1、2015-2016 学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题1设复数 z 满足（z +i） （2+i）=5（i 为虚数单位） ，则 z=_2设全集 U=1，2，3，4，集合 A=1，3，B=2，3 ，则 BUA=_3某地区有高中学校 10 所、初中学校 30 所，小学学校 60 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 20 所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校_所4已知双曲线 C： （a 0，b0）的一条渐近线经过点 P（1， 2） ，则该双曲线的离心率为_5函数 f（x）=log 2（ x2+2 ）的值域为_6某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工，
2、则选出的学生中男女生都有的概率为_7如图所示的流程图中，输出 S 的值是_8已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2，锐角为 60的菱形，侧棱 PA底面ABCD，PA=3，若点 M 是 BC 的中点，则三棱锥 MPAD 的体积为_9已知实数 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为_10已知平面向量 ， ，xR ，若 ，则| |=_11已知等比数列a n的各项均为正数，且 a1+a2= ，a 3+a4+a5+a6=40则 的值为_12如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点 P 在边BC 上，且满足 （m ，n 均为正实数） ，则 的最
3、小值为_13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x 2+y2=1，O 1：（x 4） 2+y2=4，动点 P 在直线x+ yb=0 上，过 P 分别作圆 O，O 1 的切线，且点分别为 A，B，若满足 PB=2PA 的点 P有且只有两个，则实数 b 的取值范围是_14已知函数 f（x）= 若不等式 f（x） kx，对 xR 恒成立，则实数k 的取值范围是_二、简答题15在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 cos（B C）=1cosA，且b，a，c 成等比数列，求：（1）sinBsinC 的值；（2）A；（3）tanB+tanC 的值16如图，正三棱柱 A1B
4、1C1ABC，点 D，E 分别是 A1C，AB 的中点（1）求证：ED平面 BB1C1C（2）若 AB= BB1，求证：A 1B平面 B1CE17已知等差数列a n的公差 d 为整数，且 ak=k2+2，a 2k=（k+2） 2，其中 k 为常数且 kN*（1）求 k 及 an（2）设 a11，a n的前 n 项和为 Sn，等比数列b n的首项为 l，公比为 q（q0） ，前 n项和为 Tn，若存在正整数 m，使得 ，求 q18如图，直线 l 是湖岸线， O 是 l 上一点，弧 是以 O 为圆心的半圆形栈桥，C 为湖岸线 l 上一观景亭，现规划在湖中建一小岛 D，同时沿线段 CD 和 DP（点
5、 P 在半圆形栈桥上且不与点 A，B 重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为 DP=DC，CDP=60 且圆弧栈桥 BP 在CDP 的内部，已知 BC=2OB=2（km ） ，设湖岸 BC 与直线栈桥 CD，DP 是圆弧栈桥 BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为 S（km 2） ，BOP=（1）求 S 关于 的函数关系式；（2）试判断 S 是否存在最大值，若存在，求出对应的 cos 的值，若不存在，说明理由19在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 （a b0）的离心率是 e，定义直线y= 为椭圆的“类准线” ，已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y= ，长轴长为 4（1）求椭圆 C 的方程
6、；（2）点 P 在椭圆 C 的“ 类准线 ”上（但不在 y 轴上） ，过点 P 作圆 O：x 2+y2=3 的切线 l，过点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A，问点 A 是否在椭圆 C 上？证明你的结论20已知 a，b 为实数，函数 f（x）=ax 3bx（1）当 a=1 且 b1，3时，求函数 F（x）=| |+2b+1（x 的最大值为 M（b） ） ；（2）当 a=0，b= 1 时，记 h（x）=函数 h（x）的图象上一点 P（x 0，y 0）处的切线方程为 y=y（x） ，记 g（x）=h（x）y（ x） 问：是否存在 x0，使得对于任意 x1（0，x 0） ，任意 x2（x
7、0，+） ，都有 g（x 1）g（x 2）0 恒成立？若存在，求也所有可能的 x0 组成的集合；若不存在，说明理由令函数 H（x）= ，若对任意实数 k，总存在实数 x0，使得 H（x 0）=k成立，求实数 s 的取值集合选修 4-1：几何证明选讲21如图所示，ABC 是O 的内接三角形，且 AB=AC，APBC ，弦 CE 的延长线交AP 于点 D，求证： AD2=DEDC选修 4-2：矩形与变换22已知矩阵 M= 的属于特征值 8 的一个特征向量是 e= ，点 P（ 1，2）在 M 对应的变换作用下得到点 Q，求 Q 的坐标2015-2016 学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案
8、与试题解析一、填空题1设复数 z 满足（z +i） （2+i）=5（i 为虚数单位） ，则 z= 22i 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（z+i） （2+i）=5，得 z+i= ，z=22i 故答案为：22i2设全集 U=1，2，3，4，集合 A=1，3，B=2，3 ，则 BUA= 2 【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出（ UA） ，再根据交集的运算法则计算即可【解答】解：全集 U=1，2，3，4，集合 A=1，3，（ UA）=2，4B=2，3，（ UA）B=2故答为：23某地区有高中学校 10 所、初中学
9、校 30 所，小学学校 60 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 20 所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校 6 所【考点】分层抽样方法【分析】从 100 所学校抽取 20 所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为 1：5，得到每个个体被抽到的概率，即可得到结果【解答】解：某城地区有学校 10+30+60=100 所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取 20 所，每个个体被抽到的概率是 = ，用分层抽样进行抽样，应该选取初中学校 30=6 人故答案为：64已知双曲线 C： （a 0，b0）的一条渐近线经过点 P（1， 2） ，则该双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质【分
10、析】根据双曲线的渐近线过点 P，建立 a，b，c 的关系，结合离心率的公式进行求解即可【解答】解：焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x，一条渐近线经过点 P（1，2） ，点 P（1，2）在直线 y= x，即 =2，则 b=2a，则 c2=a2+b2=5a2，即 c= a，则双曲线的离心率 e= = = ，故答案为：5函数 f（x）=log 2（ x2+2 ）的值域为 （ ， 【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据对数函数以及二次函数的性质解答即可【解答】解：0x 2+2 2 ，x=0 时，f （x）最大，f（x） 最大值 =f（0）= = ，故答案为：（， 6某校从 2 名男生和
11、 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的 3 名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率【解答】解：某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工，基本事件总数 n= =10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的 3 名学生都是女生，选出的学生中男女生都有的概率为 p=1 =1 = 故答案为： 7如图所示的流程图中，输出 S 的值是 【考点】程序框图【分析】运行流程图，写出每次 i1026 成立时 S，k
12、 的值，当 k=2016，k1026 不成立，退出循环，输出 S 的值为 【解答】解：运行如图所示的流程图，有S=3，k=1，k1026 成立，S= ，k=2k1026 成立，S= ，k=3k1026 成立，S=3，k=4观察规律可得 S 的取值周期为 3，由于 2016=6723，所以：k1026 成立，S= ，k=2016k1026 不成立，退出循环，输出 S 的值为 故答案为： 8已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2，锐角为 60的菱形，侧棱 PA底面ABCD，PA=3，若点 M 是 BC 的中点，则三棱锥 MPAD 的体积为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由
13、ADBC 可知 SADM=SABD，则 VMPAD=VPADM= 【解答】解：底面 ABCD 是边长为 2，锐角为 60的菱形，SADM=SADB= = ，PA底面 ABCD，V MPAD=VPADM= = 故答案为 9已知实数 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（ ） ，令 z=2x+y，得 y=2x+z，由图可知，当直线 y=2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大
14、值为 故答案为： 10已知平面向量 ， ，xR ，若 ，则| |= 2 【考点】向量的模【分析】根据向量的垂直关系求出 ， ，从而求出| |即可【解答】解：平面向量 ， ，xR ，若 ，则 4x+2x2=0，解得：2 x=1， =（1，1） ， =（1，1） =（0，2） ，| |=2，故答案为：211已知等比数列a n的各项均为正数，且 a1+a2= ，a 3+a4+a5+a6=40则 的值为 117 【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 1+a2= ，a 3+a4+a5+a6=40 ，解得 a1= ，q=3则 = =
15、=117故答案为：11712如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点 P 在边BC 上，且满足 （m ，n 均为正实数） ，则 的最小值为 【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】假设 = ，用 表示出 ，使用平面向量的基本定理得出 m，n 与 的关系，得到 关于 的函数，求出函数的最值【解答】解： = ， = = + ，设 = = + （0 1） ，则 = =（1 ） + ，m=1 ，n= = = = =当且仅当 3（+4）= 即（+4） 2= 时取等号故答案为： 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x 2+y2=1，O 1：（x 4） 2+y2=4，动点 P 在直线x+ yb=0 上，过 P 分别作圆 O，O 1 的切线，且点分别为 A，B，若满足 PB=2PA 的点 P有且只有两个，则实数 b 的取值范围是 b4 【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出 P 的轨迹方程，动点 P 在直线 x+ yb=0 上，满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个，转化为直线与圆 x2+y2+ x =0 相交，即可求出实数 b 的取值范围【解答】解：由题意 O（0， 0） ，O 1（4，0） 设 P（x， y） ，则
