1、 毕业论文 开题报告 数学与应用数学 浅谈导数在解决实际问题中的应用 一、选题的背景与意义 15 世纪文艺复兴以后的欧洲 ,资本主义逐渐发展 ,采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题 .其中有两类问题导致了导数概念的产生 :一是求变速运动的瞬时速度 ;二是求曲线上一点处的切线 . 这两类问题都有归结为变量变化的快慢程度 ,即变化率问题 .牛顿从第一个问题出发 ,莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念 13 . 1) 求变速运动的瞬时速度 通常人们所说的物体的运动速度 ,是指物体在一段时间内的平均速度 .例如 :一
2、汽车从甲地出发到达乙地 ,全程 120 千米 ,行驶 4 小时 ,则汽车行驶的平均速度是 30 千米 /小时 .事实上 ,汽车并不是每时每刻都以 30 千米 /小时的速度行驶 ,这是因为 ,下坡时会跑得快些 ,上坡时会跑得慢些 ,也可能中途停车 ,等等 ,即 汽车每时每刻的速度是变化的 .一般来说平均速度不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度 .随着科学技术的发展 ,我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的 ,还要知道物体在某一时刻的瞬时 速度 .例如 :研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度 . 2) 求曲线上一点处的切线斜率 斜率 0000l im l imxxf x x f xyk
3、xx 导数 是微积分 中的重要基础概念 .当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限 .在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可 微分 .可导的函数一定连续 .不连续的函数一定不可导 .导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则 . 导数在实际应用方面有重要意义， 物理学、经济学、几何学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示 .譬 如： 导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀直加为例 ， 位移关于时间的一阶导数是速度 ， 二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的 斜率 （矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和 弹性 . 二、研究
4、的基本内容和拟解决的主要问题 本文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来得到并了解导数的概念和定义 ,并且通过导数解决一些实际应用问题本论文首先引出一些关于导数的概念以下是有关概念： 定义 14 设函数 y f x 在点 0x 的某邻域内有定义，若极限 000limxxf x f xxx (1) 存在，则称函数 f 在点 0x 处的导数，记作 0fx. 令 0x x x , 00y f x x f x ,则 (1)式可改写为 00 000l im l imxxf x x f xy fxxx (2) 所以 ,导数是函数增量 y 与自变量增量 x 之比 yx 的极限 .这个增量比称
5、为函数关于自变量的平均变化率 (又称差商 ),而导数 0fx则为 f 在 0x 处关于 x 的变化率 .若(1)(或 (2)式极限不存在 ,则称 f 在点 0x 处不可导 . 定义 24 设函数 y f x 在点 0x 的某右邻域 00,xx 上有定义，若右极限 0000l i m l i mxxf x x f xyxx 0 x 存在 ,则称该极限值为 f 在点 0x 的右导数 ,记作 0fx .右导数和左导数统称为单侧导数 . 若函数在区间 I 上每一点都可导 (对区间端点 ,仅考虑相应的单侧导数 ),则称 f为 I 上的可导函数 .此时对每一个 xI ,都有 f 的一个导数 fx(或单侧导
6、数 )与之对应 .这样就定义了一个在 I 上的函数 ,称为 f 在 I 上 的导函数 ,也简称为导数 .记作f , y 或 dydx ,即 0l imx f x x f xfx x ,xI . 在物理学中导数 y 也常用牛顿记号 y表示 ,而记号 dydx 是莱布尼茨首先引用的 .目前我们把 dydx 看作为一个整体 ,也可以把它理解为 ddx 施加于 y 的求导运算 ,待到学过“微分”之后 ,我们将说明这个记号实际上是一个“商” .相应于上述各种表示导数的形式 , 0fx有时也写作 0 xxy或0xxdydx. 定义 34 若函数 f 在点 0x 的某邻域 0Ux 内对一切 0x U x 有
7、 0f x f x , 0f x f x , 则称函数 f 在点 0x 取得极大 (小 )值 ,称点 0x 为极大 (小 )值点 .极大值、极小值统称为极值 ,极大值点、极小值点统称为极值点 . 利用导数求函数极 (最 )值这类问题的方法是 :(1)用求导法求出函数导数 .(2)令导数等于 0 ,得出驻点及其不可导点 .(3)用这些点把区间分成几个部分 ,然后讨论函数的单调性 .(4)求出极值点 .(5)求出区间端点值与极值进行比较 ,得到最值 5 . 通过导数的定义，我们将利用导数的思想把导数应用到实际问题中 . 首先我们先叙述一下导数在物理学中的应用 67 . 数理不分家 ,导数在物理中有
8、着广泛的应用 .从实际问题抽象出数学模型后 ,抛弃物理背景 ,用导数方法处理 ,既可减少物理思维难度 ,又能开辟数学的应用天地 .我们可以利用导数求速度和加速度 ,求感应电动势 ,求瞬间电流 ,对连接体进行速度的分解等等 . 解决非匀变速 直线运动的物体的瞬时速度及瞬时加速度的问题 ,就只能利用导数处理 .如果物体按 s s t 的规律作直线运动 ,则物体在时刻 0t 的瞬时速度 00v s t ,也叫位移 s 在时刻 0t 对时间 t 的变化率：在时刻 0t 的瞬时加速度 00a v t 例如 :物体做直线运动 ,位移对时间的变化规律为 265s t t,求物体运动的加速度和初速度各为多少
9、? 由定义有 1 2 5dsv s t tdt .初速度是指 0t 时刻的速度 ,将 0t 代入上式有 : 0 5/v m s , 212 /a v t m s . 此题通常的求法是根据匀位移公式 20 12s v t at比较系数求出加速度和初速度 . 在解决一些非均匀物体的的问题时，也要利用导数 例如 :有一个质量分布不均匀的细杆 AB，长 20cm， AM 段的质量与从 A 到 M 点的距离的平方成正比 .已知 AM=2 cm时， AM质量为 8g.求 AB上任一点处的线密度 ?AB上中点处的线密度 ? 解 : 依 题 意 得 到 AM 段 的 质 量 y 是 AM 段 的 距 离 x
10、的 函 数 关 系为 : 2y kx , 0 20x 由于 2x 时 , 8y ,所以 2k 故质量 y 对距离 x 的函数关系为 : 22yx , 0 20x AB 上 任 一 点 处 的 线 密 度 就 是 质 量 y 对距离 x 的 导 数 ， 即 224dy xxdx g/m AB 上中点处的线密度是 10x 时的线密度，即 10 4 10 40x g/m 在求电源的最大输出功率、求可变电阻 消耗功的最值 .以及炮弹的射程最远问题等都可利用导数得到解决，这里关键在于通过求导运算可以快速得到取极值的条件 接下来我们来叙述一下导数在经济中的应用 812 . 经济学是成本与收益的比较经济学研
11、究经济规律也就是研究经济变量相互之间的关系经济变莓是可以取不同数值的量 ,如通货膨胀率、失业率、产量、收益等等，经济变量分为自变量与因变量 .导数在经济领域中的应用主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系因此必须了解一些经济分析中常见的函 数 . 常见的函数 : (1)价格函数一般说来 ,价格是销售量的函数 (2)需求函数需求函数为 Q f p ,其中 :Q 表示商品需求量； P 表示商品市场价格 (3)成本函数成本函数记为 C , 01C C C,其中 : 0C 为固定成本 ; 1C 为变动成本 (4)收益函数收益函数记为 R ,R pq ,其中 :q 表示销售量； P表示价格 (5)利润函
12、数利润函数记为 L,L=R C,其中： R表示收入 ;C表示成本 一 、 弹性分析 经济学所分析的弹性问题主要可以分为需求弹性和供给弹性 2 个方面也可以 ,也可以分成点弹性和弧弹性 2 种 ,常见的弹性分析主要有需求的价格 弹性、需求的收入弹性、需求的交叉弹性以及供给的价格弹性、供给的收入弹性、供给的交叉弹性等 . 1.需求弹性 1） 需求的价格弹性 所谓需求的价格弹性 ,是指商品价格的变动率与其所引起的需求量变动率之比 .公式为 : dQQPQeP PQP 当价格发生微小变化时 : d dQ Pe dP Q由于需求量与价格反方向变化 ,所以 , P 与 Q 必有一个为负数 ,因此 , de
13、 为负值 .由于对弹性的考察只注重量的变化 ,所以一般都 de 的绝对值 . 需求弧弹性：表示某商品需求曲线上两点之间的需求量的相对变动对于价格的相对变动的反应程度，即需求曲线上两点之间的弹性 . 设需求函数为 Q f P , Q 、 P 各表示需求量和价格的变动量， de 表示需求弹性系数，则需求弹性公式为： dQQPQeP PQP 在计算同一条弧的需求弧弹性时 ,由于 P 和 Q 所取的基值不同 ,因此 ,降价和涨价的计算结果不同 .如果仅是一般计算某一条弧的需求弧弹性 ,并未强调是作为降价或涨价的结果则为了避免不同的计算结果 ,通常取两点的价格和需求量各自的平均值 (中值 )来做为 P
14、和 Q 值 .则需求弧弹性中点公式为 : 121222dQ PPQ P QQeP Q QP Q PP 需求点弹性：表示需求曲线上某一点上需求量的无穷小的变动率对于价格的无穷小的变动率的反应程度 ,即需求曲线上某一点的弹性 . 设需求函数为 Q f P ,dQ ,dP 各表示需求量和价格的无穷小的变动量 , de 表示需求弹性系数 ,则需求点弹性公式为 : dQdQ PQeP dP QP 2） 需求的收入弹性 需求的收入弹性就是用来测定商品的需求量对消费者收入水平变动的反应程度 . % 需 求 的 变 动 率需 求 的 收 入 弹 性 系 数 收 入 的 变 动 率 QYY YQYQQ 3） 需
15、求的交叉弹性 需求的交叉弹性就是用来计量一种商品的需求量的变化对其他商品价格变化反应的灵敏程度 . xyxxy yxyxyQPQQP PQxeyP 商 品 需 求 量 变 动 的 百 分 比商 品 价 格 变 动 的 百 分 比 2.供给弹性 供给弹性表示在一定的时期内 ,一种商品的供给量的相对变动对于该商品价格相对变动的反应程度 .它是商品供给量的变动率与价格变动率之比 . 例 :在一个某种商品的需求量对价格、收入和其它变量的回归方程中 ,收人的回归系数是 10 .要求 :(1)计算当收入为 10000美元 ,商品销售量是 80000 单位时 ,该商品的收入弹性 ;(2)如果该商品销售 量从
16、 80000 上升到 90000 单位 ,收入从 10000美元上升到11000美元 ,商品的收入弹性是多少 ?该商品属于哪种产品 ? 解 (1)该商品的需求收入弹性是 QQII其中： I 表示收入 ;Q 表示商品销售数量；Q 是商品销 售数量 的变化 ; I 是收入的变化 .在对 Q 进行的关于 I 和其它解释变量的回归中 , I 的估计系数是 10 ,即 Q 10I . 因此 , 对于 10000 美元的收入和 80000 单位的销售量 , 商品的收人弹性100001 0 1 .2 580000IE . (2)销售量从 80000 增加到 90000 单位，消费者的收入从 10000美元增
17、加到 11000美元时 , 1.24IE ,所以该商品是奢侈品 二、边际分析 在经济学中 ,习惯用“平均”和“边际 ”的概念描述一个经济变量 y 对于另外一个经济变量 x 的变化 .平均概念 y 表示在自变量 x 的某一个范围内的变化情况 ;边际概念涉及 x 的某一值的“边缘上” y 的变化情况 .显然 ,平均值 ,随石的范围不同而不同 ,边际概念表 示当 x 的改变量 x 趋于 0 时 y 的相应改变量 y 与 x 的比值的变化 ,即当 x 在某一给定值附近有微小变化时 y 的 瞬时变化率 .若设某经济指标 y 与影响指标值的因素 x 之间成立函数关系式 y f x ,则称导数 fx为 y
18、f x 的边际函数 ,记作 My .随着 y ， x 含义不同 ,边际函数的含义也不同 . (1)边际成本函数 . 设生产某产品 q 单位时所需要的总成本函数为 C C q ,则称 MC C q 为边际成本函数 .简称边际成本 , 0Cq称为当产量为 0q 时的边际成本 ,其经济含义是 :当产量为 g.时 ,再生产一个单位产品所增加的总成本为 0Cq . (2)边际收入函数 收入函数 R Rq ,边际收入函数 MR R q ,简称边际收入 , 0Rg 称为当商品销售量为 0g 时的边际收入 ,经济意义为 :当销售量达到 0g 时 ,如果增减一个单位产品 ,则收入将相应地增减 0Rg 个单位 .
19、 (3)边际利润函数 利润函数 L L q R q C q , 边际利润函数 L L q R q C q , 0Lq 称为当产量为 0q 时的边际利润 ,其经济意义是 :当产量达到 0q 时 ,如果增减一个单位产品 ,则利润将相应增减 Lq单位 . 三、 最优化 分析 11 (浅论导数在经济学中的应用 ) 在经济管理中 ,企业需要寻求最小生产成本或获得最大利润的一系列价格策略 .这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题 .这一思想运用到经济上可以进行经济业务最大化、最小化分析 ,通过分析来达到有效、合理安排生产 ,最大限度地取得利润 ,最小限度地消耗能源与原料 .例如最大利润 ,最大收入
20、,最低成本 ,最优批量 ,最大税收等 .(导数在经济分析中的应用 ) 最后我们在说一下导数在几何方面和 实际生活中其它方面 的应用 1315 . 应用导数的知识我们可以进一步研究函数以及曲线的某些性质 , 分析处理解析几何中的有关切线问题 .(浅谈导数的应用 ).比如中值定理 ,单调性 ,极值 ,最值和曲线的凹凸性等 . 导数的引入 ,大大拓宽了数学知识在实际优化问题中的应用空间 .这个问题 ,是一个最优化问题 ,在实际生活中 ,这样的例子比较常见 ,需要建立函数关系式 ,一般没有简单有效的方法 ;即使能求解 ,也要涉及到较高的技能技巧 .恰好用导数的知识 ,来求函数的最值就比较方便 .对于这
21、一 类型的优化问题 ,如果所建立的函数次数较高 ,或是由它们经过四则运算得到初等函数以及它们的复合函数等等 ,都可以比较方便地应用导数知识来求问题的最值 5 . 举个例子：有甲、乙两个城市 .甲城市在一直线高速路 A 处 ,乙城市与甲城市在高速路的同侧 ;乙城市位于离高速路 40 公里的 B 处 ,它到高速路的垂足 D 与 A 相距 50公里 ;两城市要在此路边共建一个加油站 C,从加油站到甲城市和乙城市的费用分别为每公里 3a 元和 5 口元 .问加油站 C 建在路边何处 ,才能使费用最 省 ? 解：设 BCD=Q ,则 40BC=sin , CD=40cot , 0250 40 cotAC
22、 设总的水管费用为 f ,依题意 ,有 4 0 5 3 c o s3 5 0 4 0 c o t 5 1 5 0 4 0s i n s i nf a a a a 所以 25 3 c o s sin 5 3 c o s sin40 sinfa 所以 23 5 c o s40 s infa 令 0f ,得 3cos 5 根据实际意义 ,当 cos 取 35 时 ,函数取到最小值 , 此时 4sin 5 , 3cot 4 , 所以 A C 5 0 4 0 c o t 2 0 公里 ,即加油站建在 A、 D 之间距 城市甲 20 公里处 .可使费用最省 . 导数的应用还有很多 ,比如在化学中解决化学反
23、应速率问题 ,在工程方面研究设计问题 . 三、课题的研究内容及拟采取的研究方法、技术路线及研究难点，预期达到的目标 （ 1） 研究内容 本课题主要是研究导数的定义及其在经济 ,物理 ,几何等实际问题中的应用 （ 2）研究方法 探讨导数的应用问题，要理论联系实际！怎么把导数应用到实际中！导数在实际中有很广泛的作用 主要是通过大量的搜查资料，寻找相关信息，总结导数的定义和实际应用 .我将会通过上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息 （ 3）技术 路线 尽可能的收集足够的相关资料，对资料中的理论研究成果进行整理分析，相互比较后进行总结并尽量得到新的应用 （ 4）研究难点 怎样把导数应用到实际问题中
24、（ 5）预期达到的目标 利用导数解决生活中的一些实际问题 四、论文详细工作进度和安排 1、 查阅文献，收集信息，材料并进行加工整理，形成系统材料（ 10 11学年第一学期第 11周至第 14周） 2、 撰写文献综述及开题报告（ 10 11学年第一学期第 15周至第 17周） 3、 外文翻译，收集、整理、分析资料，写出论文大纲（ 10 11学 年第一学期第 15周至第 17周 ） 4、 仔细研读，分析资料，写出初稿（ 10 11学 年第二学期 第 1周至第 3周 ） 5、 根据导师意见，对论文进行反复修改（ 10 11学年 第二学期 第 4周至第 14周 ） 6、 对论文进行深入研究，弥补不足之
25、处，最后定稿，准备答辩（ 10 11学年第 二学期第 15-16五、主要参考资料 1明清河数学分析的思想和方法 M济南：山东大学， 2004 2Tom M.Apostol Mathematical Analysis(Second Edition) M机械工业出版社， 2004 3 Richard Courant Fritz John Introduction to Calculus and AnalysisM世界图文出版公司， 2001 4华东师范大学数学系数学分析 M .北京：高等教育出版社， 2001 5王丽英巧用导数求最值 J张家口职业技术学院学报， 2010， 3 6林清华 谈导数的几
26、点应用 J 科技信息（学术版）， 2008,9 7熊志权 利用导数处理高中物理问题 J 高中数理化（高三） ， 2007,5 8仇恒喜，赵迎军微观经济学 M北京：经济科学 出版社， 2009 9刘荣花，杨春艳，孙艳伟 导数理论在经济分析中的应用 J 高师理科学刊 ， 2010， 30(4) 10丁 瑶 导数的经济意义及教学探讨 J 重庆电子工程职业学院学报 ， 2010， 19(4) 11杨春艳，祝微 浅谈导数在经济分析中的应用 J 金融理论与教学 ， 2010， 3 12葛琳 例谈导数在经济分析问题中的最优化应用 J 考试周刊， 2009， (36) 13唐红兵 ， 洪燕君 浅谈导数几何意义的应用 J 科技信息 ， 2009， (24) 14张娟 浅谈导数在实际生 活中的应用 J 科技信息， 2010， 19 15夏大鹏 导数的应用刍议 J 湖北广播电视大学学报 ， 2010, 30(2)
