1、1普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。1函数及其图形11 函数 自变量和因变量 绝对常
2、量和任意常量12 函数的图象13 物理学中函数的实例2导数21 极限如果当自变量 x 无限趋近某一数值 x0（记作 xx 0）时，函数 f（x）的数值无限趋近某一确定的数值 a，则 a 叫做 xx 0时函数 f（x）的极限值，并记作（A17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A17）式读作“当 x 趋近 x0时，f（x）的极限值等于 a”。极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。考虑下面这个函数：2这里除 x1 外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当但是若问
3、x1 时函数值 f（1）？我们就会发现，这时（A18）式的说是没有意义的。所以表达式（A18）没有直接给出 f（1），但给出了 x 无论如何接近 1 时的函数值来。下表列出了当 x 的值从小于 1 和大于 1两方面趋于 1 时 f（x）值的变化情况：表 A-1 x 与 f（x）的变化值x 3x2-x-2 x-10.9 -0.47 -0.1 4.70.99 -0.0497 -0.01 4.970.999 -0.004997 -0.001 4.9970.9999 -0.0004997 -0.0001 4.99971.1 0.53 0.1 5.31.01 0.503 0.01 5.031.001 0
4、.005003 0.001 5.0031.0001 0.00050003 0.0001 5.0003从上表可以看出，x 值无论从哪边趋近 1 时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5，这便是 x1 时 f（x）的极限值。其实计算 f（x）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在 x1 的情况下从分子和分母中将因式（x1）消去：即可看出，x 趋于 1 时函数 f（x）的数值趋于 3125。所以根据函数极限的定义，求极限公式（2）3（3）（4） 等价无穷小量代换sinxx; tanx; arctanxx; arcsinxx;22 极限的
5、物理意义（1）瞬时速度对于匀变速直线运动来说，这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A5）。（2）瞬时加速度时的极限，这就是物体在 tt 0时刻的瞬时加速度 a：4（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把 x 坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图 A-5），于是各处渠底的高度 h 便是 x 的函数：h=h（x）知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。就愈能精确地反映出 x=x0这一点的坡度。所以在 x=x0这一点的坡度 k 应是23 函数的变化率导数前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是 t，第三个例子
6、中自变量是 x这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率”概念。当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“”来表示。例如，当自变量 x 的数值由 x0变到 x1时，其增量就是xx 1-x0 （A25）与此对应。因变量 y 的数值将由 y0f（x 0）变到 y1=f（x 1），于是它的增量为yy 1-y0=f（x 1）f（x 0）f（x 0+x）f（x 0）（A26）应当指出，增量是可正
7、可负的，负增量代表变量减少。增量比5可以叫做函数在 xx 0到 xx 0+x 这一区间内的平均变化率，它在x0 时的极限值叫做函数 yf（x）对 x 的导数或微商，记作 y或f（x），f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。应当指出，函数 f（x）的导数 f（x）本身也是 x 的一个函数，因此我们可以再取它对 x 的导数，这叫做函数 yf（x）据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：24 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。如图 A-6 所示，为了确定曲线在 P0点的切线，我们先在曲线
8、上 P0附近选另一点 P1，并设想 P1点沿着曲线向 P0点靠拢。P 0P1的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角 来描述。从图上不难看出，P 1点愈靠近 P0点， 角就愈接近一个确定的值 0，当 P1点完全和 P0点重合的时候，割线 P0P1变成切线P0T， 的极限值 0就是切线与横轴的夹角。6在解析几何中，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切 tan 叫做这条直线的斜率。斜率为正时表示 是锐角，从左到右直线是上坡的（见图 A-7a）；斜率为负时表示 是钝角，从左到右直线是下坡的（见图 A-7b）。现在我们来研究图 A-6 中割线 P0P1和切线 P0T 的斜率。设 P0和
9、 P1的坐标分别为（x 0，y 0）和（x 0+x，y 0+y），以割线 P0P1为斜边作一直角三角形P 0P1M，它的水平边 P0M 的长度为x，竖直边 MP1的长度为y，因此这条割线的斜率为如果图 A-6 中的曲线代表函数 y=f（x），则割线 P0P1的斜率就等于函数在 线 P0P1斜率的极限值，即所以导数的几何意义是切线的斜率。3导数的运算在上节里我们只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来。731 基本函数的导数公式（1）yf（x）C（常量）（2）y=f（x）x（3）yf（x）=x 2（4）yf（x）x 38上面推导的结果可以归纳成一个普遍
10、公式：当 y=xn时，等等。利用（A33）式我们还可以计算其它幂函数的导数（见表 A-2）。除了幂函数 xn外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数。我们只给出这些函数的导数公式（见表 A-2）而不推导，读者可以直接引用。32 有关导数运算的几个定理定理一证：9定理二表 A-2 基本导数公式函数 y=f(x) 导数 y=f(x)c(任意常量) 0xn(n 为任意常量) nxn-1n=1,x 1n=2,x2 2xn=3,x3 3x2 sinx cosxcosx -sinxlnxex ex定理三定理四10例题 1 求 y=x2a2（a 为常量）的导数。例题 3 求 y=ax2（a 为常量）的导数。例题 4 求 y=x2ex的导数。例题 6 求 ytanx 的导数。例题 7 求 ycos（axb）（a、b 为常量）的导数。解：令 vaxb，yu（v）cosv，则
