代数基本定理的初等证明乔明云（四川 成都师范高等专科学校数学系 611930）摘要 本文给出了代数基本定理的初等证明关键词 代数基本定理，初等证明，复数域，一元次多项式，根，闭曲线，映射，幅角增量。1799年，年仅21岁的高斯在他的博士论文中首次证明了定理 在复数域上，一元次多项式（）（）至少有一个根。由于这个定理是方程论的基础，方程论又是初等代数学的主要内容，因而称为代数基本定理。高斯的证明是数学史上的一个里程碑。二百多年来，数学家们找到了这个定理的许多不同证明，但无不用到较为高深的数学知识（至少用到复变函数论）及数学思想方法，因此，几乎所有的高等代数教科书都仅叙述定理的内容而未给出证明。本文给出一个初等浅显的简单证明，供教学参考。首先证明两条引理：引理1 设是复平面上的一条连续闭曲线，则在映射下的象仍是一条连续闭曲线。证明：设的参数方程是 则上的任意点满足 令 ，则其中 ，是，的实多项式。于是，当时，从而在映射下的象是以 为参数方程的一条有向曲线，其中
