1、鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 【 2013 年高考会这样考】 1判断函数的奇偶性 2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值 3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能重点解决综合利用函数的性质解决有关问题 基础梳理 1奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做
2、偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y轴对称 2 奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是 奇函数 ，两个奇函数的积是 偶函数 ； 两个偶函数的和、积都是 偶函数 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 3 周期性 (1)周期函数：对于函数 y f(x)，如果存在一个非 零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函
3、数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x 0处有定义，则 f(0) 0. (2)设 f(x)， g(x)的定义 域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上： 奇奇奇，奇 奇偶，
4、偶偶偶，偶 偶偶，奇 偶奇 三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)性质法 三条结论 (1)若对于 R上的任意的 x都有 f(2a x) f(x)或 f( x) f(2a x)，则 y f(x)的图象关于直线 x a对称 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a x) f(x)，且 f(2b x) f(x)(其中 a b)，则： y f(x)是以 2(b a)为周期的周期函数 (3)若 f(x a) f(x)或 f(x a) 1fx或 f(x a) 1fx，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T 2a； (3)若 f(x a) f(x
5、 b)(a b)，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T 2|ab|. 双基自测 1 (2011全国 )设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f(x) 2x(1 x)，则 f 52 ( ) A. 12 B. 14 C.14 D.12 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，所以 f 52 f 52 f 12 12.故选 A. 答案 A 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 2 (2012福州一中 月考 )f(x) 1x x 的图象关于 ( ) A y轴对称 B
6、直线 y x 对称 C坐标原点对称 D直线 y x 对称 解析 f(x)的定义域为 ( ， 0) (0， )，又 f( x) 1 x ( x) 1x x f(x)，则 f(x)为奇函数，图象关于原点对称 答案 C 3 (2011广东 )设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( ) A f(x) |g(x)|是偶函数 B f(x) |g(x)|是奇函数 C |f(x)| g(x)是偶函数 D |f(x)| g(x)是奇函数 解析 由题意知 f(x)与 |g(x)|均为偶函数， A 项：偶偶偶； B项：偶偶偶，B错； C 项与 D 项：分别为偶奇偶，偶奇
7、奇均不恒成立，故选 A. 答案 A 4 (2011福建 )对于函数 f(x) asin x bx c(其中， a， b R， c Z)，选取 a， b，c的一组值计算 f(1)和 f( 1)，所得出的正确结果一定不可能是 ( ) A 4 和 6 B 3 和 1 C 2 和 4 D 1 和 2 解析 f(1) asin 1 b c， f( 1) asin 1 b c且 c Z， f(1) f( 1) 2c是偶数，只有 D 项中两数和为奇数，故不可能是 D. 答案 D 5 (2011浙江 )若函数 f(x) x2 |x a|为偶函数，则实数 a _. 解析 法一 f( x) f(x)对于 x R恒
8、成立， | x a| |x a|对于 x R恒成立，两边平方整理得 ax 0 对于 x R恒成立，故 a 0. 法二 由 f( 1) f(1)， 得 |a 1| |a 1|，得 a 0. 答案 0 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 考向一 判断函数的奇偶性 【例 1】 下列函数： f(x) 1 x2 x2 1； f(x) x3 x； f(x) ln(x x2 1)； f(x) 3x 3 x2 ； f(x) lg1 x1 x.其中奇函数的个数是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 审题视
9、点 利 用函数奇偶性的定义判断 解析 f(x) 1 x2 x2 1的定义域为 1,1，又 f( x) f(x) 0， 则 f(x) 1 x2 x2 1是奇函数，也是偶函数； f(x) x3 x 的定义域为 R， 又 f( x) ( x)3 ( x) (x3 x) f(x)， 则 f(x) x3 x 是奇函数； 由 x x2 1x |x| 0 知 f(x) ln(x x2 1)的定义域为 R， 又 f( x) ln( x x2 1) ln 1x x2 1 ln(x x2 1) f(x)， 则 f(x)为奇函数； f(x) 3x 3 x2 的定义域为 R， 又 f( x) 3 x 3x2 3x 3
10、 x2 f(x)， 则 f(x)为奇函数； 由 1 x1 x0 得 1x1， f(x) ln1 x1 x的定义域为 ( 1,1)， 又 f( x) ln1 x1 x ln 1 x1 x 1 ln1 x1 x f(x)， 则 f(x)为奇函数 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是： (1)求函数的定义域； (2)证明 f( x)鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 f(x)或 f( x) f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断 【训练 1
11、】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 4 x2|x 3| 3； (2)f(x) x2 |x a| 2. 解 (1)解不等式组 4 x2 0，|x 3| 3 0， 得 2 x0，或 0x 2， 因此函数 f(x)的定义域是 2,0) (0,2， 则 f(x) 4 x2x . f( x) 4 x2 x 4 x2x f(x)， 所以 f(x)是奇函数 (2)f(x)的定义域是 ( ， ) 当 a 0 时， f(x) x2 |x| 2， f( x) x2 | x| 2 x2 |x| 2 f(x) 因此 f(x)是偶函数； 当 a 0 时， f(a) a2 2， f( a) a2 |2a| 2，
12、f( a) f(a)，且 f( a) f(a) 因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数 考向二 函数奇偶性的应用 【例 2】 已知 f(x) x 12x 1 12 (x 0) (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)证明： f(x) 0. 审题视点 (1)用定义判断或用特值法否定； (2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定义域是 ( ， 0) (0， ) 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 f(x) x 12x 1 12 x22x 12x 1. f( x
13、) x2 2 x 12 x 1x22x 12x 1 f(x) 故 f(x)是偶函数 法二 f(x)的定义域是 ( ， 0) (0， )， f(1) 32， f( 1) 32， f(x)不是奇函数 f(x) f( x) x 12x 1 12 x 12 x 1 12 x 12x 1 2x1 2x 1 x1 2x2x 1 1 x( 1 1) 0， f( x) f(x)， f(x)是偶函数 (2)证明 当 x 0 时， 2x 1,2x 1 0， 所以 f(x) x 12x 1 12 0. 当 x 0 时， x 0，所以 f( x) 0，又 f(x)是偶函数， f( x) f(x)，所以 f(x) 0.
14、 综上，均有 f(x) 0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可 【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为 2,2，且在区间 2,0内递减，求满足：f(1 m) f(1 m2) 0 的实数 m 的取值范围 解 f(x)的定 义域为 2,2， 有 2 1 m 2， 2 1 m2 2， 解得 1 m 3. 又 f(x)为奇函数，且在 2,0上递减， 在 2,2上递减， f(1 m) f(1 m2) f(m2 1) 1 m m2 1， 即 2 m 1.
15、鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 综合 可知， 1 m 1. 考向三 函数的奇偶性与周期性 【例 3】 已知函数 f(x)是 ( ， )上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x 1 对称，当 x 0,1时， f(x) 2x 1， (1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x 1,2时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0) f(1) f(2) f(2013)的值 审题视点 (1)只需证明 f(x T) f(x)，即可说明 f(x)为周期函数； (2)由 f(x)在 0,1上的解析式
16、及 f(x)图象关于 x 1对称求得 f(x)在 1,2上的解析式； (3)由周期性求和的值 (1)证明 函数 f(x)为奇函数，则 f( x) f(x)，函数 f(x)的图象关于 x 1 对称，则f(2 x) f( x) f(x)， 所以 f(4 x) f(2 x) 2 f(2 x) f(x)，所以 f(x)是以4 为周期的周期函数 (2)解 当 x 1,2时， 2 x 0,1， 又 f(x)的图象关于 x 1 对称，则 f(x) f(2 x) 22 x 1， x 1,2 (3)解 f(0) 0， f(1) 1， f(2) 0， f(3) f( 1) f(1) 1 又 f(x)是以 4 为周
17、期的周期函数 f(0) f(1) f(2) f(2013) f(2 012) f(2 013) f(0) f(1) 1. 判断函数的周期只需证明 f(x T) f(x)(T 0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题 【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R上的偶函数， g(x)是定义在 R上的奇函数，且 g(x) f(x 1)，则 f(2 013) f(2 015)的值为 ( ) A 1 B 1 C 0 D无法计算 解析 由题意，得 g( x) f( x 1)， 又 f(x)是定义在 R上的偶函数， g(x)是定义在 R上的奇函数，
18、 g( x) g(x)，f( x) f(x)， f(x 1) f(x 1)， f(x) f(x 2)， f(x) f(x 4)， 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 f(x)的周期为 4， f(2 013) f(1)， f(2 015) f(3) f( 1)， 又 f(1) f( 1) g(0) 0， f(2 013) f(2 015) 0. 答案 C 规范解答 3 如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们 之间既有区别又有联
19、系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题 . 【解决方案】 根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为 f x与 fx的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为 fx T与 fx的关系，它们都与 fx有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到 .函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单 调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题 . 【 示例 】 (本题满分 12 分 )(2011沈阳模
20、拟 )设 f(x)是 ( ， )上的奇函数， f(x 2) f(x)，当 0 x 1 时， f(x) x. (1)求 f()的值； (2)当 4 x 4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积； (3)写出 ( ， )内函数 f(x)的单调增 (或减 )区间 第 (1)问先求函数 f(x)的周期，再求 f()； 第 (2)问，推断函数 y f(x)的图象关于直线 x 1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积； 第 (3)问，由图象观察写出 解答示范 (1)由 f(x 2) f(x)得， f(x 4) f(x 2) 2 f(x 2) f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函
21、数， (2 分 ) 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 f() f( 1 4 ) f( 4) f(4 ) (4 ) 4.(4 分 ) (2)由 f(x)是奇函数与 f(x 2) f(x)，得： f(x 1) 2 f(x 1) f (x 1)，即f(1 x) f(1 x) 故知函数 y f(x)的图象关于直线 x 1 对称 (6 分 ) 又 0 x 1 时， f(x) x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示 (8 分 ) 当 4 x 4 时， f(x)的图象与 x
22、 轴围成的图形面积为 S，则 S 4S OAB 4 12 2 1 4.(10分 ) (3)函数 f(x)的单调递增区间为 4k 1,4k 1(k Z)，单调递减区间 4k 1,4k 3(k Z) (12分 ) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 【试一试】 已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x 4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则 ( ) A f( 25) f(11) f(80) B f(80) f(11) f( 25) C f(11) f(80) f( 25) D f( 25) f(80) f(11)
23、尝试解答 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在 0,2上是增 函数可以推知， f(x)在 2,2上递增，又 f(x 4) f(x) f(x 8) f(x 4) f(x)，故函数 f(x)以 8 为周期， f(25) f( 1)， f(11) f(3) f(3 4) f(1)， f(80) f(0)，故 f( 25) f(80) f(11)故选 D. 答案 D .精品资料。欢迎使用。 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org 鑫诚教育网 打造一流教育平台 www.xcedu.org QQ281875486 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u .精品资料。欢迎使用。 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u 高考资源网 w。 w-w*k&s%5￥ u
