1、第三章 一元一次方程 小结与复习,义务教育教科书 数学 七年级 上册,学习目标： 1.加深对一元一次方程及其相关概念的理解. 2.理解解一元一次方程的一般步骤，熟练地解一元一次方程 3.以方程为工具，分析、解决实际问题. 体会列方程中蕴涵的 “数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”,学习重点：熟练解一元一次方程、列一元一次方程解决实际问题,学习难点：分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中学习的相等关系,一元一次方程,方程的解,方程,等式的性质,方案选择问题,1.什么叫方程？,含有未知数的等式叫做方程.,注意： 判断一个式子是不是方程，要看两点：一是等式；二是含有未知数.二者缺一不
2、可.,知识点复习一：方程与方程的解,2.什么是一元一次方程？,只有一个未知数 一元一次方程 未知数的次数为1 方程两边都市整式,4.方程的解与解方程：,一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 （a0）,一元一次方程的最简形式是：ax=b （a0）,一元方程的解也叫方程的根,3.一元一次方程的标准形式和最简形式,（2）求方程的解的过程叫解方程.,（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值 叫方程的解,2,-1,（B）,（C）,（D）,（A）,D,B,1.下列各式中，是方程的是（ ） A x + 3 B x 2 0 C2x + 7 = 3 D2 + 3 = 5,c,2,1,2.在下列方程中哪些是一
3、元一次方程（ ）（1）3x+5=12； （2） + =5； （3）2x+y=3； （4）y2+5y6=0；（5） = 2.,练习一,C,（1）、（2）,4. 若 是一元一次方程，则n= .,3.写一个解为 x=-2 的一元一次方程是 ,等式性质有哪些？并以字母的形式表示出来,等式性质1：如果a=b ，那么a+c=b+c,需注意的是“同一个数，或同一个式子”。,知识点复习二：等式的性质,等式性质2：如果a=b ， 那么ac=bc,如果a=b ， 那么 （c0）,需注意的是“两边都乘，不要漏乘”；“同除一个非0的数”,基础回顾 加深理解,问题3：填空并说明根据等式的第几条性质怎样进行的变形（1）如
4、果ab5，那么a2( )；（2）如果x2y1，那么2x4( ).,b3,根据等式的性质1，两边减2.,4y2,先根据等式的性质2，两边乘2；再根据等式的性质1，两边减4.,（3）由 y=0,得y=2,（2）由7x=-4,得x=-,（1）由3+x=5,得x=5+3,（4）由3=x+2,得x=3-2,a,D,4.若方程 与 的解相同，求a的值.,6.关于x的方程2（x-1）=3m-1与3x+2=-2（m+1） 的解互为相反数，求m的值,三、求解方程 体会化归,问题4：（1）解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为( )的形式.,xa,（2）解一元一次方程的一般步骤是什么？,去分母；去括号；移项；
5、合并同类项；系数化为1.,（3）你能说出每一步的依据吗？,解一元一次方程时，要根据方程的具体特点， 灵活选择解答步骤.,解方程,去括号，得,移项，得,合并同类项，得,化系数为1，得,解：去分母，得,18x+3（x-1）=18-2（2x-1）,18x+3x-3=18-4x+2,18x+3x+4x=18+2+3,25x=23,知识点复习三：解一元一次方程,在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,等式性质2,不要漏乘不含分母的项；分子是多项式，要加上括号,一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号,乘法分配律 去括号法则,不要漏乘括号内的每一项；括号前为“”号时，不要忘了,把含有未知数的项移到方程一边，其
6、它项都移到方程另一边，注意移项要变号,移项法则,移项要变号；一般将未知数移到左边，将常数项移到右边；不要漏项,把方程变为ax=b(a0 )的最简形式,合并同类项法则,将方程两边都除以未知数系数a，得解x=b/a,等式性质2,系数为整数时宜用除法；系数为分数时要乘系数的倒数,系数相加时，字母及指数不变,解方程,解：去分母，得,去括号，得,移项，得,合并同类项，系数化为1得,1.下面方程的解法对吗？若不对，请改正 。,不对,火眼金睛,练习三,解方程：,实际问题,一元一次方程的解（x=a),实际问题 的答案,一元一次方程,知识点复习四：列方程解应用题,建模思想,1.用一元一次方程解决实际问题的基本过
7、程分别 是什么？,2.用方程解实际问题的基本过程：,（1）审：审题，分析题目中的数量关系；,（2）设：设适当的未知数，并表示未知量；,（3）列：根据题目中的数量关系列方程；,（4）解：解这个方程求未知数的值；,（6）答：写出答案.,（5）检：检验所求的解是否符合题意和实际意义；,基本数量关系式1.相遇问题:s甲+s乙=s总 =速度和相遇时间2.追及问题：同地： s先=s后 ， 不同地： s后 s前=s间3.环形跑道问题： 逆向跑： s甲+s乙=一圈的路程 同向跑： s快s慢=一圈的路程 4.流水行船问题：顺水速=静水速+水速 逆水速=静水速-水速,行程问题,练习,1.王力骑自行车从A地到B地，
8、陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一条公路均速前进,已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米.求A,B两地的距离.,解：设AB相距x千米,答：AB相距108千米,根据题意，得,解得,x=108,A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后两车相距80千米？,线段图分析：,甲,乙,A,B,80千米,第一种情况：A车路程B车路程相距80千米 =相距路程,相等关系：总量=各分量之和,50x + 30x + 80 = 240,240千米,x = 2,50x,
9、30x,变式练习,A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后两车相距80千米？,线段图分析：,甲,乙,A,B,80千米,第二种情况：A车路程B车路程-相距80千米 =相距路程,50x + 30x - 80 = 240,240千米,x = 4,50x,30x,2.小刚和小强从A,B两地同时出发,小刚骑自行车,小强步行,沿同一条路线相向匀速而行.出发后2h两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24km,相遇后0.5h小刚到达B地.两人的行进速度分别是多少?相遇后经过多少时间小强到达A地?,解：设小强每小时行x千米
10、,小刚每小时行x 12千米.根据题意，得 2 x (x 12)0.5 解得 x 4 则 424216 16248答：小强的速度是每小时4千米,小刚的速度是每小时16千米.相遇后经过8小时小强到达A地.,3.运动场的跑道一圈长400米,小健练习骑自行车,平均每分骑350米,小康练习跑步.平均每分跑250米,两人从同一处同时反向出发,经多长时间首次相遇?又经多长时间再次相遇?,运动场的跑道一圈长400米,小健练习骑自行车,平均每分骑350米,小康练习跑步.平均每分跑250米,两人从同一处同时同向出发,经多长时间首次相遇?又经多长时间再次相遇?,变式,4.甲乙两列火车的长分别为144米和180米，甲
11、车比乙车每秒多行4米.（1）若两列火车相向而行，从相遇到全部错开需9秒钟，问：两车的速度各是多少？（2）若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追击到甲车完全超过乙车，需要多少秒钟？,分析：这是一道涉及相遇与追及问题的创新题，关键 是弄清甲、乙两车行程间的关系。第（1）题中的等量关系是： 甲车行程乙车行程=甲车长乙车长第（2）题中的等量关系为： 甲车行程乙车行程=甲车长乙车长,解：（1）设乙车速度为x m/s，则甲车速度为(x+4)m/s根据题意得：9(x4)9x144180 解得：x16， 则 x420答：甲车速度为20m/s，乙车速度为16m/s。（2）设同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及
12、到甲车全部超出乙车需y秒，依题意得： 20y16y144180 解得：y81 答：同向行驶，甲车从追及乙车车尾到全部超过 乙车需81秒钟。,下表是某校七九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同,请将九年级课外兴趣活动小组次数填入上表.,表格问题：,解：设文艺小组每次活动时间为x小时，则科技 小组每次活动时间为 =3.5-x小时 根据题意，得 4x +3(3.5-x )=12.5 解得：x =2 3.5-2=1.5小时 设九年级文艺小组活动次数为y次，则科技 小组活动次数为 ,只有当y=2时，科技 小组活动次数为 才为整数值2 因此，九年级文艺小组活动次数为2
13、，科技小组活 动次数为2,工程问题中的数量关系：,（1）工作效率=,（2）工作总量=工作效率工作时间,（3）工作时间=,（4）各队合作工作效率=各队工作效率之和,（5）全部工作量之和=各队工作量之和,解： （1）设两工程队合作需要x天完成.,（2）设修好这条公路共需要 y 天完成。 等量关系： 甲30天工作量+乙队y天的工作量 = 1,答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天.,等量关系：甲工作量+乙工作量=1,依题意得,依题意得,解得 y=75,x=48,例：修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成（1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
14、（2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？,一件工作，甲独做15天完成，乙独做30天完成，甲先做5天之后乙又做了10天，剩余工作由甲、乙二人合作完成，需几天？,练习,= 售价进价,利润,利润率=,进价,利润,100%,售价,标价,打折数,10,进价,售价=,+进价利润率,打折销售问题,销售额=销售价销售量,销售总利润=（销售价-进价）销售量 =销售额-总成本,例：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利12.5%，若货品进价为380元，则标价为多少元？,两个等量关系式：,解：若设标价为x元.,根据题意，列方程得：,90% x-3
15、80=38012.5%,等量关系中的利润相等,售价=标价的九折,2.某商场共出售甲、乙两种商品共50件，该50件商品总进价108000元，其中商品甲每件进价1800元，出售后获利200元；商品乙每件进价2400元，出售后获利300元。问该商场出售这50件商品共获利是多少元？,解：设出售甲种商品x件，则乙种商品（50- x ）件，根据题意，得.,解之得,x=20,答：商场出售这50件商品共获利13000元。, 50-x=30, 50件共获利=20 200+30 300=13000,1800x+2400（50-x）=108000,3.现对某商品降价20%促销,为了使销售总金额保持不变,销售量要比按
16、原价销售时增加百分之几?,解：设销售量要比按原价销售时增加x (1-20%)(1+x) = 1 解得 x = 25% 答：销售量要比按原价销售时增加25%.,等量关系：原价销售与促销总金额相等 原价销售总金额=原价销售量（件数） 促销销售总金额=促销价销售量（件数） 把原价当作1,则促销价=1（1-20%） 把原价销售量当作1,则促销价销售量为1（1+x）,1.某会议厅主席台上方有一个长12.8m的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空:字
17、宽:字距=9:6:2，如图所示根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少?,比例分配问题,解：设边空、字宽、字距分别为9x(cm)、6x (cm)、 2x (cm)， 根据题意，得29x+186x+（18-1)2x =1280 解得x=8 则 9x=72 6x=48 2x=16 边空为72cm，字宽为48cm，字距为16cm.,分析：边空2个，字宽18个 字距17个,2.我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、 硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例 配制而成，现要配制这种火药150公斤，则这三种原料各需要多少 公斤？,解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤， 木炭3x公
18、斤,依题意得：15x+2x +3x=150 x=7.5,15x=157.5=112.5 2x=27.5=15 3x=37.5=22.5,答：硝酸钠应取112.5公斤，硫磺取15公斤，木炭 应取 22.5公斤。,增长率问题,例： 某工厂食堂第三季度一共节煤7400斤，其中八月份比七月份多节约20%，九月份比八月份多节约25%，问该厂食堂九月份节约煤多少公斤？ （间接设元）,依题意得：x+ (1+20%)x +(1+20%)(1+25%)x=7400,答:该食堂九月份节约煤3000公斤.,解：设七月份节约煤x公斤,则八月份节约煤(1+20%)x 公斤，九月份节约煤(1+20%)(1+25%)x公斤
19、,x=2000,(1+20%) (1+25%)x=3000,问题：把一个数增加20后再减少20，还等于这个数吗？,例 ：小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期定期储蓄。今年到期后，扣除利息税20%，所得利息正好为小明买了一个价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？,解：设小明爸爸前年存了x元。,依题意得：2 2.43%（1 20%）x = 48.6 x = 1250,答：小明爸爸前年存了1250元钱,等量关系：利息利息税=应得利息,利息 = 本金 年利率 期数,利息税 = 本金 年利率 期数税率（20%）,储蓄问题,练习：某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元。甲种存
20、款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，该公司一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各多少元？,解：设甲种存款为x万元。则乙种存款为（20 - x)万元,根据题意得：,解方程得： x = 5 所以 20 x = 15,答：甲种存款为5万元，乙种存款为15万元,例:某部队开展支农活动，甲队27人，乙队19人，现另调26人去支援，使甲队是乙队的2倍，问应调往甲队、乙队各多少人？,解：设调往甲队x人，则调往乙队（26-x)人,根据题意，得方程：,解方程得：x = 21,答：调往甲队21人。调往乙队5人。,调配问题,例：日历中22方块的四个数的和是72，求这四个数。 解：设四个数中最小的数
21、为x, 解方程，得：x = 14 答：这四个数分别为14，15，21，22。例2：一个两位数，个位数字与十位数字的和是11，若交换十位数字与个位数字的位置，则新数比原数小9，求原两位数。,日历数字问题,练习,1.一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大63，求原来的两位数？ 2.一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位上与个位上的数字之和为这个数的，求这个两位数？,方案设计与成本分析问题,常见于旅游、购物、用电、水费、用气、电信等问题的方案设计，弄清各类问题中的等量关系，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧基本思路：找
22、准数量关系式，先求出两种方案成本相等的那个值a，然后比较得出结论，大于a，哪种方案合算；小于a，则另一种方案合算。,例：小明为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价78元/盏；另一种是60瓦（即0.06千瓦），售价为26元/盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800十时，已知小明家所在地的电价是每千瓦0.52元 （1）设照明时间是x小时时，请用含x的代数式表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用（注：费用=灯的售价+电费）； （2）小明在这两种灯中选购一盏，当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多；当x=1500小时时，选用 _ 灯的费
23、用低； 当x=2500小时时，选用 _ 灯的费用低；由猜想：当照明时间 _ 小时时，选用白炽灯的费用低；当照明时间 _ 小时时，选用节能灯的费用低；（3）小明想在这两种灯中选购两盏，假定照明时间是3000小时，每盏灯的使用寿命是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由,解：（1）用一盏节能灯的费用是（78+0.0052x）元， 用一盏白炽灯的费用是（26+0.0312x）元；,例：小明为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价78元/盏；另一种是60瓦（即0.06千瓦），售价为26元/盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800
24、十时，已知小明家所在地的电价是每千瓦0.52元 （1）设照明时间是x小时时，请用含x的代数式表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用（注：费用=灯的售价+电费）；,（2）小明在这两种灯中选购一盏，当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多；当x=1500小时时，选用 _ 灯的费用低； 当x=2500小时时，选用 _ 灯的费用低；由猜想：当照明时间 _ 小时时，选用白炽灯的费用低；当照明时间 _ 小时时，选用节能灯的费用低；,（2）由题意，得78+0.0052x=26+0.0312x，解得x=2000， 所以当照明时间是2000小时时，两种灯的费用一样多 当x=1500小时， 节能灯的费用是7
25、8+0.0052x=85.8元， 白炽灯的费用是26+0.0312x=72.8元， 所以当照明时间等于1500小时时，选用白炽灯费用低 当x=2500小时， 节能灯的费用是78+0.00522500=91元， 白炽灯的费用是26+0.03122500=104元， 所以当照明时间等于2500小时时，选用节能灯费用低 当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯的费用低； 当照明时间大于2000小时时，选用节能灯的费用低；,（3）分下列三种情况讨论：如果选用两盏节能灯，则费用是782+0.00523000=171.6元；如果选用两盏白炽灯，则费用是262+0.03123000=145.6元；如果选用一
26、盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间2000小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低费用是78+0.00522800+26+0.0312200=124.8元综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低,（3）小明想在这两种灯中选购两盏，假定照明时间是3000 小时，每盏灯的使用寿命是2800小时，请你帮他设计费用 最低的选灯方案，并说明理由,练习：,1.某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元；该工厂的生产能
27、力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不能同时进行；受气温限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种方案，方案一：尽可能多地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成，你认为选择哪种方案获利多呢？,解：方案一：尽可能多地做奶片，可做 吨， 获利 元. 方案二：设x天生产奶片，则 天生产酸奶， 列方程得 . 解得x= . 生产奶片 吨，生产酸奶 吨， 共获利 元.（或设x吨鲜奶制成奶片，则其余 吨鲜奶制成酸奶， 列方程得 . 解得 x= . 共获利 元.） ， .,4,1050
28、0,（4-x）,1.5,1.5,7.5,12000,（9-x）,x+3（4-x）=9,1.5,12000,1050012000,应选择方案二可获利最多,2.某市百货商店元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；超过200元，而不足500元按9折优惠；超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元，问：（1）此人两次购物，其所购物品打折前是多少钱？（2）在此活动中，他节省了多少钱？（3）若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品，能省 钱吗？说明你的理由。,解：（1）1340.9200元，所以134元购物 并无打折。 设购物用466元时商品不打
29、折价格为x， 当x500时， 0.9x=466 x500 此时不成立 当x500时，有5000.9+（x-500）0.8=466 x=520元综上得：两种商品不打折时价值分别为134元，520元.（2）他在本次活动中节省：（134+520）-（134+466）=54元（3）若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品付款： 5000.9+（134+520-500）0.8 =450+123.2=573.2元 与上次花销相比：573.2-600=-26.8元 根据上式可得如果两次合起来购买可比分开购买节约26.8元.,图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是多少？,几何图形问题,解：设长方体的高为xcm，然后表示 出其宽为（30-4x）cm，根据题意得：30-4x=2x 解得：x=5故长方体的宽为10，长为20cm则长方体的体积为 51020=1000cm3答:它的体积为1000cm3,分析：长+2高=302（长+高）=30宽=2高,
