1、毕业论文 开题报告 数学与应用数学 数理与信息工程学院 一、选题的背景、意义 （所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍部世界各个国家。 20 世纪 70 年代以来，国际上每四年在德国召开一次一般不等式国家学术会议，并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三界世界非线性分析学家大会的主题之一。 2000 年和 2001 年在韩国召开的第 6 届和第 7 届非线性泛涵分析和应用国 际会议与 2000 年在我国大连理工大学召开的 ISAA
2、C 都将数学不等式作为主要的议题安排在会议日程之中。 20 世纪 80 年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。 20 世纪 80 年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮，在代数不等式方面，王挽谰教授对 Fanky 不等式的深入研究达到国际领先水平。祁锋教授极其领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于 1981 年发表在中国科学上的论文一个不等式极其若干应用，针对 Holder 不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新的不等式”，现在称之为胡克不等式
3、，胡克教授对这个不等式极其应用作出了系统而深刻的研究。 历史上，华人数学家在不等式领域作出过重要贡献，包括华罗庚，林东坡，徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家。最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论极其应用的领域，他们在相关方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的注意和重视。例如：王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、杨国胜教授等。 目前国内关于数学不等式理论极其应用的研究也有 较丰富的成果。例如匡继昌的专著常用不等式一书由于供不应求，在短短的几年内已经出版了第 2 版，重印过多次。对于数学专著来讲，这是少有的现象。第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的矩阵论中不等式。另外，
4、国内还有一个不等式研究小组比较活跃，主办一个不等式研究通讯的内部交流刊物。 从文献和学者的工作中我们可以发现，今后不等式的研究，可以从以下 4 个方面考虑： 1)推广和改进现有的不等式； 2)建立新的不等式； 3)扩大不等式的应用范围， 4)探索不等式的证明方法。研究的领域可以总结为 :1)如何用不等式去刻划各种 函数空间， 2)在函数论， 特别是函数逼近论中，有正定理，即从函数 F 的构造性质去推断最佳逼近收敛速度，以及逆定理， 3)在概率中许多定律是通过不等式陈述的，因此概率统计中的不等式的研究一直是人们关注的热点之一， 4)用不等式估计各种问题近似解的误差， 5)几何学中的不等式，应该特
5、别关注凸体理论和等周不等式， 6)线性规划（运输调配、生产安排、产品用料配方、经济计划等）归结为一个线性函数。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。 而其中一些不等式如 Hadmard 不等式、 Abel 不等式、 Janous 不等式以及其他不等式更是在数学的理论基础理论的创建、延伸、和应用上起着非凡的作用，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。 1 著名的 Hadamard 不等式可表述为 ： Rbaf ,: 是连续凸函数，则 bfaf21 babafdxxfab 21 。 2 Abel
6、不等式 ： 设 ,.2,1,0,0 niba ii ni iini ii bbaa 222222 ,0,0 则 ,)( 22 2 22222 ni ni ni iiiiiiii bababbaa 等号当且仅当nnbababa .2211 时成立 。 3 Janous 不等式： 设 ABC 的边 BC， CA， AB，与面积分别为 a,b,c, ,记任意一点 P 到顶点 A， B， C 的距离 PA , 32,RR 分别为 321 , RRR ,则 8321 RbaRacRcb 等号仅当 ABC 为正三角形且 P 为其中心时成立。 灵活应用这些不等式，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，一套数学理
7、论甚至往往最终归结为一个不同寻常的不等式，但是在不同的场合，不同的问题上我们会发现这些不等式还存在一定的局限性，由此我们需要探讨这些重要不等式还可以在哪些场合发挥他们的重要作用，是否还可以进一步的推广。因此我的论文工作着重于 Abel、 Hadmard、 Janous 等一些重要不等式的归纳总结；分别讨论这些不等式的推广形式以及论述这些不等式及其推广形式的应用。 三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标 通过大量的文献了解到不等式的研究前景和范围是极其广泛的。 今后不等式的研究，可以从以下 4 个方面考虑： 1)推广和改进现有的不等式； 2)建立新的不等式； 3)扩大不等式的应用范围
8、， 4)探索不等式的证明方法。本论文的目的就是若干重要不等式的推广和应用，以达到对不等式有更好的了解。 参考一些文献和质资料，通过自己对资料的学习及理解，在此基础上，将别人的努力 和自己的努力结合起来，相信会得到一些有用的结论。 研究的难点在于，不等式知识多且烦琐，本身对于不等式的了解有限，因而在摸索过程中可能会遇到很多没学习到的知识，自身独立研究这些不等式的推广和应用难度很大，在这方面只有通过自己多看书，多找质料，多和指导老师讨论来解决。诸多文献中这些不等式的推广和应用较多，但是杂且乱，将他们的成果进行整理和归纳也是一项不易的工作。 大量的学者对于不等式的研究已经趋于完美，本论文的目的就是在
9、前人工作的前提之下，对他们的工作进行总结与归纳，以更好的解决一些数学上的问题，例如运用不等式 我们可以进行估值，求最优解等等。重要不等式可以帮助我们就解决很多的问题，因此想对这些不等式做进一步的认识，希望可以在以后的生活、工作、学习中会有帮助。 四、论文详细工作进度和安排 2011-02-21 至 2011-03-20 完成初稿； 2011-03-21 至 2011-04-20 在导师的指导下完成第一次修改； 2011-04-21 至 2011-05-20 在导师的指导下完成第二次修改并定稿； 2011-05-21 至 2011-05-23 准备论文答辩。 五、主要参考文献： 1 胡克，解析不
10、等式的若干 问题 M，武汉大学出版社， 2003 2 匡继昌，常用不等式（ M） 长沙教育出版社， 1993 3 D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in InequalitiesM,1989 4 GAO Ming-Zhe, WEI Shang-rong, On the Hilbert Inequality with WeightsJ.Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,2002 5 田琳 ，黄常春，李海龙，乐山师范学院学报第 22 卷 12 期 ， 2007 6 文家金，关于可微函数的一个
11、不等式链 J，成都大学学报， 1993 7 杨镇杭，指数平均与对数平均 J ，数学的时间与认识， 1987 8 丁勇 ， 两类平均极其应用 J ，数学的实践与认识， 1995 9 孙明保，关于凸函数的双参数平均不等式 J，数学的实践与认识， 1997 10李文荣，徐本顺，凸函数 -不等式 -平均值 M，辽宁教育出版社， 1990 11王向东，苏化明，王方汉，不等式、理论、方法，河南教育出版 社， 1994 12 Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexityJ.Aequat Math, 1985 13华东师范大学数学系，数学分析 M,高等教育出版社， 2003
