛速度尽可能高。42不动点方程和不动点迭代法考虑求解非线性方程0FX,X,ABR（41）将0FX改写为下列等价的非线性方程XX（42）如果有,0XABXXFX使则满足（42）的X,AB称为X的不动点，X称为不动点的迭代函数，（42）称为不动点方程，于是给定初始值0X，按迭代格式1KKXX，K0,1,2
25、，（43）就可以产生序列0KKX。如果该序列收敛于X，即LIMKKXX，则称迭代格式（43）收敛。不动点迭代将隐式方程0FX转换为显式的计算式，体现了逐步逼近的思想。一般的，由0FX可改写为XX比如XXFXX对于一个FX可以有不同的写法不同的迭代构造收敛效果不同。43不动点的存在性与迭代法的全局收敛性定理41【6】（不动点存在与唯一性定理）设迭代函数XC,AB,且同时满足（1）定义域条件X,ABXAB；（2）LIPSCHITZ条件存在LIPSCHITZ常数01L,使对任意,TSAB有TSLTS，则不动点迭代函数X在,AB上存在唯一的不动点X值得指出的是，这是不动点存在与唯一的充分条件，却不是必
26、要的也就是说，如果不满足这两个条件或不满足其中一个条件者，可能存在不动点。证明用反证来论证不动点的唯一性，假定有两个不同的1X和2,XAB都是X的不动点，既有1122,XXXX，那么1212XXXX如果有条件来限制函数X对任意,XY,AB，都存在一个小于1的正数L,使得XYLXY（44）那么由43就有111112112101011KMKKMKMKMKKKMKMKMKMKKKMKMKMKXXXXXXXXXXXXXLLLLLXXXXL但这是不可能的，引起矛盾。因此，条件（44）可保证不动点的唯一性这个条件称为LIPSCHITZ条件直观上看条件（44）的作用是限制X不要变化得太快。下面进一步探讨不动
27、点收敛的具体形式。设X满足定理41中的两个条件，X,AB是X在,AB上的唯一不动点，可知序列0,KKXAB由LIPSCHITZ条件，有112222KKKKXXXXLXXLXXLLXXLXX依次类推，即得0KKXXLXX由于01L,故00LIMLIMLIM0KKKKKKXXLXXXXL故有LIMKKXX因此，由定理41的两个条件，可直接推出不动点序列0KKX收敛于不动点X的结论。由于这样的收敛对0X只要求在,AB内，没有其他限制（如要靠近X），所以称为全局收敛，这当然是我们希望的，不仅如此还可以得到误差估计。111121221210KKKKKKKKKKKKKXXXXLXXLXXLLXXLXXLX
28、X进一步，对于任意正整数M，有111111211210101,1KKKMKMKMKKKMKMKMKMKKKMKMKMKXXXXXXXXXXXXXLLLLLXXXXL两边对M取极限10101LIMLIM11KMKKMKKMMLLLXXXXXXXXLL另一方面112111111KMKKMKMKMKMKKMMMKKKKXXXXXXXXLLLLLXXXXL两边对M取极限，可得到另一个误差估计式1LIM,1KMKKKKMLXXXXXXL总结以上推导演绎过程，可归纳为下列充分定理。定理42【6】（不动点迭代收敛与误差估计）设迭代函数XC,AB,由不动点迭代格（43）产生的序列0KKX必收敛于X的不动点X，
29、并有误差估计101KKLXXXXL（410）或11KKKLXXXXL（411）有时分别称（410）和（411）为先验估计，由它们可估计需要迭代的步数。推论41设由式（44）迭代第一步产生的误差01XX为己知，则对于事先给定的误差界限，可以预估满足这一误差需要迭代的步数01LN1LNLLXXNL证明直接由（410）得出。注意到LIPSCHITZ条件，,YXLYXXYAB，当,XY充分接近时，有LIM1YXYXXLYX推论42设迭代函数DFX，X在,AB上有界，且1,XLXAB则定理41和定理42中的结论成立。容易明白，X越接近1，收敛得越慢；X越小，收敛速度越快。44迭代法的局部收敛性与收敛阶在
30、整个迭代区间,AB上要求1X属于全局性条件，不容易满足。实际应用时，常只在不动点X的某个邻域内考虑收敛性，即局部收敛性。定义41【6】如果存在不动点X的某个邻域NXXX，0,对任意初始值0XN，不动点迭代产生的序列KX收敛于X，则称不动点迭代法（43）局部收敛。定理43【6】（不动点迭代局部收敛定理）设X为X的不动点，X在X某个邻域N上连续且有1X，则不动点迭代法局部收敛。证明根据定理条件，由连续函数的性质，在X的某个邻域NXXX，0，使对于任意XN，有1XL于是，对任意XN有XXXXLXX故XN。根据定理42，可断定1KKXX对于任意初值0XN均收敛。证毕。迭代算法的收敛速度常用收敛阶R来刻
31、画11LIMLIMNNRNNNNXXBABXX（412）对于不动点迭代（43），如满足定理41的条件，则有11NNNNNEXXXXSXXSB，故1LIM1NNNBSB可见，全局情况下，不动点迭代属于线性收敛。这个结果不令人满意，探索在局部情况下，何种条件可使不动点迭代的收敛进一步提高下面给出一个定理，并证明。定理44【6】设不动点迭代函数的不动点为X，迭代函数XX在的某个邻域N内M次连续可微。，且01,2,1IXIM，但0,MX则当迭代函数初始值处于0X的邻域内时，迭代法有M阶收敛阶。证明设X为不动点的迭代不动点，X在X的某个邻域N为M阶连续可微。那么11NNNNBXXXXXX把NX在X处作T
32、AYLOR展开得到211111121MMMMNNNNNNNBXBXBXBXBBMM，其中0N1我们希望1LIM0NRRNNBCB，且R尽可能大。由上式可看到，如果有10,“0,0,MMAXXX但0那么11,MNNNMNBXBM两边取绝对值后求极限11LIM0NMMMNNBXCMB不动点迭代的局部收敛阶可达到M，定理44证毕。45解非线性方程组的不动点迭代法定义42【6】假设NNDRR，若存在常数0,1L，使对0,XYDD，成立XYLXY则称X在0D为压缩映射，L称为压缩系数。如果X在0D上为压缩映射，则X在0D上必连续，其次，压缩性与所取的范围有关，对一种范数压缩，不等于对另一种范数也压缩。定
33、理45【6】（压缩映射原理）设NNXDRR在闭集0DD上是压缩映射，且把0D映入自身，既有0DD,则X在0D中存在唯一的不动点X。定理46【6】给出的是区域0DD上的大范围收敛性，要验证其条件不太容易。所以在已知不动点的情况下，验证在局部条件下的压缩条件更容易些。定理47【6】（局部收敛定理一）设X为迭代函数NNDRR的不动点，如果存在开领域SSXX（X,）XD和0L1,使得,LXXXS（X）X则对任意的初始值0XSX，是迭代函数MX的收敛点。定理48【6】（局部收敛定理二）设迭代函数NNDRR为连续函数，若在D内存在的一个不动点X，X在X处存在导数XD（X,且有X的谱半径不超过1，即1X则存
34、在X的一个开领域XRDNSXX,对于任一初始值0XS，迭代格式1MMXX产生的迭代序列收敛到X例41【8】用不动点迭代法求解方程组331211,222122630008620XXXXXXXX解将原方程组改写为等价形式331121122221221213,612,6XXXXXXXXXX在区域1212,0,08DXXXX上22111212212212032,032,027,027,33XXXXXXXX则对一切,1,21,2IJIJ,有032IJX取0641L，则2IJLX。迭代收敛。取005,05TX，迭代5步，得方程组的近似解50533,0359TXX5NEWTON法（牛顿法）51牛顿迭代法格式
35、设方程组（12）存在解INTXD，FX在X的某个开领域0,0DXXXD内可微，又设0MXD是方程组（12）的第K次近似解，由泰勒公式得0MMMFXFXDFXXX由此解出的X作为1M次的近似解，故有11,0,1,2,MMMMXXDFXFXM51其中MDFX就是FX在MX处得JACOBI矩阵，给出初始值0X，上述迭代格式可生产序列0MMX，用格式（51）求解非线性方程组的方法称为牛顿迭代法，简称牛顿法。52牛顿迭代法的收敛性质求解非线性方程组的牛顿法一般只有局部收敛性。现在给出引理51【3】设AX111212122212NNNNNNAXAXAXAXAXAXAXAXAX,其中IJA是NDR上的连续函
36、数，设XD,如果AX非奇异，则存在开领域SXXXD和常数R，对于任意,XSAX均为非奇异，并有估计式1AXR证明省略。定理51【3】设XD是0FX的解，FX在D上可微，如导数FX在D上非奇异且连续函数，则有开领域SXXXD，对任意,XS，由牛顿迭代格式生产的向量序列MX必收敛于X证明设XD由定理条件知AX所有元素IJAX都是D上包含X的连续函数，所以由DFX的非奇异性和引理51可知，存在1R使对所有的1XXR，DFX均为非奇异。由AX的定义，得牛顿法的迭代函数为XXAXFX（52）设12,TNXXXX，则可把（543）写为分量式1,1,2,NIIIMMMXXAXFXIN对上式的两端关于JX的求
37、偏导，得1NIIMMIJMIJMJJJXAXFXFXAXXXX将XX代入，注意到0,KFX于是1,1,2,NIMIJIKMJJXFXAXIJNXX上式的矩阵形式是DXIAXDFX（）将1RR代入，则得D（X）0即牛顿法的迭代函数（X）在X处的JACOBI矩阵为零矩阵，于是其谱半径为零，即D（X）0，由定理51知1RR，使对任意初始值0,XS，由牛顿法产生的序列MX必收敛于X引理52【3】设FX12,1,2,TNIFXFXFXFXFXIN在NDR上具有连续偏导数，则对任意,XXHD,有（1）01MAXTFXHFXDFXTHH（2）01MAXTFXHFXDFXHDFXTHDFXH证明省略。定理52
38、【3】设X是0FX的解，FX在D上的连续可微，导数DFX在D上非奇异且连续，如DFX非奇异，并且对任意,存在常数L,成立有DFXDFXLXX则存在开球SXXXD和常数C，对任意的初始值0,XS，由牛顿公式所产生的序列MX均满足下列关系21MMXXCXX证明由定理条件和定理51，可知存在SXXXD，使对所有,XS，DFX均为非奇异，所有的,XS（M）而且序列MX收敛于X因为11101MAXMMMMMMMTXXXFXXDFXDFXTXXDFXXX（DFX）利用引理51的式1AXR，再运用范数性质，从上式可得101MAXMMTXXRLTXXXX取CRL,即得21MMXXRLTXX由该定理可知，在一定
39、条件下，牛顿法至少具有局部平方收敛。53牛顿迭代法解非线性方程组牛顿法的计算步骤（1）在X附近选取,给定允许误差0和最大迭代次数MAXM；（2）对于1,2,3,MMAXM,执行步1计算MFX和MFX；步2求解关于1MMMXXX的线性方程组MMMFXXFX（）步3计算1MMMXXX步4检验11MMXX和12MFX,若满足，则输出1MXX，否则转步5；步5置1KK,转步2例51【5】用牛顿法解非线性方程组22501310XYXYX在点11P附近求解；解令2212,5,131FXYXYFXYXYX11222231FFXYXYJXFFYXXY2212,5,131FXYXYFXFXYXYX其中,TXXY
40、关于MX的线性方程组2222531131MMMMMMMMMMMXYXXYYXYXYX取迭代初值011TX,则1234125,225100,202778100019,200009,100000,200000TTTTXX，故方程的近似解100000,200000TX。迭代4次已收敛到精确解。总结经过了解和研究之后，我们看到非线性方程组的迭代法是一种逐步逼近的方法，其基本思想是利用迭代格式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直到满意为止。在利用迭代法求解的过程中我们要考虑多个问题比如初始值的选取，迭代函数的构造，迭代序列的收敛性，收敛速度如何而从几个例题中我们可以看出非线性方程组的求解过程比较复杂困
41、难，计算量也很大，因此对于解非线性方程组的迭代法，在未来的时间内还有很多的空间等着人们去研究与探索。参考文献1张韵华，奚梅成等数值计算方法和算法M科学出版社，2001,112施吉林，刘淑珍等计算机数值方法第三版M高等教育出版社，2009,43封建胡，车刚明等数值分析原理M科学出版社，2001,94吕同富，方秀男等数值计算方法M清华大学出版社，2008,105马东升，熊春光数值计算方法习题及解答M机械工业出版社，2006,96周国标，奚宋宝润等数值计算M高等教育出版社，2009,57贾利新，张国芳等数值分析M武汉大学出版社，2009,58杨泮池，乔学军等计算方法M西安交通大学出版社，2005,7
42、9杜玉琴几类迭代格式收敛性的新判据D哈尔滨理工大学，200310徐良藏求解非线性方程迭代法之研究D浙江大学，200111刘静解非线性方程组高阶迭代算法的收敛性分析D浙江大学，200412朱静芬关于牛顿类迭代法的收敛性和误差分析D浙江大学，200413王文霞若干非线性算子与非线性方程的讨论D郑州大学，200314牛顿NEWTON求根公式的改进J吉林工学院学报自然科学版，2002,0315陈新明，杨逢建求多项式方程重根的一种高阶收敛的迭代法J五邑大学学报自然科学版，2003,0316汪天友，刘木静，孙芳琴非线性方程迭代法近似求根及程序实现J贵阳金筑大学学报，2005,03THEITERATIONM
43、ETHODOFNONLINEAREQUATIONSABSTRACTTHENONLINEARPROBLEMISONEOFMODERNMATHEMATICSRESEARCH,ANDTHEMAINSTREAMOFSOLVINGNONLINEAREQUATIONSCOMMONIDEASHASTWOKINDSBASEDONFIXEDPOINTTHEOREMOFINDIRECTMETHODANDBASEDONTHEOPTIMIZATIONMETHODVARIATIONALPRINCIPLE,ANDTHEYALLHAVEITERATIVEFORMREALIZEDNOWWEAREAFRAIDOFNONLINEAREQUATIONSITERATIVEMETHODOFRELATEDPROPERTIESANDTHEOREMISCONCLUDED,FURTHERUNDERSTANDTHEITERATIONMETHODOFNONLINEAREQUATIONSKEYWORDSNONLINEAREQUATIONSFIXEDPOINTITERATIONMETHODNEWTONITERATIVEMETHOD
