1、 09 届高 考数学 第三次模拟考试（数学） 2009.5 注意事项： 1 本试卷共 160分，考试时间 120分钟 2 答题前 ， 考生务必将 自己的 学校、姓名、 考试 号写在答 题 纸 上 试题的答案 写在 答题纸 上对应 题目 的答案空格内考试结束后，交回答 题 纸 参考公式： 一组数据的方差 )()()(1 222212 xxxxxxnS n ，其中 x 为这组数据的平均数 一 、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分） 1 已知集合 M y|y x2， x R， N y|y2 2， y Z，则 M N 2 在复平面内，复数 1 i1 i 对应 的点与原点之间的距离是
2、3 已知命题 p：函数 y lgx2的定义域是 R，命题 q：函数 y 13x的值域是正实数集，给出命题： p或 q； p 且 q；非 p；非 q其中真命题有 个 4已知数列 an是等差数列， a4 7， S9 45，则过点 P(2， a3)， Q(4， a6)的直线的斜率 等于 5 右边的流程图最后输出的 n的值是 6 若 x， y满足约束条件0 x 1，0 y 2，x 2y 1 0，则 z 2x y 4的取值范围是 7 已知正四棱锥的体积是 48cm3，高为 4cm， 则该四棱锥的侧面积是 cm2 8 如图是 2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计
3、图，去掉一个 最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 9 当 A， B 1， 2， 3时，在构成的不同直线 Ax By 0中，任取一条，其倾斜角小于 45的概率是 10已知定义域为 R的偶函数 f(x)在 0， )上是增函数，且 f(12) 0，则不等式 f(log2x) 0的解集为 11椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的焦点 F1， F2分别在双曲线x2b2y2a2 1的左、右准线上， 则椭圆的离心率 e 12函数 y tan(4x 2)的部分图像如图所示 ,则 ( OB OA ) OB N （第 5 题图） 开始 n 1 n n 1 2n n2 输出 n 结束 Y 7 8 9 9
4、2 5 6 4 8 3 （第（ 8）题图） A A B O 1 y x 13在 ABC中， D为 BC中点， BAD 45， CAD 30， AB 2，则 AD 14已知 x， y都在区间 (0， 1内，且 xy 13，若关于 x， y的方程 44 x 33 y t 0 有两组不同的解 (x，y)，则实数 t的取值范围是 二 、解答题（本大题共 6小题，共 90分解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤） 15（本题满分 14分） 已知 0 2 ， tan2 12， cos( ) 210（ 1）求 sin 的值；（ 2）求 的值 16（本题满分 14分） 在三棱柱 ABC A1B1C1中，四
5、边形 AA1C1C为矩 形，四边形 BB1C1C为菱形 AC AB CC1 3 5 4， D， E分别为 A1B1， CC1中点 求证：（ 1） DE平面 AB1C； （ 2） BC1平面 AB1C 17（本题满分 14分） A 地产汽油， B 地需要汽油运输工具沿直线 AB 从 A 地到 B 地运油，往返 A， B 一趟所需的油耗等于从 A地运出总油量的 1100如果在线段 AB 之间的某地 C（不与 A， B重合）建一油库，则可选择 C作为中转B A C A1 B1 C1 E D 站，即可由这种运输工具先将油从 A地运到 C地，然后再由同样的运输工具将油从 C 地 运到 B地设 ACABx
6、，往返 A， C一趟所需的油耗等于从 A地运出总油量的 x100往返 C， B一趟所需的油耗等于从 C地运出总油量的 1 x100不计装卸中的损耗，定义：运油率 P B地收到的汽油量A地运出的汽油量 ，设从 A地直接运油到 B地的运油率为 P1，从 A地经过 C中转再运油到 B地的运油率为 P2 （ 1）比较 P1， P2的大小； （ 2）当 C地选在何处时，运油率 P2最大？ 18（本题满分 16分） 已知 抛物线顶点在原点，准线方程为 x 1点 P在抛物线上，以 P圆心， P到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆 P存在内接矩形 ABCD，满足 AB 2CD，直线 AB的斜率为 2 （ 1）求抛
7、物线的标准方程； （ 2）求直线 AB在 y轴上截距的最大值，并求此时圆 P的方程 1. 19（本题满分 16分） 已知函数 f(x) lnx 1 xax ，其中 a为大于零的常数 （ 1）若函数 f(x)在区间 1， )内不是单调函数，求 a的取值范围； （ 2）求函数 f(x)在区间 e， e2上的 最小值 20（本小题满分 16分） 已知数列 an中， a1 2， a2 3， an 2 3n 5n 2an 1 2nn 1an，其中 n N*设数列 bn满足 bn an 1 nn 1an， n N* （ 1）证明：数列 bn为等比数列，并求数列 bn的通项公式； （ 2）求数列 an的通项
8、公式； （ 3）令 cn (n 2)bn 2(nbn)(n 1)bn 1， n N*，求证： c1 c2 cn 2 南京市 第十三中学 2009届 高三 年级第三次模拟考试 数学 附加卷 2009.5 注意事项： 1附加题供 选修物理的 考生使用 2 本试卷共 40分，考试时间 30分钟 3答题前，考生务必将自己的学校、姓名、 考试 号写在答 题 纸的密封线内试题的答案写在 答 题 纸 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答 题 纸 21【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2题，每小题 10分，共计 20 分 请在 答 题 纸 指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或
9、 演算步骤 A选修 4 1： 几何证明选讲 圆的两弦 AB、 CD交于点 F，从 F点引 BC 的平行线和直线 AD 交于 P，再从 P引这个圆的切线，切点是 Q，求证： PF PQ B选修 4 2： 矩阵与变换 已知矩阵 M 1 00 1 ， N 1 20 3 ，求直线 y 2x 1在矩阵 MN的作用下变换所得到的直线方程 C选修 4 4： 坐标系与参数方程 已知 C： cos sin，直线 l： 2 2cos( 4)求 C上点到直线 l距离的最小值 D选修 4 5： 不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x 1 x 1 ba cb ac对任意正实数 a， b， c 恒成立，求实数 x 的取值
10、范围 【必做题】第 22题、第 23 题，每题 10分，共计 20 分 请在 答 题 纸 指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 2008年中国北京奥运会吉祥物由 5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有 8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： A B P C D F Q 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 1 2 3 1 1 从中随机地选取 5只 （ 1）求选取的 5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率； （ 2）若完整地选取奥运会吉祥物记 100分；若选出的 5只中仅差一种记 80分；差两种记 60 分；以此类推设
11、表示所得的分数，求 的分布列和期望值 23已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点 (an 2， Sn 1)在直线 y 4x 5 上，其中 n N*，令 bn an 1 2an，且 a1 1 （ 1）求数列 bn的通项公式； （ 2）若 f(x) b1x b2x2 b3x3 bnxn，求 f (1)的表达式，并比较 f (1)与 8n2 4n的大小 南京市 第十三中学 2009届 高三 年级第三次模拟考试 数学 试卷参考答案 2009.5 说明： 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题，当考生的解答在某一步出
12、现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数，填空题不给中间分数 一 、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分） 1 0， 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 2， 5 7 60 8 4 9 37 10（ 22 ， 2） 11 2 22 12 4 13 3 12 14 (125， 5924 二 、解答题（本大题共 6小题，共 90分解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤） 15 （
13、本题满分 14分） 解： （ 1） tan2tan21 tan22 43， 3分 所以 sincos 43，又因为 sin2 cos2 1， 解得 sin 45 7分 （ 2）因为 0 2 ，所以 0 因为 cos( ) 210，所以 sin( ) 7 210 9分 所以 sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 7 210 35 210 45 22 ， 12分 因为 (2， )， 所以 34 14 分 16（本题满分 14分） 证明： （ 1）取 AB1中点 F，连结 DF， CF因为 D为 A1B1中点， 所以 DF=12AA1 因为 E为 CC1中点， AA1=CC1
14、， 所以 CE=DF 所以四边形 CFDE为平行四边形 所以 DE CF 4分 因为 CF 平面 ABC， DE/平面 ABC， 所以 DE平面 ABC 7分 （ 2） 因为 AA1C1C为矩形，所以 ACCC1 因为 BB1C1C为菱形，所以 CC1 CB B1CBC1 8分 因为 AC AB CC1 3 5 4， 所以 AC AB BC 3 5 4， 所以 AC2 BC2 AB2 10分 所以 ACBC 所以 AC平面 BB1C1C 12 分 所以 ACBC1 所以 BC1平面 AB1C 14分 B C B1 C1 E D F 17（本题满分 14分） 解： （ 1）设从 A地运出的油量为
15、 a，根据题设，直接运油到 B地，往返油耗等于 1100a， 所以 B地收到的油量为 (1 1100)a 所以运油率 P1(1 1100)aa 99100 3分 而从 A地运出的油量为 a时， C地收到的油量为 (1 x100)a， B地 收到的油量 (1 1 x100)(1 x100)a， 所以运油率 P2(1 1 x100)(1 x100)aa (1 1 x100)(1 x100) (99100 x100)(1 x100) 7分 所以 P2 P1 110000x(1 x)，因为 0 x 1， 所以 P2 P1 0，即 P2 P1 9分 （ 2）因为 P2 (99100 x100)(1 x1
16、00) 99100 x100 1 x10022 1992002 当且仅当 99100 x100 1 x100，即 x 12时，取“” 所以当 C地为 AB 中点时，运油率 P2有最大值 14分 18（本题满分 16分） 解： （ 1）因为抛物线顶点在原点，准线方程为 x 1， 所以抛物线开口向右，且 p2 1，所以 p 2 所以所求的抛物线方程为 y2 4x 4分 （ 2）设 P(x0， y0)，则 y02 4x0，半径 r PF x0 1， 圆 P的方程为 (x x0)2 (y y0)2 (x0 1)2， 6分 设 AB的方程为 y 2x b，由 AB 2CD得， 圆心 P到直线 AB 的距
17、离 2d r2 d2， 6分 所以 5d2 r2，即 5d r 因为 r |x0 1|， d 2x0 y0 b5 ， 代入得 2x0 y0 b x0 1 8分 即 2x0 y0 b x0 1或 2x0 y0 b x0 1 所以 x0 y0 b 1 0或 3x0 y0 b 1 0 因为 y02 4x0，所以 x0 14y02， 代入得 14y02 y0 (b 1) 0或 34y02 y0 (b 1) 0 10分 方程 14y02 y0 (b 1) 0关于 y0有解 1 (b 1) 0， b 2 方程 34y02 y0 (b 1) 0关于 y0有解 1 3(b 1) 0， b 23 12分 综上所
18、述， b的最大值为 2 14分 此时， y0 2， x0 1， r x0 1 2， 所以圆 P的方程为 (x 1)2 (y 2)2 4 16分 19（本题满分 16分） 解： f (x) ax 1ax2 (x 0) 2分 （ 1）由已知，得 f (x)在 1， )上有解，即 a 1x在 (1， )上有解， 又 当 x (1， )时， 1x 1， 所以 a 1又 a 0，所以 a的取值范围是 (0， 1) 6分 （ 2）当 a 1e时， 因为 f (x) 0在 (e， e2)上恒成立，这时 f(x)在 e， e2上为增函数， 所以当 x e时， f(x)min f(e) 1 1 eae 8分 当
19、 0 a 1e2时， 因为 f (x) 0在 (e， e2)上恒成立， 这时 f(x)在 e， e2上为减函数， 所以，当 x e2时， f(x)min f(e2) 2 1 e2ae2 ， 10分 当 1e2 a 1e时，令 f(x) 0得， x 1a (e， e2)， 又因为对于 x (e， 1a)有 f (x) 0， 对于 x (1a， e2)有 f (x) 0， 所以当 x 1a时， f(x)min f(1a) ln1a 1 1a 14 分 综 上， f(x)在 e， e2上的最小值为 f(x)min1 1 eae ， 当 a 1e时 ，ln1a 1 1a， 当 1e2 a 1e时 ，2
20、 1 e2ae2 ， 当 0 a1e2时 16 分 20（本题满分 16分） 解： （ 1）由条件得 an 2 (2 n 1n 2)an 1 2nn 1an， 所以 an 2 n 1n 2an 1 2(an 1 nn 1an)， 即 bn 1 2bn，又 b1 a2 12a1 2，所以 bn 0， 从而 bn 1bn 2对 n N*成立， 所以数列 bn是首项为 b1 2，公比 q 2的等比数列， 所以 bn 2n 6分 （ 2）由（ 1）得 an 1 nn 1an 2n所 以 (n 1)an 1 nan (n 1)2n， 8 分 所以 2a2 a1 221， 3a3 2a2 322， 4a4
21、 3a3 423， ， nan (n 1)an 1 n2n 1， 相加得 nan a1 221 322 423 n2n 1， 所以 2(nan a1) 222 323 (n 1)2n 1 n2n 两式相减得：（ nan a1) 2(21 22 2n 1) n2n 2n 1 4 n2n，所以 an 2n 2n 1 6n (n 2)2n 6n 11分 （ 3）因为 cn (n 2)bn 2(nbn)(n 1)bn 1 (n 2)2n 2(n2n)(n 1)2n 1 41n2n1(n 1)2n 1， 13分 所以 Sn c1 c2 cn 4 1121 1222 1222 1323 1323 1424 1n2n 1(n 1)2n 1 412 1(n 1)2n 1 2 2(n 2)2n 2 16分 南京市 第十三中学 2009届 高三 年级第三次模拟考试 数学 附加卷答案 2009.5 1 （几何证明选讲） （本题满分 10 分） 证明： 证明：因为 A， B， C， D四点共圆，所以 ADF ABC 因为 PF BC，所以 AFP ABC所以 AFP FQP 因为 APF FPA，所以 APF FPQ所以 PFPA PDPF 5分 所以 PF2 PAPD因为 PQ与圆相切，所以 PQ2 PAPD 所以 PF2 PQ2所以 PF PQ 10分 2 （矩阵与变换） （本题满分 10分）
