1、 09 级高 考理数学复习 第二次月考 卷 数学 试题 （ 理科 ） 第 卷 (选择题，共 50 分 ) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 复数 11ii 的虚部为 ( ) A 1 B i C -1 D -i 2 已知直线 nm, 和平面 ， 则 /mn的一个必要非充分条件是 ( ) A /m 且 /n B m 且 n C /m 且 n D ,mn与 所成角相等 3 已知 tan 2 ，则2cos 2(sin cos )的值为 ( ) A 3 B 3 C 2 D 2 4 设变量 yx, 满足约束条件 0021x
2、yxyxy，则 1yx 的 最大值 是 ( ) A 1 B 14 C 12 D 2 5设两个正态分布 21 1 1( , ) ( 0)N 和 222( , )N 2( 0) 的密度函数图象如图所示，则有（ ） A 1 2 1 2 ， C 1 2 1 2 ， 6 设向量 ,abc 满足 0abc ， ()a b c且 ab ，若 | |1a ，则22| | | |ab 2|c( ) A 2 B 4 C 6 D 1 7已知 ()fx为 R 上的奇函数，且 ( 2) ( )f x f x ，若 (1 ) 1fa，则 (1 )fa =( ) A 0 B 1 C -1 D 1 8若直线 l: 4mx n
3、y与 圆 22:4O x y没有 公共 点，则过点 ( , )mn 的直线与椭圆22194xy的 公共 点个数为 ( ) A至多一个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 9 二项式 101(2 )x x 展开式中，所有有理项（不含 x 的项）的系数之和为 （ ） A 10312 B 10312 C 102 D 92 10如果关于实数 x 的方程 2 1 3ax xx 的所有解中，仅有一个正数解，那么实数 a 的取值范围为（ ） A 2aa B 0aa 或 2a C 22a a a 或 D 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 或2a 第 卷（非选择题 共 100 分） 二、 填空题：本大题共 5
4、 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中横线上 11集合 0 2M x x ，则 2lg (1 )M x y x 12若 (1 ) 1lim 22n ann ，则 2132limxax xxa 13 若双曲线 22 1( 0xy aab ， 0)b 上横坐标为 32a 的点到右焦点的距离 小 于它到左准线的距离，则双曲线离心率 e 的取值范围 是 14 已知点 A、 B、 C、 D 在同一球面上， AB 平面 BCD ， BC CD ，若 6AB ， 2 13AC ，8AD ， 则 B、 C 两点间的球面距离是 15 设函数 ( ) ( 0 , 1 )1xxaf x a aa ， m
5、 表示不超过实数 m 的最大整数，则函数11 ( ) ( ) 22f x f x 的值域是 三、解答题 :本大题共 6 小题 ,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（本题满分 13 分） 已知函数 ( ) 3 s i n ( ) c o s ( )33f x x x ( 0) 图象的两相邻 对 称轴间的距离为 2 （ I）求 ()8f 的值； （ II） 将函数 ()y f x 的图象向右平移 6 个单位后，得到函数 ()y g x 图 象，求 ()gx 在 区间 0, 2 上的 单调 性 17（本题满分 13 分） 某大学 2009 届入学测试中，要求每位考生在 10 道
6、题中随机抽出 2 道题回答 （ I） 现在某位考生会答 10 道题中的 6 道，求这个考生 答错题目 个数的 分 布列和数学期 望 ； （ II） 若答对其中一题即为 及格 ， 如果某位考生及格的概率小于 23 ，那么他最多会 几道题？ 18（本题满分 13 分） 如图，四棱锥 A BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE ， 2BC ，2CD ， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （ I）证明： AD CE ； （ II） 设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45 ，求二面角 C AD E 的大小 19（本题满分 12 分） 设数列 na 的首项 1 1a ，其
7、前 n 项和 nS 满足： 13 ( 2 3) 3nntS t S t ( 0,t 2,3, )n （ I） 求证：数列 na 为等比数列； （ II）记 na 的公比为 ()ft ，作数列 nb ，使 1 1b ，11( ) ( 2 , 3 , )nnb f nb ，求和：1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 1n n n nb b b b b b b b b b b b 20（本题满分 12 分） 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p的焦点为 F，准线为 l （ I）求 抛物线上任意一点 Q 到定点 (2 ,0)Np 的最近距离 ； （ II）过点 F 作一直线与抛物线相
8、交于 A、 B 两点，并 在 准 线 l 上任取一点 M， 当 M 不在 x轴上时，证明： MA MBMFkkk 是一个定值，并求出这个值 21（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( )xf x ln e a( 为常数 ) 是实数集 R 上 的奇函数，函数 ( ) ( )g x f x sinx 是区间 11， 上的减函数 （ I）求 a 的值； （ II） 若 2( ) 1g x t t 在 11x， 上恒成立，求 t 的 取值范围； （ III） 讨论关于 x 的方程 2 2()lnx x ex mfx 的根的个数 一、选择题 CDABA BCBAB 二、填空题 11. 0 1xx
9、12. -1 13.1e2 14. 43 15.-1,0 提示： 8.利用点到直线的距离公式知 224mn，即 ( , )mn 在圆 224xy内，也 在椭圆22194xy内 ，所以 过点 ( , )mn 的直线与椭圆 22194xy总有两个不同的交点 9.可以转化为求 10(2 1)x 展开式中所有奇数项系数之和，赋值 1, 1xx 即可 10.原问题331a x x 有且仅有一个正实数解 令 1 ( 0)ttx ， 则 3 3a t t ， 令 3( ) 3 ( 0 )f t t t t ， 2( ) 3 3f t t ， 由 ( ) 0ft 得 1t 或 1t 又 ( 1,1)t 时，(
10、 ) 0ft ； ( , 1)t ,(1, ) 时， ( ) 0ft 所以 ( ) (1) 2f t f 极 大 值 又 , ( )t f t ； , ( )t f t 结合三次函数图像即可 15. 11( ) 1 , ( )1 1 1 1xxx x x xaaf x f xa a a a ， ( ) ( ) 22f x f x 1 1 1 1 2 1 1 2xxaa，即 mm ，当 m 为整数时，值为 0， m 为小数时，值为 -1，故所求值域为 -1,0 三、解答题 16. （ 1） ( ) 2 s i n ( ) 2 s i n ( ) 2 c o s ( )3 6 2f x x x x
11、 3 分 由条件 2 , ( ) 2 c o s 2 , ( ) 28f x x f 6 分 （ 2） ( ) 2 c o s(2 )3g x x ，令 2 2 23k x k ，解得 36k x k ，又 0, 2x 所以 ()gx 在 0, 6 上递减，在 , 62上递增 13 分 17.（ 1）答错题目的个数 0,1,2 2 1 1 26 6 4 42 2 21 0 1 0 1 01 8 2( 0 ) , ( 1 ) , ( 2 )3 1 5 1 5C C C CP P PC C C 分布列为：8123 15 150 1 2P ，期望 1 8 2 40 1 23 1 5 1 5 5E （
12、道题） 7 分 （ 2）设该考生会 x 道题，不会 10-x 道题，则 210210 2 (1 0 ) ( 9 ) 21,3 4 5 3xC xxC 10 分 解得： 4x 或 15x （舍），故该考生最多会 3 道题 13 分 18.（ 1）作 AO BC ，垂足为 O ，连结 OD ，由题设知， AO 底面 BCDE ， 且 O 为 BC 中点，由 12OC CDCD DE 知， R t O C D R t C D E， 从而 ODC CED ，于是 CE OD ，由三垂线定理知， AD CE 4 分 （ 2）由题意， BE BC ，所以 BE 侧面 ABC ，又 BE 侧面 ABE ，所
13、以侧面 ABE侧面 ABC .作 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ，垂足为 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ，连接 FE ，则 CF 平面 ABE . 故 CEF 为 CE 与平面 ABE 所成的角， 45CEF 7 分 由 6CE ，得 : 3CF , 又 BC 2 ， 因而 ABC 60 ，所以 ABC 为等边三角形 . 作 CG AD ，垂 足为 G ，连结 GE . 由（ 1）知， CE AD ，又 CE CG C ， 故 AD 平面 CGE ， AD GE ， CGE 是二面角 C AD E 的平面角 .10 分 A C CD 2 2 2CG AD 63 .221D E A
14、D D E 2 5 1 02GE AD 63 （ ） ，CE 6 ，2 2 24 1 0 61033c o s2 1 02 1 0233C G G E C EC G EC G G E ， 所以二面角 C AD E为 10arccos( )10 或 10arccos 10 .13 分 19.（ 1）由 1 1 2 21 , 1S a S a ,得 23 (1 ) ( 2 3 ) 3t a t t , 22 1233 ata ta 2 分 又 13 ( 2 3) 3nntS t S t ， 123 ( 2 3 ) 3nntS t S t ( 3,4, )n 两式相减，得： 13 (2 3) 0nn
15、ta t a ，1233nna tat ( 3,4, )n 综上，数列 na 为首项为 1，公比为 233tt 的等比数列 . .6 分 （ 2）由 2 3 2 1() 33tft tt ，得1112() 3nnnb f bb ，所以 nb 是首项为 1，公差为23 的等差数列， 213n nb . .9 分 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 2 1n n n nb b b b b b b b b b b b 1 3 2 3 5 4 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )n n nb b b b b b b b b 2 4 24 ()3 nb b b 24 5 4 1 4( )
16、 ( 2 3 )3 2 3 3 9nn nn . .13 分 20.（ 1）设点 ( , )Qxy ，则 2 2 2 2 2( 2 ) 2 4Q N x p y x px p 22( ) 3x p p 所以，当 x=p 时， min 3QN p . .4 分 （ 2）由条件，设直线 : 2pAB x my，代入 2 2y px ，得： 2220y pm y p 设1 1 2 2 0( , ) , ( , ) , ( , )2pA x y B x y M y，则 21 2 1 22,y y m y y p ， 221 2 1 22, 4px x p m p x x .7 分 1 0 2 0 1
17、2 1 2 0 1 2 0212 1 2 1 22 ( ) ( ) 2()22 24M A M By y y y m y y p y y y x x p ykk pppp pxx x x x x .10 分 又 0MF yk p，所以 MA MBMFkkk 为定值 2 .12 分 21. （ 1） ( ) 1 ( )xf x n e a是奇函数，则 1 ( ) 1 ( )xxn e a n e a 恒成立， ( )( ) 1xxe a e a ， 21 xxa e a e a a ，故 0a .2 分 （ 2） ()gx 在 11， 上 单调递减， 1 ， m a x( ) ( 1 ) sin
18、 1g x g ， 只需 sin 211tt ( 1)t 2 sin 1 1 0t （ 1) 恒成立 令 2( ) ( 1 ) s i n 1 1 ( 1 )h t t ，则2101 sin 1 1 0t tt ， ， 21sin 1 0ttt ，而 2 sin1 0tt 恒成立， 1t . .7 分 （ 3）由（ 1）知 ()f x x ， 方程为 21 2nx x ex mx ， 令1 1() nxfx x， 22 ( ) 2f x x ex m ， 1 211() nxfx x， 当 (0, )xe 时， 1( ) 0fx ， 1()fx 在 (0, )e 上为增函数； 当 ,)xe 时， 1( ) 0fx ， 1()fx 在 , )e 上为减函数； 当 xe 时， 11m ax 1( ) ( )f x f e e而 222 ( ) ( )f x x e m e ， 函数 1()fx、 2()fx 在同一坐标系的大致图象如图所示， 当 2 1,mee即 m 2 1e e时，方程无解； 当 2 1mee，即 2 1mee时，方程有一个根； 当 2 1mee， 即 2 1mee时，方程有两个根 .12 分
