1、 （ 20_ _届） 本科毕业 设计 基于状态空间极点配置的倒立摆平衡控制与设计 所在学院 专业班级 电气工程及其自动化 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 为实现多输入多输出、非线性、不稳定的倒立摆平衡稳定控制，本文采用极点配置的方法控制倒立摆的平衡。本文对倒立摆 做了论述，简要的介绍了倒立摆的发展史、研究意义及其多种多样的控制方法。利用牛顿 -欧拉方程建立倒立摆的数学模型，分析了一阶和二阶倒立摆的数学模型和状态空间方程，将倒立摆的系统模型线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。在分析基础上，初步介绍了状态空间的能控性定理、能观性定理和李雅普诺夫稳定性定理及他
2、们的应用。根据性能指标，计算要配置的极点，基于反馈控制中的极点配置法对倒立摆设计控制器。由 MATLAB 仿真对实际系统的调试验验证，表明采用的控制策略是有效的，对倒立摆的平衡稳定控制有作用，提高了系统的抗干扰能 力。 关键词： 二级倒立摆，极点配置，可控性与可观性， MATLAB仿真 II Pole assignment based on state space control and design of an inverted pendulum balance Abstract For the realization of MIMO, nonlinear, unstable balance
3、 of stability control of the inverted pendulum,we use the method of pole placement to control inverted pendulum. This article discusses the inverted pendulum made a brief introduction to the history of the inverted pendulum, the significance and variety of control methods, Newton-Euler equation, the
4、 mathematical model of inverted pendulum is analyzed to first and second inverted pendulum model and state space equation, the inverted pendulum model is linearized to access to the system near the balance. Based on the analysis, introduce the state space theory of controllability, observation theor
5、y, the stability theory and their applications. According to the performance indicators, calculation of the pole to be configured， feedback control based on pole placement controller is designed for inverted pendulum. MATLAB simulation by the tone of the actual test verification system that uses the
6、 control strategy is effective, it can balance the inverted pendulum and improve anti-interference ability of the system. Keywords: double Inverted pendulum, Pole placement, controllability and observation, MATLAB simulation III 目录 摘 要 . I Abstract . IV 1 绪论 . 1 1.1倒立摆的简介 . 错误 !未定义书签。 1.2倒立摆的发展史 . 错
7、误 !未定义书签。 1.3倒立摆的研究意义 . 3 1.4倒立摆的种类 . 4 1.5倒立摆的主要控制方法 . 5 2 倒立摆的设计与其方程 . 7 2.1一阶倒立摆的数学模型和状态方程 . 7 2.2二阶倒立摆的数学模型和状态方程 . 10 3极点配置控制倒立摆 . 16 3.1能控性、能观性和李雅普诺夫定理 . 16 3.2极点配置算法 . 17 3.3极点配置可解的条件和方法 . 18 3.4极点配置需要注意的问题 . 18 4 MATLAB. 21 4.1 MATLAB简介 . 21 4.2 基于极点配置的仿真 . 21 结论 . 33 参考文献 . 34 致谢 . 35 基于状态空间
8、极点配置的倒立摆平衡控制与设计 1 1 绪论 1.1倒立摆的简介 倒立摆起摆问题：倒立摆在静止状态下，由于重力作用摆杆是竖直向垂下状态的。使摆杆从垂下状态 到竖直向上状态的过程就是倒立摆的起摆问题。 倒立摆作为一个实验装置，是一个不稳定、高阶次、非线性、多变量和强耦合系统，具有直观、形象、结构简单，其构件组成、参数和形状易于改变、成本价格低等特点。对倒立摆的研究可归结为对非线性、多变量、绝对不稳定系统的研究，它在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的镇定问题、鲁棒性问题、跟踪问题及随动问题等。所以对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上都有很深的意义。 倒立摆系是检测和验
9、证各种控制理论的理想模型，其控制方法在机器人、航天、军工领域和一般工业 过程中都有着广泛的应用。二级倒立摆在镇定后，如果受到扰动后摆杆容易倾倒，系统就失控，即系统具有抗干扰能力不强的弱点 1。 1.2倒立摆的发展史 倒立摆系统的最初研究开始于 20世纪 50年代，当时，麻省理工学院设计出单级倒立摆设备。在此基础上，研究人员进行拓展，产生了直线二级倒立摆 ， 环形倒立摆，平面倒立摆 ， 柔性连接直线倒立摆等多级倒立摆等实验设备。从此，倒立摆系统成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略的实验平台。 在 60 年代后期，倒立摆的概念 被正式提出 ，并用其检验控制方法对非线性系统 、 不稳定
10、 系统 和快速性系统的处理能力，受到世界各国许多 学者 和专家的重视， 采 用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆， 已经 成为 世界各国 具有挑战性的课题之一。 20 世纪 70 年代初期， 由系统 状态空间 方程 分析中的线性最优控制理论，按照 一定的性能指标 来 设计最优控制器，在 当时是 应用最普遍，在理论上 也 比较成熟的方法。 Bryson 等人先后采用这种方法实现了对一级倒立摆系统的控制。而后 Check 等人实现了对球平衡装置的控制。 该方法 分别于 1978 年和 1980 年也 先后完成了对倾斜轨道 的 倒立摆和二级倒立摆 的 控制。 在 80 年代以后，随着模糊控制理论的
11、迅速 发展，用模糊控制理论 来 控制倒立摆的研究也 得到 广泛 的 重视，其研究的重点是检验模糊控制理论对快速、不基于状态空间极点配置的倒立摆平衡控制与设计 2 稳定系统的自适应能力。模糊控制理论在 解决 倒立摆这样的多变量系统时，会面临一个 前所未有 的 大 问题，因为可能的控制 规 数是 以 指数形式 的输入变量 ，必须用 合适 方法处理多变量之间的关系。 Moon 提出的基于 T-S 模型的递阶模糊推导 方法实现了对球棒系统的稳定控制，解决了多变量模糊控制的规则数目过多的问题。张乃尧提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆，在控制器的结构设计上做了改变，用两个简单的控制器共同完成控制目标。
12、虽然控制精度 不是很高，但是它为模糊控制方法控制倒立摆系统 的稳定性 打下了基础，对模糊串级控制具有一定的参考价值。另外，李明爱将两个并联模糊控制器的输出直接相加作为最终的控制器输出，也实现了对一级倒立摆的 稳定性 控制。以上这两种方法都是通过改变模糊控制器的结构，来简化模糊控制的设计。对于二级倒立摆系统的模糊控制， 怎样解决 变量之间的关系 更加 重要。 Sue 等人二级倒立摆也采用双闭环模糊控制方法，利用两个模糊控制器分别调节上、下摆角的偏差，减少了控制规则数量，降低了控制器的设计难度，解决了二级倒立摆的多变量控制问题。 Hwan 等人在设 计模糊滑变模控制器时，将系统的多变量合成为两个复
13、合基本变量 综合误差和综合误差变化率， 然后 用基本的 Fuzzy控制理论，实现了对一级倒立摆的 稳定 控制， 收到 了较好的 控制 效果。综合系数的初始值 由 线性二次型最优控制的方法确定， 进而 通过寻优方法将控制效果较好的数值作为 “综合系数 ”。这种基于状态变量合成的方法 可以 很好的解决模糊控制器设计中遇到的 “规则爆炸 ”问题。 在 20 世纪 90 年代，神经网络控制倒立摆系统的研究得到了 迅速 的 重视和发展。 AHC(Adaptive heuristic critic)学习算法 和 Anderson 采用两个神经网络实现了对倒立摆稳定控制。于秀芬等采用了 BP 算法来对倒立摆
14、系统进行控制，BP 网络为 4 个输入 3 层结构，对模型进行学习训练，与模糊控制算法对比，具有收敛快 、 精度高等优点。蒋国飞通过训练 BP 网络来逼近 Q 值函数，并利用BP 网络的泛化能力，实现了基于 Q 学习法的状态未离散化的确定和随机倒立摆的无模型学习控制。 虽然 神经网络 的 理论可以应用于倒立摆系统，但由于神经网络理论本身 存在不足 ， 因而 存在 很多 需要解决的问题 。 当时 模糊神经网络控制也开始在倒立摆系统中得到应用。神经网络 和 模糊控制具有明显的互补性，两者结合， 取长补短，不仅可以解决隶属函数自动生成 和 模糊控制规则的自动提取的问题，还可以 开发 神经网络处理 信
15、息 能力 和范围 。杨振强等人在 阶梯 多级模糊控制控制思想的基础上，加入了遗传算法 和 神经网络，提出了 阶梯 多级模糊神经网络控制方法，既 可以 有效地减少控制规则数目，又能充分利用专家的控制经验初始化网络参数，然后用遗传算法对网络参数进行优化，实现了对二级倒立摆的控制。全永兵等提出了一种新型的非线性状态空间模型，其思想是将模糊控制理论 、 线性系统理论 和 神经网络理论相基于状态空间极点配置的倒立摆平衡控制与设计 3 结合，该模型的初始值可由专家经验确定，参数的最优值由神经网络的学习 确定 。刑瑶等用 BP 算法完善经验知识，可以更好地选择模糊控制器的初始参数，加快训练的收敛速度，提高控
16、制效率。模糊神经网络控制模型一般都存在系统维数太大的问题， 随着智能控制技术的发展 和 对控制理论的深入探索，国内对倒立摆的研究更多的是基于智能控制算法或者是智能控制算法与其它控制理论相结合的控制方法，并涌现出了许多新的控制 策略和方法 。张明廉、墩授等人成功地用单电机实现了对三级倒立摆的稳定控制，这一突破性成果，将为多种飞行器 和 双足机器人的重心控制的控制提供新的构思，也 暗示 着对复杂系统控制理论可能产生重大变革。李洪兴教 授及其团队对于直线倒立摆系统的研究在国内乃至国际上都处于领先水平。 2001 年 6 月，李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制实现了四级倒立摆控制的计算机仿真；同年 9
17、 月，李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制理论实现了三级倒立摆实物系统控制，并于 2002 年 8 月在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制系统。 2003 年 3 月，李洪兴教授等将变论域自适应模糊控制理论结合最优控制理论和经典 PID 控制理论的某些特点扩展为具有高维 PID 调节功能的变论域自适应控制理论，采用这一理论成功地实现了平面运动二级倒立摆实物系统控制。 2005 年 7 月， 利用 高维变论域自适应控制理论，在世界上第一个成功地实现了平面运动三级倒立摆实物系统控制。 同年 ，李祖枢 p 墩授利用拟人智能控制理论在对倾斜轨道上的倒立摆系统稳定控制方面，研究小车二级倒立摆起摆实时控
18、制，取得了阶段性成果 1 2。 1.3倒立摆的研究意义 在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆是一个非线性、强耦合、多变量、快速、不稳定的系统，通过对它引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统 ，来检验控制方法对非线性 、快速性系统 和 不稳定性能力的 处理 ，而且在倒立摆的控制过程中，它能有效地反映诸如鲁棒性、镇定性、随动性以及跟踪性能等许多自动控制领域中的关键问题 ，因此受到世界各国许多科学家的重视 。 研究倒立摆系统不仅有很强的理论意义， 而且 具有深远的实践意义。许多抽象的
19、控制概念如能控性、稳定性、鲁棒性 和 快速性，都可以 由 位移 、 摆杆角度 和和稳定时间直接度量， 其 控制效果 非常清晰 。同时其动态平衡控制与火箭的发射过程 类似，其动态过程与人类的行走 动作 类似，因此倒立摆在研究火箭发射过程的姿态 、 调整双足机器人直立行走 和飞行器飞行控制领域中有重要的 理论 意义，相关的科研成果已经应用机器 人 学 和 到航天科技等诸多领域。倒立摆问题具有如基于状态空间极点配置的倒立摆平衡控制与设计 4 上所述的研究意义，而倒立摆系统又有抗扰能力不 强 的弱点，尤其是二级以上的倒立摆。倒立摆系统在镇定后，如果受到 干扰 后摆杆易于倾倒，系统 因此就 失 去控制
20、。倒立摆系统属于非线性、多变量、强耦合 、 不稳定的快速系统，这些特点使 实现其控制 产生困难 ，因此多年来对它的研究受到控制学界的 广泛 重视。对倒立摆的研究可归结为对多变量非线性系统的研究，因此其控制方法和思路对处理一般工业过程也具有指导意义。通过对倒立摆的研究不仅可 以解决控制中的理论问题，还能将控制理论涉及的三个主要基础学科，数学 、 力学和电学 (包含计算机 )。在多种控制理论与方法的研究和应用中， 尤其 是在工程实践中，存在一种可行性的试验问题，使其理论和方法得到有效的检验，因此倒立摆的研究是一个从控制理论通往实践的 枢纽 。 倒立摆的研究具有重要的工程背景： (1)为防止单级火箭
21、在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭 (多级火箭 )，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。 (2)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球使它的太阳能 电池板一直指向太阳。 (3)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。 (4)在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控 制。 (5)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史机器人的关键技术机器人的行走控制至今仍未能很好解决。 倒立摆 外表 结构简单，
22、但 却是一个 不容易 控制的不稳定系统。 当 摆杆级数的增加，控制难度将不断增大。多级倒立摆的高度不确定性 和 非线性，使其稳定性问题 成为 世 界各国 公认的难题。 如果 被控对象越 是 复杂，数学模型就越难 计算 ，加上倒立摆系统本身的不稳定性 和 非线性，使得线性化模型进行控制设计的各种理论在解决倒立摆这类复杂系统时 较为困难 。 针对如此 复杂的控制对象，研究人员把人工智能的方法引入控制系统， 而且 得到 了 新的突破。神经网络控制 和 模糊控制是智能控制 重要的两个方面 ，它们在倒立摆系统的控制上 经常 起到很大的作用 2。 1.4倒立摆的种类 多年来，人们对倒立摆的研究越来越频繁，
23、倒立摆的种类也由简单的一级倒立摆发展为形式多种多样的倒立摆系统，这其中的原因不仅在于倒立摆系统在高科 技领域的广泛应用，而且新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理非线性、不稳定和多变基于状态空间极点配置的倒立摆平衡控制与设计 5 量的系统的能力。 目前，倒立摆系统的结构形式多种多样，根据不同的标准，其分类如下： (1)根据小车和摆杆连接方式的不同，有刚性倒立摆系统和柔性倒立摆系统； (2)根据倒立摆系统的摆杆数目不同，有一级、二级、三级倒立摆等； (3)根据运动轨道的不同，有倾斜轨道的和水平的倒立摆系统； (4)根据控制电机多少，有单电
24、机倒立摆系统和多电机倒立摆系统； (5)根据摆杆之间连接形式的 不同，有串联式和并联式倒立摆两种； (6)根据摆杆运动轨迹的不同，有直线式倒立摆、平面倒立摆、旋转式倒立摆、乘性连接倒立摆系统等其他形式的倒立摆系统 3。 1.5 倒立摆主要控制方法 近些年来，国内外不少专家、学者一直将它视为典型的研究对象，提出了很多控制方案，对倒立摆系统的镇定问 和 稳定性题进行了大量研究，都在 研究并 寻找不同的控制方法 解决 对倒立摆的控制。在倒立摆平衡控制算法又多种： （ 1）经典控制理论算法：一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入 (力 )四输出 (位移和角度，速度和角速度 )的非最小相位系统，可以用 经
25、典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法，根据对系统的力学分析，得出系统传递函数，采用古典控制理论的根轨迹法、频域分析法等方案，就能分析系统的稳定性。 （ 2）现代控制理论算法：用现代控制理论控制倒立摆的倒立平衡，主要是用状态反馈来实现的。状态反馈控制是通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的数学模型一状态空间模型，再用状态空间理论推出状态方程，然后利用状态反馈方案，实现对倒立摆的控制。状态反馈算法主要包括：极点配置控制器算法、LQR最优控制器法和 LQY最优控制器法三种。 （ 3）模糊神经网络控制：倒立摆系统 自身不能控制其稳定性 ，也因此成为自动控制实验中 检验 控制策略优劣极好的实验装置
26、；针对倒立摆系统的平衡控制问题，提出了用一种应用神经网络来控制倒立摆的方法， 因而 由于神经元网络的训练的反复性，因此在系统中加入一个模糊控制器。来对神经网络输出的控制变量进行 反馈 ，使神经元网络 计算 的值能够始终保持在某一稳定值，从而保证了控制器稳定，仿真结果表明采用该方法设计的并联型模糊神经网络控制器对倒立摆这不稳定的系统具有 很好 的控制效果。人工神经网络与模糊系统有共同之处也有不同之处，在控制系统中，充分结合它们各自的特点，实现优势互补 ，从而达到对复杂非线性系统的较理性的控制。目前模糊系统和神经网络相结合的形式有多种多样，总的来说，根据它们的连接形式和使用功能可以将它们的结合形式
27、归纳为以下几大类 ： (1)并联型结合 (2)串联型结合 (3)网络学习型结合 (4)松散型结合 4。 . (4)遗传算法 ： 遗传算法是基于达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说的一种基于状态空间极点配置的倒立摆平衡控制与设计 6 全新的随机搜索与优化算法，是具有极高鲁棒性的全局优化方法，在自控领域得到广泛的应用。针对倒立摆系统研究了极点配置 、 线性二次型调节器 和 PID，并利用 MATLAB进行了仿真研究。其次，运用遗传算法分别优化 三种控制算法的控制参数。 实验结果 表明，基于遗传算法的 PID控制效果比经验值要好，但基于遗传算法的线性二次型最优控制方法 和 极点配置方法的控制效果与经验值相比，没有 突出的特点 。在遗传算法优缺点的基础上，根据倒立摆控制系统的特点， 设计一种新的改进遗传算法。运用改进遗传算法来优化极点配置方法和线性二次型调节器方法的倒立摆控制参数，并取得比较好的仿真效果。在控制过程中，整个系统是在一个小范围内动态稳定的，实现了摆杆 和 小车位移的稳定控制。通过对实时 小车 的研究，证明了改进遗传算法的 特点和优点 。仿真和实物实验结果证明，遗传 算法和改进遗传算法是获得倒立摆系统控制参数的一种有效方法 145。
