1、 09 届高 考数学 第三次检测试卷 （ 2009-5） 数 学 一、填空题 ： 本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 .不需写出解答过程 ,请把答案写在答题纸的指定位置上 . 1 已知集合 A= x|x2 2x 3 ， | 2 1, B x x n n Z ，则集合AB 2函数 xy 5.0log 的定义域为 _ 3.若复数 2z i i（ i 是虚数单位），则 |z 4 sin43 sin13 cos43 cos167 的值为 5 如图，程序执行后输出的结果为 _ 6.将一颗质地均匀的 正方体骰子先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为 y ，则事件“ 3y
2、x ”的 概率为 _ 7. 某学校对 1000名学生的英语水平测试成 绩进行 统计，得到样本频率分布直方图如右图所示，现规定 不低于 70分为合格，则合格人数是 8曲线 sinyx 在点（ 3,32 ）处的切线方程为 ； 9 已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为 S，则圆锥的底面面积是 _ 10设函数 ()fx的定义域为 R ，且对 任意 两不等实数 x 、 y ， 都 有 )()()( yfxfyxf 及 0)()( yx yfxf，请写出一个满足条件的函数 。 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4页，包含 填空 题 第 1题第 14题，共 70
3、分 、 解答 题第 15题第 20题。共 90分两部分。本次考试时间为 120分钟，满分 160分。考试结束后，请将答题 卷 交回。 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、 学校、 班级、考试证号用 0.5毫米的黑色签字笔写在答题 卷 上 相应的 位置。 3.答 题请用 0.5毫米的黑色签字笔在答题 卷 指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 BSGOFEDCA11 已知圆 222: ryxC ，直线 2: rbyaxl ，若点 ),( baP 在圆外，则直线 l 与圆 C的位置关系是 12 在 ABC 所在的平面有一点 P ，满足 ABPCPBPA ,则 PBC 与 ABC 的面积之比是
4、 13 已知 xxxf c oss i n)(1 ，记 ),()( 12 xfxf ),()( 23 xfxf ，)2,(),()( * 1 nNnxfxf nn ，则 )2()2()2( 2 0 0 921 fff 14若数列 ,nnab的通项公式分别是 2008( 1)nnaa ， 2009( 1 )2,nn n nb a bn 且对任意 nN 恒成立，则常数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明 ,证明过程或演算步骤 ,请把答案写在答题纸的指定区域内 . 15（本题满分 14 分）在 ABC 中，三边 a 、 b 、 c 对角分别为
5、A 、 B 、 C ，且0c o sc o sc o s3 BcCbBa （ 1）求角 B 的余弦值； （ 2）若 2BA BC，且 22b ，求 a 和 c 的值 . 16（本题满分 14 分）如 图，四棱锥 S ABCD 中， AD 侧面 SCD ， DCSD ，点 O是平行四边形 ABCD对角线的交点， GFE , 分别是 SCSBSA , 的中点 . （ 1）试判断四点 FGDA , 是否共面？并加以证明； （ 2）求证： OE / 平面 SCD ； （ 3）求 证： OE 平面 ADF . 17 （本题满分 14分） 设椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的上顶点为 A ，
6、椭圆 C 上两点 ,PQ在 x 轴上的射影分别为 左焦点 1F 和右 焦点 2F ， 直线 PQ 的斜率为 32 ， 过点 A 且与 1AF 垂直的 直 线 与 x 轴交于点 B ， 1AFB 的外接圆为圆 M (1)求椭圆的离心率； (2)直线 213 4 04x y a 与圆 M 相交于 ,EF两点，且 21 2ME MF a ， 求椭圆方程； 18（本题满分 16分） 某著名景区新近开发一种旅游纪念品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品 需向地方税务部门上交 a 元（ a 为常数， 2 a5 ）的税收。设每件纪念品的售价为 x 元(35 x 41),根据市场调查 ,日销售量与
7、 xe (e 为自然对数的底数 )成反比例。已知每件纪念品的日售价为 40 元时，日销售量为 10 件。 (1)求该景区的日利润 L（ x）元与每件纪念品的日售价 x元的函数关系式； (2)当每件纪念品的日售价为多少元时，该景区的日利润 L（ x）最大， 并求出 L（ x）的最大值。 19（本小题满分 16分） 已知函数 2af x x x ， lng x x x ，其中 0a （ 1）若 1x 是函数 h x f x g x的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若对任意的 12,1x x e ， （ e 为自然对数的底数）都有 1fx 2gx 成立，求实数a 的取值范围 20已知数列 na
8、、 nb 中，对任何正整数 n 都有： 323 112123121 nbababababa nnnnnn （ 1）若数列 na 是首项和公差都是 1的等差数列，求证：数列 nb 是等比数列； （ 2）若数列 nb 是等比数列，数列 na 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （ 3）若数列 na 是等差数列，数列 nb 是等比数列，求证：1113ni iiab 参考答案： 1。 1， 1， 3； 2.(0,1 ； 3. 2 ； 4. 23 ;5.64;6. 121 ;7. 600; 8. 2 3 03xy ;9. 2S ;10. xy 2 ； 11（相交） ;.12. 32
9、;13. 1;14. ( 2,2 15、 解 （ 1）因为 c o s 3 c o s c o sb C a B c B， 由正弦定理，得 s i n c o s 3 s i n c o s s i n c o sB C A B C B， 3 分 整理得 sin 3 sin c o sB C A B 因为 A 、 B 、 C 是 ABC 的三内角，所以 s in s in 0B C A ， 5 分 因此 1cos 3B 6 分 （ 2） 1c o s 23B A B C B A B C B a c ，即 6ac 9 分 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sb a c ac B ，所以 22
10、12ac， 12 分 解方程组226 12acac ，得 6ac 14 分 16、 （ 1）解： 四点 FGDA , 共面 1 分 ,FG分别是 ,SBSC 的中点 . FG /BC ， 2 分 在 平行四边形 ABCD 中， BC /AD ， FG /AD ， 四点 FGDA , 共面 4 分 （ 2）证明：连结 AC ，则 点 O 是 AC 的 中点 ，又 点 E 是 SA 的中点 . OE /SC . 6 分 又 OE 面 SCD ， CD 面 SCD ， OE / 平面 SCD 8 分 （ 3）证明： AD 面 SCD ， SC 面 SCD ， AD SC 9 分 DCSD ， G 是
11、 SC 的中点 . DG SC 10 分 由（ 2） OE /SC ， OE AD ， OE DG 12 分 由（ 1） DG 面 ADF ， 又 AD 面 ADF ， AD DG D ， OE 平面 ADF . 14 分 17、 解：（ 1） 由条件可知 abcP 2, ， abcQ 2, 因为23PQk，所以得： e 12 6分 （ 2） 由 （ 1） 可知， cbca 3,2 ，所以， 0,3,0,3,0 1 cBcFcA ，从而 0,cM 半径为 a，因为 21 2ME MF a ，所以 120EMF ，可得： M到直线距离为2a从而，求出 2c ，所以 椭圆方程 为： 22116 1
12、2xy； 14 分 18、解 （ 1）设日销售量为 4040, 1 0 , 1 0 , .xkk keee 40x10e则 则 日 售 量 为 件e 2分 则日利润 40 401 0 3 0( ) ( 3 0 ) 1 0xxe x aL x x a eee 6分 （ 2） 4 0 31( ) 1 0xaxL x e e 8分 当 2 a4 时， 33 a+3135 ，当 35 x41时， ( ) 0Lx 当 x=35时， L（ x）取最大值为 510(5 )ae 12 分 当 4 a5 时， 35 a+3136 ， ( ) 0 , 3 1,L x x a 令 得 易知当 x=a+31时， L（
13、 x）取最大值为 910ae 14分 综合上得 5m a x 91 0 ( 5 ) , ( 2 4 )() 1 0 , ( 4 5 )aa e aLx ea 16分 19、 （ 1） 解： 22 lnah x x xx ，其定义域为 0, ， 2分 22 12 ahx xx 1x 是函数 hx的极值点， 10h ，即 230a， 0a ， 3a 4分 经检验，当 3a 时， x =1是函数 ()hx的极值点， 3a 6分 （ 2） 解： 对任意的 12,1x x e ， 都有 1fx 2gx 成立等价于对任意的 12,1x x e ， 都有 minfx maxgx 8分 当 1 xe， 时，
14、110gx x 函数 lng x x x 在 1e， 上是增函数 . m a x 1g x g e e 2221 x a x aafx xx ，且 1xe ， ， 0a ， 10分 当 01a且 1xe， 时， 2 0x a x afx x ， 函数 2af x x x 在 1e， 上是增函数 . 2m in 11f x f a . 由 21a 1e ，得 a e ，又 01a， a 不合题意 12分 当 1 a e 时， 若 1 xa ，则 2 0x a x afx x ， 若 ax e ，则 2 0x a x afx x 函数 2af x x x 在 1 a， 上是减函数，在 ae， 上是
15、增函数 . m in 2f x f a a.由 2a 1e ，得 a 12e ， 又 1 a e ， 12e a e 14分 当 ae 且 1xe， 时， 2 0x a x afx x ， 函数 2af x x x 在 1e， 上是减函数 . 2m in af x f e e e . 由 2ae e 1e ，得 a e ，又 ae ， ae 综上所述， a 的取值范围为 1,2e 16分 20、 解：（ 1）依题意数列 na 的通项公式是 nan ， 1 4b 故等式即为 11 2 2 12 3 ( 1 ) 3 2 3nn n nb b b n b n b n ， 同时有 1 2 3 2 12
16、 3 ( 2 ) ( 1 ) 3 2 1nn n nb b b n b n b n 2n ， 两式相减可得 1 2 1 2 3 2nnnb b b b -3 分 同时有 11 2 2 1 2 3 2nnnb b b b 2n 两式相减可得 143nnb 2n ， 1n ，也满足 故 可得数列 nb 的通项公式是 143nnb ， 知数列 nb 是首项为 4，公比为 3 的等比数列。 -4 分 （ 2）设等比数列 nb 的首项为 b ，公比为 q ，则 1nnb bq ，从而有： 1 2 3 11 2 3 1 3 2 3n n n nnnb q a b q a b q a b q a b a n
17、 ， 又 2 3 41 2 3 1 3 2 1n n n nnb q a b q a b q a b a n 2n ， 故 1( 3 2 1 ) 3 2 3nnnn q b a n -6 分 3 2 ( 1 ) 33 nn q q qanb b b ， 要使 1nnaa 是与 n 无关的常数，必需 3q ， -8 分 即当等比数列 nb 的公比 3 时，数列 na 是等差数列，其通项公式是 4n na b； 当等比数列 nb 的公比不是 3 时，数列 na 不是等差数列 -9 分 （ 3）由（ 2）知 143nnna b n ， -10 分 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1()4 1 1 2 3 3 3 4 3 3nni iia b n 2 3 11 1 1 1 1 1 11 1 2 3 3 3 3 3 3 3nni iiab 5n-14 分 341 1 1 1 1 1()4 1 1 2 3 3 3 3 n 2311 ( )1 1 1 1 314 1 6 3 13n 1 1 1 1 1 1 ( ) 4 1 6 1 8 2 3 n 1 1 1()36 8 n 11 136 3 -16 分
