1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 江苏省 2009 届高考数学精编模拟试题（ 三 ） 一填空题 1已知 i 为虚数单位，则 )1( ii 。 2设集合 BAxxxBxxxA 则,0)4)(2(|,0)3)(3(| = 。3已知等比数列1042 ,41,21, aaaa n 则中 = 。 4图 1 所示程序框图运行后输出的结果为 。 5图 2 是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是 。 6已知实数 ,ba 则“ 2ab ”是“ 422 ba ”的 条件。 7已知函数 )()(.ln)(,)1(56 )1(88)( 2 xgxfxxgxxx xxxf 与则 两函数的图像的交点个数为 。
2、 8在 ABC 中， a， b， c 是角 A， B， C 的对边，若 a， b， c 成等比数列， c BbA s in,60 则 。 9. 已知实数 yxzyxxyxyx 20305, 则目标函数满足 的最小值为 10已知抛物线 241xy ，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A， B 两个点，则坐标原点与 A、 B 两点构成的三角形的面积为 。 11某地为了了解该地区 10000 户家庭的用电 情况，采用分层抽样的方法抽取了 500 户 家庭的月平均电用量，并根据这 500 户家 庭月平均用量画出频率分布直方图（如图）， 则该地区 1000 户家庭中月平均用电度数 在 70， 80
3、的家庭有 户。 12. 设动直线 xa 与函数 2( ) 2 sin ( )4f x x和 ( ) 3 cos 2g x x 的图象分别交于 M 、N 两点，则 |MN 的最大值为 13. 函数 22( ) | s in | | c o s |f x x x ()R 的最小值是 14已知一容器中有 A、 B 两种菌，且在任何时刻 A、 B 两种菌的个数乘积为定值 1010。为了简单起见，科学家用 )lg( AA nP 来记录 A 菌个数的资料，其中 An 为 A 菌的个数。则下列判断中正确的个数为 个 。 1AP 若今天的 AP 值比明天的 AP 值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A
4、菌个数多了 10个 假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万个，则此时 5 AP 5.5 二解答题 15. 在 ABC 中， 2BC ， 2AC 31AB ( )求 ABAC ； (11)设 ABC 的外心为 O ，若 AC mAO nAB， 求 m ， n 的值 16.如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,EP分别是 11,BCAD 的中点， M、 N 分别是 1,AECD 的中点， 1 ,2AD AA a AB a （ 1）求 证： /MN 面 11ADDA （ 2）求三棱锥 P DEN 的体积 17. 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 T (单
5、位：年 )有关 。 若 1T ，则销售利润为 0 元；若 13T， 则销售利润为 100 元；若 3T ，则销售利润为 200元设每台该种电器的无故障使用时间 1T ， 13T及 3T 这三种情况发生的概率分别为 1p ， 2p ， 3p ，叉知 1p ， 2p 是方程 225 15 0x x a 的两个根，且 23pp (1)求 1p ， 2p ， 3p 的值； (2)记 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求 的期望 18. 已知两点 M 和 N 分别在直线 y mx 和 y mx ( 0)m 上运动，且 | | 2MN ，动点P 满足： 2OP OM ON (O 为坐标原点 )，点
6、P 的轨迹记为曲线 C ( )求曲线 C 的方程，并讨论曲线 C 的类型； ( )过点 (0,1) 作直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A 、 B ，若对于任意 1m ，都有AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 19. 已知函数 ln() xfx x . （）求函数 ()fx的单调区间及其极值 ; （）证明：对一切 (0, )x ，都有 2( 1) lnx xx x e xe 成立 . 20 在数列 na 中， 1 1a ，且 21 231 nnnna a nn *( 2, )n n N ( )求数列 na 的通项公式； ( )令 13nn nb a *()nN ，数列 nb
7、 的前 n 项和为 nS ，试比较 2nS 与 n 的大小 ； ( )令 11nn ac n *()nN，数列22( 1)nn cc 的前 n 项和为 nT ，求证：对任意 *nN 都有 2nT 试题答案 一填空题 1 i1 2. ),2()3,( 3. 321 4. 45 5. 8 6. 充分不必要条件 7. 3 8. 23 9. 3 10. 2 11.1200 12. 3 13. 1 14.1 二解答题 15. 解 : ( )由余弦定理知 : 22 ( 3 1 ) 4 2c o s22 2 ( 3 1 )A , 2c o s 2 ( 3 1 ) 3 12A B A C A B A C A
8、. ( )由 AC mAO nAB, 知 ,.A B A C m A B A O n A B A BA C A C m A C A O n A C A B 23 1 ( 3 1 ) ,2 ( 3 1 ) .m A B A O nm A C A O n O 为 ABC 的外心， 21 12c o s ( 3 1 )2ABA B A O A B A O B A O A B A OAO . 同理 1AC AO . 即 2213 1 ( 3 1 ) ( 3 1 ) ,22 ( 3 1 ) .mnmn ， 解得 : 3 1,3.mn 16. （ 1）证明：取 PE 中点 F，连结 MF、 NF 111
9、| AA D DM N FPDNF APMF 面面MN 面 MNF 所以 MN|面 11AADD （ 2）过 D 作 CD1 的垂线，垂足为 G BC面 CD1 BC DG DG面 PNE 3111 616131 aCD DCDDCECDDGSV P N ED E NP 17. 解：（ 1）由已知得 1 2 3 1p p p ， 23pp ， 1221pp 1p 、 2p 是方程 225 15 0x x a 的两个根， 1235pp1 15p，2325pp（ 2） 的可能取值为 0， 100， 200， 300， 400 1 1 1( 0 ) 5 5 2 5P ， 1 2 4( 1 0 0 )
10、 2 5 5 2 5P ， 1 2 2 2 8( 2 0 0 ) 2 5 5 5 5 2 5P ， 2 2 8( 3 0 0 ) 2 5 5 2 5P ， 2 2 4( 4 0 0 ) 5 5 2 5P 即 的分布列为： 0 100 200 300 400 P 125 425 825 825 425 故 1 4 8 8 40 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 2 4 02 5 2 5 2 5 2 5 2 5E 18解 （ I） 由 2OP OM ON，得 P 是 MN 的中点 . 设 ),(),(),( 2211 mxxNmxxMyxP 依题意得 : 12122 2 21 2 1
11、 22,2,( ) ( ) 2 .x x xm x m x yx x m x m x 消去 21,xx ，整理得 11 2222 mymx 当 1m 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆； 当 10 m 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆； 当 1m 时，方程表示圆 （ II） 由 1m ，焦点在 y 轴上的椭圆，直线 l 与曲线 C 恒有两交点， 直线斜率不存在时不符合题意； 可 设直线 l 的方程为 1y kx，直 线与椭圆交点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y. 22 4 2 2 2221( ) 2 1 011y k xxy m k x k x mmm 21 2
12、 1 24 2 4 221,kmx x x xm k m k 2 2 21 2 1 2 4 2 4 2( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) 1k m ky y k x k x m k m k . 要使 AOB 为锐角， 只需 0OA OB 4 2 21 2 1 2 42( 1 ) 1 0m k mx x y y mk . 即 4 2 2( 1) 1 0m k m ， 可得 2221 1mkm ，对于任意 1m 恒成立 . 而 221 2m m， 2 1 2 1 1,.kk 所以 k 的取值范围是 1,1 . 19. （）解：21 ln( ) xfx x，令21 ln( ) 0xfx x，得 x
13、e . x (0, )e e (, )e ()fx 0 ()fx 增 极大值 减 由上图表知： ()fx的单调递增区间为 (0, )e ，单调递减区间为 (, )e . ()fx的极大值为 ln 1() efe ee. （）证明：对一切 (0, )x ，都有 2( 1) lnx xx x e xe 成立 则有 2 1 ln( 1) x xxe ex 由（）知， ()fx的最大值为 1()fee ，并且 2 11( 1) xxeee 成立，当且仅当 1x 时成立， 函数 2 1( 1) xxee的最小值大于等于函数 ln() xfx x 的最大值，但等号不能同时成立 . 所以，对一切 (0, )
14、x ，都有 2( 1) lnx xx x e xe 成立 . 20. 解 :( ) 21 231 nnnaa ， 22111 2 2 3 2 3 2 32( 1 3 )1313nnnnan ， 即 13nnan (n*N ). （ II） 1 ()nbnn*N， 1 1 1 11 1 , 1 2 ,2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1132 3 4 5 6 7 8 . 猜想当 3n 时， 2nSn. 下面用数学归纳法证明 : 当 3n 时，由上可知32 3S 成立； 假设 ( 3)n k k时，上式成立，即 1 1 11 2 3 2k k . 当 1nk时， 111 1 1 1 112
15、3 2 2 1 2112 1 22 121k k kkkkkkkk 左 边所以当 1nk时成立 . 由可知当 3n ()n*N 时 , 2nSn. 综上所述当 1n 时 , 12 1S; 当 2n 时 , 22 2S ; 当 3n ()n*N 时 , 2nSn. （ III） 1 31 nnn ac n 当 2n 时， 12 1 12 3 2 3 2 3 1 1( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 3 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ) 3 1 3 1n n nn n n n n n n .所以 22 2 2 2 2 33 2 3 2 3 3 1 1 1 1( ) ( )2 ( 3 1 ) ( 3 1 ) 2 2 3 1 3 1 3 1nn nT 11 1 1( ) 2 23 1 3 1 3 1n n n .
