1、鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 第 1 讲 随机事件的概率 【 2013 年高考会这样考】 1随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查 2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法 【复习指导】 随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查，对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟练掌握是解题的基础，因此，复习时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的 特点
2、与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键 基础梳理 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的 必然事件 (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的 不可能事件 (3)必然事件与不可能事件 统称为确定事件 (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生 的事件，叫做随机事件 (5)确定事件 和 随机事件 统称为事件，一般用大写字母 A， B， C 表示 2 频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一 事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(
3、A) nAn为事件 A出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 频率 fn(A)稳定在某个 常数 上，把这个 常数 记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 3 互斥事件与对立事件 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 (1)互斥事件：若 A B为不可能事件 (A B )，则称事件 A 与事件 B互斥，其含义是：事件 A 与事件 B在任何一次试验中不会同时发生 (2)对立事件：若 A B为不可能事件，而 A B为必然 事件，那么事件 A
4、 与事件 B互为对立事件，其含义是：事件 A 与事件 B在任何一次试验中有且仅有一个发生 4 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0 P(A) 1. (2)必然事件的概率： P(A) 1. (3)不可能事件的概率： P(A) 0. (4)互斥事件的概率加法公式： P(A B) P(A) P(B)(A， B互斥 ) P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An)(A1， A2， ， An彼此互斥 ) (5)对立事件的概率： P( A ) 1 P(A) 一条规律 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还
5、要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 两种方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A) 1 P( A )，即运用逆向思维 (正难则反 )，特别是 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型题目，用间接法就显得比较简便 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中 “ 正面向上恰有 5次 ” 是 ( ) A必然事件 B随机事件 C不可能事件 D无法确定 答案 B
6、鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 2在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为 mn，当 n 很大时， P(A)与 mn的关系是 ( ) A P(A) mn B P(A) mn C P(A) mn D P(A) mn 解析 事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值 答案 A 3 (2012兰州月考 )从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D
7、恰有一个红球与恰有二个红球 解析 对于 A中的两个事件不互斥，对于 B中两个事件互斥且对立，对于 C 中两个事件不互斥，对于 D中的两个互斥而不对立 答案 D 4 (2011陕西 )甲乙两人一起去游 “ 2011 西安世园会 ” ，他们约定，各自独立地从1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) A. 136 B.19 C. 536 D.16 解析 若用 1,2,3,4,5,6代表 6处景点，显然甲、乙两人选择结果为 1,1、 1,2、1,3、 、 6,6，共 36种；其中满足题意的 “ 同一 景点相遇 ” 包括 1,1、 2
8、,2、3,3、 、 6,6，共 6个基本事件，所以所求的概率值为 16. 答案 D 5 (2011湖北 )在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 _(结果用最简分数表示 ) 解析 所取的 2瓶中都是不过期的饮料的概率为 P C227C230117145，则至少有 1瓶为已鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 过保质期饮料的概率 P 1 P 28145. 答案 28145 考向一 互斥事件与对立事件的判定 【例 1】
9、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从 40 张扑克牌 (红桃、黑桃、方块、梅花点数从 1 10 各 10 张 )中，任取一张 (1)“ 抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” ； (2)“ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” ； (3)“ 抽出的牌点数为 5 的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点数大于 9” 审题视点 可用集合的观点判 断 解 (1)是互斥事件，不是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “ 抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” 是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出 “ 方块 ” 或者
10、 “ 梅花 ” ，因此，二者不是对立事件 (2)既是互斥事件，又是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张 “ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” 两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件 (3)不是互斥事件，也不是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张 “ 抽 出的牌点数为 5 的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点数大于 9” 这两个事件可能同时发生，如抽得点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解
11、，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系 【训练 1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则 ( ) A A 与 B是互斥而非对立事件 B A 与 B是对立事件 C B与 C 是互斥而非对立事件 D B与 C 是对立
12、事件 解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答， A B 出现点数 1或 3，事件 A，B不互斥更不对立； B C ， B C ，故事件 B， C 是对立事件 答案 D 考向二 随机事件的概率与频率 【例 2】 (2011湖南 )某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时 )与该河上游在 六月份的降雨量 X(单位：毫米 )有关据统计，当 X 70时， Y 460 ； X 每增 加 10 ， Y 增加 5.已 知近 20 年 X 的 值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,22
13、0,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 420 220 (2)假定 今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率 审题视点 第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根据给出的数据进行统计计算即可；第二问中根据给出的 X， Y的函数关系，求出 Y 490或者 Y 530对应的 X 的范围，结合第一问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的概率 解 (1)在所给
14、数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200毫米的有 3 个故近 20 年六月份降雨量频率分布表 为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 320 420 720 320 220 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 (2)由已知得 Y X2 425，故 P(“ 发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时 ” ) P(Y 490 或 Y 530) P(X 130 或 X 210) P(X 70) P(X 110)
15、P(X 220) 120 320 220 310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率为 310. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率 【训练 2】 某市统计的 2008 2011 年新生婴儿数及其中男婴数 (单位：人 )见下表： 时间 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 新生婴儿数 21 840 23 070 20 094 19 982 男婴数 11 453 12 03
16、1 10 297 10 242 (1)试计算男婴各年的出生频率 (精确到 0.001)； (2)该市男婴出生的概率约是多少？ 解 (1)2008 年男婴出生的频率为 fn(A) nAn 11 45321 840 0.524. 同理可求得 2009 年、 2010 年和 2011 年男婴出生的频率分别约为 0.521、 0.512、0.513. (2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在 0.51 0.53 之间，所以该市男婴出生的概率约为 0.52. 考向三 互斥事件、对立事件的概率 【例 3】 据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为 0,1,2 的概率分别为0.4,0.5,0.1.
17、(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率 审题视点 (1)根据互斥事件，第 (1)问可转化为求被消费者投诉 0次和 1次的概 率和 (2)第 (2)问可转化为求以下三种情形的概率和： 1,2月份各被投诉 1次； 1,2月鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 份各被投诉 0,2次； 1,2月份各被投诉 2,0次 解 法一 (1)设事件 A 表示 “ 一个月内被投诉的次数为 0”
18、 ，事件 B 表示 “ 一个月内被投诉的次数为 1” ， P(A B) P(A) P(B) 0.4 0.5 0.9. (2)设事件 Ai表示 “ 第 i 个月被投诉的次数为 0” ，事件 Bi表示 “ 第 i 个月被投诉的次数为 1” ，事件 Ci表示 “ 第 i 个月被投诉的次数为 2” ，事件 D 表示 “ 两个月内共被投诉 2 次 ” P(Ai) 0.4， P(Bi) 0.5， P(Ci) 0.1(i 1,2)， 两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 P(A1C2 A2C1)， 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P(B1B2)， P(D) P(A1C2 A2C
19、1) P(B1B2) P(A1C2) P(A2C1) P(B1B2)， 由事件的独立性得 P(D) 0.4 0.1 0.1 0.4 0.5 0.5 0.33. 法二 (1)设事件 A 表示 “ 一个月内被投诉 2 次 ” ，事件 B表示 “ 一个月内被投诉的次数不超过 1 次 ” P(A) 0.1， P(B) 1 P(A) 1 0.1 0.9. (2)同法一 本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力 【训练
20、 3】 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得， 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件 分别为 A、 B、 C，求： (1)P(A)， P(B)， P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解 (1)P(A) 11 000， P(B) 101 000 1100， P(C) 501 000 120. 故事件 A， B， C 的概率分别为 11 000， 1100， 120. 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫
21、诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、 一等奖、二等奖设 “ 1 张奖券中奖 ” 这个事件为M，则 M A B C. A、 B、 C 两两互斥， P(M) P(A B C) P(A) P(B)P(C) 1 10 501 000 611 000. 故 1 张奖券的中奖概率为 611 000. (3)设 “ 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖 ” 为事件 N，则事件 N 与 “ 1 张奖券中特等奖或中一等奖 ” 为对立事件， P(N) 1 P(A B) 1 11 000 1100 9891 000. 故 1 张奖券不中特等奖
22、且不中一等奖的概率为 9891 000. 难点突破 24 事件对立与互斥的辨别问题 对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若 A， B互斥，则 P(A B) P(A) P(B)；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件，也就是说对立的两个事 件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然事件，即一个事件 A 与它的对立事件 A 的概率之间有关系式 P(A) P( A ) 1，用好这个关系对解决概率问题是非常有用的，它往往能使复杂的问题简单化 【示例 1】 (2012苏州模拟 )甲： A1， A2 是互斥
23、事件；乙： A1， A2 是对立事件，那么 ( ) A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 【示例 2】 抛掷一枚均匀的正 方体骰子 (各面分别标有数字 1、 2、 3、 4、 5、 6)，事件 A 表示 “ 朝上一面的数是奇数 ” ，事件 B 表示 “ 朝上一面的数不超过 3” ，求 P(A B) .精品资料。欢迎使用。 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u .精品资料。欢迎使用。 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u
