高考数学试题.doc

1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共 5 页，24 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1 ）设集合 ， ，则0342xA032xBABI（A） （B） （C） （D）),3( ),(),1()3,2(【解析】：， 故 24013xx230xx3ABxI故选 D（2 ）设 ，其中 是实数，则yii)1(,yi（A） （B） （C） （D）232【解析】：由 可知： ，故 ，解得： 所以，1ixyi1xiyi1xy1xy2xyi故选 B（

2、3 ）已知等差数列 前 项的和为 ， ，则na927810a10（A） （B） （C） （D）1097【解析】：由等差数列性质可知： ，故 ，而 ，因此公差1592Sa53108a 故选 C105ad108ad（4 ）某公司的班车在 ， ， 发车，小明在 至 之间到达发车站乘3:7:30:0:7:8坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A） （B） （C） （D）3123243【解析】：如图所示，画出时间轴： 8:208:107:507:40 8:308:07:30 BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段 中，而当他的到达时间落在线段 或 时，才能保证

3、ABACDB他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型，所求概率 故选 B1042P（5 ）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 的1322nmyx 4n取值范围是（A） （B） （C） （D）),1()3,()3,0()3,0(【解析】： 表示双曲线，则 ， 2213xymn2230mn223mn由双曲线性质知： ，其中 是半焦距，焦距 ，解得2234cnc 4c1 ， 故选 A3n（6 ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的328表面积是（A） （B） （C） （D）1780【解析】：原立体图如图所示：是一个球

4、被切掉左上角的 后的三视图18表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和8故选 A2271=4+3=7S，（7 ）函数 在 的图像大致为xey,（A） （B）（C ） （D）【解析】： ，排除 A； ，排除 B；228.80fe228.71fe时， ， ，当 时，0xx4xfe10,404fxe因此 在 单调递减，排除 C；故选 Df1,4（8 ）若 ， ，则ba0c（A） （B） （C） （D）c cbacbaaloglcbalogl【解析】： 由于 ，函数 在 上单调递增，因此 ，A 错误；1yxR1cb由于 ，函数 在 上单调递减， ，B 错误；101c,1c1x22O1yx2O1yx22O

5、1yx2O要比较 和 ，只需比较 和 ，只需比较 和 ，只需 和 ，logbaclalnacbllncblalnbla构造函数 ，则 ， 在 上单调递增，因此n1fxl10fxfx1,，又由 得 ，0ll0lnlf bacln0 ，C 正确；lnlogaccab要比较 和 ，只需比较 和，而函数 在 上单调递增，loglblnlcblnyx1,故，又由 得 ， ，D 错11ln0labaa0l0clnloglabccab误；故选 C（9 ）执行右面的程序框图，如果输入的 ， ， ，x1yn则输出 的值满足yx,（A） （B）23（C ） （D）4xy5【解析】：第一次循环： ；20,16x第二

6、次循环： ；7324第三次循环： ；23,6xyx输出 ， ，满足 ； 故选 C24（10 ）以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 两点，交 的准线于 两点，已知 ,CBA, ED, 24AB，则 的焦点到准线的距离为5DE（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为 ，设圆的方程为 ，如图：2ypx022xyr设 ， ，点 在抛物线 上，0,x,5D0,Apx ；点 在圆 上，082p,2p22xyr ；点 在圆 上，25r0,A22 ；联立解得： ，208x4p焦点到准线的距离为 故选 B4p（11 ）平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ，

7、1DCA/1DCB平面 ， 平面 ，则 所成角的正弦值为IABCDmnm,Fnyx,21件件yx,n?36件（A） （B） （C） （D）23231【解析】：如图所示： AA1BB1DCC1D1 ，若设平面 平面 ，则CB 平 面 1ABDm1又平面 平面 ，结合平面 平面11 1CBD ，故 ， 同理可得：1Dm Cn故 、 的所成角的大小与 、 所成角的大小相等，即 的大小n1BD1 1而 （均为面对交线） ，因此 ，即 11BC 13B3sin2B故选 A（12 ）已知函数 ， 为 的零点， 为)2,0)(sin)(xf 4x)(xf4图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为xyf36

8、5,18（A）11 （B）9 （C）7 （D）5【解析】：由题意知：则 ，其中 ， 在 单调，12+ 4 k21kkZ()fx,18365,123618T接下来用排除法：若 ，此时 ， 在 递增，在,4()sin4f()fx,4递减，不满足 在 单调；若 ，此时 ，满足35,46()fx5,18369,sin9fx在 单调递减。故选 B()fx,18二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。（13 ）设向量 a ，b ，且 a b a b ，则 ),(m)2,1(|2|2m【解析】：由已知得： ， ，解得3r 222131rr2（14 ） 的展开式中， 的系数是 （用数字填写答案）5)(

9、x3x【解析】：设展开式的第 项为 ， ， 1k1kT0,234,55521C2CkkkTxx当 时， ，即 ， 故答案为 10532k44545Cx（15 ）设等比数列 满足 ， ，则 的最大值为 na3142a12naL【解析】：由于 是等比数列，设 ，其中 是首项， 是公比1nqq ，解得： 故 ，21313240055qaa8242na32.4121. nna，当 或 时， 取到最小值 ，此时2117497nnn41794n6取到最大值 所以 的最大值为 6421749n6212.na（16 ）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1

10、.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时生产一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元【解析】：设生产 A 产品 件，B 产品 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造xy线性规则约束为目标函数 ；*1.50.153960xyyxN 2109zxy作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为， 在 处取得最大值，(60,1)(,20,)(9,(

11、60,1)12z三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17 ） （本小题满分 12 分）的内角 的对边分别为 ，已知 ABC, cba, cAbBaC)osc(os2（）求 ；（）若 ， 的面积为 ，求 的周长7cABC3A【解析】： ， 由正弦定理得：2oscosabc2cosincsincosinABAC， ， ， csininC 0BC、 、 ， 0 ， ， 1cs20C， 3 由余弦定理得： ，22coscabC2172ab237ab， ， ，13sin24SabC 62875 周长为AB 57bc（18 ） （本小题满分 12 分）如图，在以 为顶点的五面体中，面FED

12、,为正方形， ，且二面EF902A角 与二面角 都是 ADBC6（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值E【解析】： 为正方形， ， ， ， FAFE90AFDAFD=EF 面 ， 面 ， 平面 平面ADCBBEC 由知 ，60 ， 平面 ， 平面BE E 平面 ， 平面 ACD面 面ACIF ， D 四边形 为等腰梯形E以 为原点，如图建立坐标系，设 ，a002Ba， ， ， ， 3020CAa， ， ， ， ， ， ， 设面 法向量为 ，Eur， ， 2aur， ， Bur， ， BECmxyz， ，即，0mBCr112030ayxz11130xyz， ， 301ur， ，设面 法向

13、量为 ， .即A22nyr， ， =nBCAru220aax， ， 设二面角 的大小为 .222034xyz， ， 034r， ， EA，二面角 的余弦值为219cos16mnur BC219（19 ） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期BC内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器

14、更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（）求 X 的分布列；（）若要求 ，确定 的最小值；5.0)(nPn（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应选用哪个？19n20【解析】： 每台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11记事件 为第一台机器 3 年内换掉 个零件iA7i,234i记事件 为第二台机器 3 年内换掉 个零件iB1由题知 ，141340.PPABPB220.4PAB设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 ，则 的可能的取值为X16，17，18，19，20，2

15、1，22160.2.X1702.40.216PAPB132318 .02.40.2PAB432419 4.P0.24.243420.PXAPB310. 8x 40.2X16 17 18 19 20 21 22P.160.4.20.80.4 要令 ， ，0.5xn 45162.5则 的最小值为 19； 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当 时，费用的期望为19n19205.210.8150.400890240件 件543211234y12108642 24xQPNMAB22222364|1|13MNmmNmy54321123y14121

16、08642 24xEDABC当 时，费用的期望为20n2050.810.48所以应选用 19（20 ） （本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，0522xyAl)0,1(BxlADC,过 作 的平行线交 于点 BACDE（）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程；B（）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于1Cl1NM,l两点，求四边形 面积的取值范围QP,MPNQ【解析】： 圆 A 整理为 ，A 坐标 ，如图，26xy,，则 ，由 ，BEC EBD ,CDC则 则 ，D ， 4|EAB根据椭圆定义为一个椭圆，方程为

17、 ，( )；2xy ；设 ，因为 ，设 ，21:43xC:lxyPQl :yx联立 ： ， 则1l与 椭 圆 243x29y圆心 到 距离 ，APQ22|1|dm所以 ，222434| 61m 222 211 1| 41,83333MPNQS m（21 ） （本小题满分 12 分）已知函数 有两个零点2)1()()xaexf（）求 的取值范围；a（）设 是 的两个零点，证明： 21,f 21x【解析】： 由已知得： 1x xfxeaea 若 ，那么 ， 只有唯一的零点 ，不合题意；0a020f 2x 若 ，那么 ，xxea所以当 时， ， 单调递增; 当 时， ， 单调递减;1ff1x0fxf

18、即：x,11,f 0 极小值 故 在 上至多一个零点，在 上至多一个零点fx1,1由于 ， ，则 ，20a0fe20f根据零点存在性定理， 在 上有且仅有一个零点x,而当 时， ， ，1xxe21故 22211faeaxex则 的两根 ， ， ，因为 ，故当0fx214t 24eat 12t0a或 时，1t2t210axe因此，当 且 时，1tf又 ，根据零点存在性定理， 在 有且只有一个零点0fefx,1此时， 在 上有且只有两个零点，满足题意xR 若 ，则 ，2aln2l1ae当 时， ， ，lx 0x ln20axe即 ， 单调递增；1fef当 时， ， ，即 ，ln2aln2ax120

19、xfxea单调递减；fx当 时， ， ，即 ， 单调递增10ln20axe0ff即： x,ln2al l,11,f+ 0 - 0 + 极大值 极小值 而极大值 22ln2ln2ln1ln10faaaa故当 时， 在 处取到最大值 ，那么 恒成1x fxfln20fxa立，即 无解0f而当 时， 单调递增，至多一个零点f此时 在 上至多一个零点，不合题意fxR 若 ，那么2ealn21a当 时， ， ，即 ， 单调递增1lx0xln20axe0fxfx当 时， ， ，即 ， 单调递增1ln2xa10xln20axe0fxfx又 在 处有意义，故 在 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意f fR

20、 若 ，则2el当 时， ， ，即 ， 单调递增1x0ln2120axeae0fxfx当 时， ， ，即 ， 单调递减lnalx 当 时， ， ，即 ，2ln0xln2axef单调递增fx即： ,11,ln2aln2aln2,afx+ 0 - 0 + 极大值 极小值 故当 时， 在 处取到最大值 ，那么 恒成立，即ln2a fx11fe0fxe无解0fx当 时， 单调递增，至多一个零点,此时 在 上至多一个零点，不合题lf fR意综上所述，当且仅当 时符合题意，即 的取值范围为 0aa0, 由已知得： ，不难发现 ， ，12fxf1x2故可整理得：, ，则122xee21xeg12gx，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递231 xgxe0xxx0gx增设 ，构造代数式：0m11122221 1mmmgeee设 ， ,则 ，故 单调递增，2mh02 0hh有 0因此，对于任意的 ， 1gm由 可知 、 不可能在 的同一个单调区间上，不妨设 ，则必有12gx1x2x 12x令 ，则有10m111122gggxg而 ， ， 在 上单调递增，因此：2x2x,12x整理得： 1