1、高中数学(理科)基础知识归类第 1 页(共 36 页)高中数学基础知识归类献给 2012年高三( 理科) 考生一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：函数的定义域； |lgxyx |lgyx函数的值域；函数图象上的点集 .(,)|lgxy2.集合的性质： 任何一个集合 是它A本身的子集,记为 .A空集是任何集合的子集 ,记为 .空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了AB的情况如： ,如果 ,求 的取值.012|xaARa(答： )0 , ；()UUCABC()UUABC；（ ） （ ）.（ ） （ ）ABBUACBAUCB.UCR 元素的个数：.() (
2、)cardABcardAcardBcardAB 含 个元素的集合的子集个数为 ；真n 2n子集(非空子集) 个数为 ；非空真子集21n个数为 .2n3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数 在区间12)(4)(2 pxpxf上至少存在一个实数 ,使1, c,求实数 的取值范围.(答： )0)(cf p32(,4.原命题: ；逆命题: ；否命题: qqp高中数学(理科)基础知识归类第 2 页(共 36 页)；逆否命题: ；互为逆否的两pqqp个命题是等价的.如：“ ”是“ ”的 sini条件.(答：充分非必要条件)5.若 且 ,则 是 的充分非必要条件pqpq(或 是
3、的必要非充分条件 ).6.注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是 ；否命题是pqpq.pq命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”；“ 且 ”的否定是“ 或 ”.pq如：“若 和 都是偶数，则 是偶数”的abba否命题是“若 和 不都是偶数,则 是奇ba数”否定是“若 和 都是偶数,则 是奇数”.ab高中数学(理科)基础知识归类第 3 页(共 36 页)7.常见结论的否定形式二.函数1.映射 : 是： “一对一或多对一”fAB的对应；集合 中的元素必有象且 中A不同元素在 中可以有相同的象；集合 中B B的元素不一定有原象(即象集 ).一一映射 : ： “一对一”的对应；fA 中不同元素
4、的象必不同, 中元素都A B有原象.2.函数 : fAB是特殊的映射.特殊在定义原结论 否定 原结论否定是 不是 至少有一个一个也没有都是 不都是 至多有一个至少有两个大于 不大于 至少有 个n至多有 个1小于 不小于 至多有 个至少有个对所有 ,x成立存在某 ,x不成立或pq且pq对任何 ,x不成立存在某 ,x成立且pq或pq高中数学(理科)基础知识归类第 4 页(共 36 页)域 和值域 都是非空数集！据此可知函AB数图像与 轴x的垂线至多有一个公共点,但与 轴垂线y的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求
5、定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数且 ；零指数幂的底数 )；实际问题有意10义；若 定义域为 ,复合函数 定义()fxab()fgx域由 解出；若 定义域为 ,则agb()fgxab定义域相当于 时 的值域.()fx ,ab5.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法： 转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）： 导数法 (一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系
6、数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方()fx程组。7.函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域高中数学(理科)基础知识归类第 5 页(共 36 页)是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若 是偶函数,那么 ；定义()fx ()(|)fxfx域含零的奇函数必过原点( )；0判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或 ；()0fx()1()0fxf复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简 再判断；既奇又偶的函数有无数个(如 定义域关于原点 对称即可)
7、.)0fx奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特 值法(用于小题)等.复合函数单调性由“同增异减” 判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数 的单调递增区间是12log()yx.(答： )_,8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对 而言）；x上下平移-“上加下减”(注意是针对而言). 翻折 变换： ； .()fx ()|fxf()|)fxf对称变换： 证明函数图 像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴) 的对称点仍在图像上.证明图像 与 的对称性,即证 上任1
8、C2 1C意点关于对称中心(轴) 的对 称点仍在高中数学(理科)基础知识归类第 6 页(共 36 页)上,反之亦然.2C函数 与 的图像关于直 线 ()yfx()yfx0x轴)对称；函数 与函数y的图像关于直线 ( 轴) 对称；(fx0yx若函数 对 时， 或()yfxR()fafx恒成立,则 图像关()2)fxax()yx于直线 对称；若 对 时, 恒成立,则()yfxR()()faxfb图像关于直线 对称；()f 2函数 , 的图像关于直 线()yfax()yfbx对称( 由 确定)；2bax函数 与 的图 像关于直线()yfx(yfx对称；2abx函数 , 的图像关于直 线()yfx()
9、Afx对称( 由 确定) ；2Ay2f函数 与 的图像关于原点成()yfx(yfx中心对称；函数 ,()yfx()nfmx的图像关于点 对称；2,mn函数 与函数 的图像关于直()yfx1()yfx线 对称；曲线 ： ,关于x1C,0, 的对称曲线 的方程为ya2(或 ；(,)0fx,)0fyax曲线 ： 关于点 的对称曲线 方1C,f(,b2C程为： .(2,)0axby9.函数的周期性：若 对 时()yfxR恒成立,则 的 周 期 为 ；()()fxaf 2|a若 是偶函数,其图像又关于直线yx对称,则 的周期为 ；x()f 2|a若 奇函数,其图像又关于直线)yfx对称,则 的周期为 ；
10、xa(f 4|a若 关于点 , 对称,则 的周期)yfx(0)ab()fx为 ；2|ab高中数学(理科)基础知识归类第 7 页(共 36 页) 的图象关于直线 , 对称,()yfxxa()b则函数 的周期为 ；()f 2| 对 时, 或 ,则()yfxR()(fxafx1()(fxfa的周期为 ；f2|10.对数： ；对 数loglnaab(0,1,)bnR恒 等 式 ；lg(0,1)aNN lo()lol;logllog;llognaaaaaaMMNM；对数换底公式1loglnaa loglba；(0,)b推论： .12113loglogllogllognabcaaaan(以上 且2,0,0
11、,0MNbc均不等于 )12,na11.方程 有解 ( 为 的值域)；(kfxkD(fx恒成立 ,()fx()afx最 大 值恒成立 .()afx()afx最 小 值12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值 法) ； 转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： 一般式： ；顶点式：2()(0)fxabc； 零点式：()fxhk.12)(x15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 、轴与区间关系、区 间端点函数值0符号;高中数学(理
12、科)基础知识归类第 8 页(共 36 页)16.复合函数：复合函数定义域求法：若 的定义域为 ,其复合函数 的()fxab()fgx定义域可由不等式 解出；若 的定义域为 ,求()agxb()fgxab的定义域，相当于 时,求()fx ab的值域；复合函数的单调性由“同增g异减”判定.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性； 与 互()yfx1()yfx为反函数,设 的定义域为 ,值域为 ,则有()fxAB, .1()fxB1(
13、)x18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：(或 ) (或 )；()0fugxh()aub)0fa(0fab19.函数 的图像是双曲线：,axbcdyc两渐近线分 别直线 (由分母为零dcx确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)；acyx对称中心是点 ；反函数 为 ；(,)dacbdxcay20.函数 ：增区间为 ,(0,)bxya(,)ba减区间为 .,)a如：已知函数 在区间 上为增函12(xf(2,)高中数学(理科)基础知识归类第 9 页(共 36 页)数,则实数 的取值范围是 (答： ).a_12(,)三.数列1.由 求 , 注意验证 是nSna
14、1*()2,)nSnN 1a否包含在后面 的公式中,若不符合要单独列出.如：数列 满足 ，na111534,nnaSa求 (答： ).na14()32nn2.等差数列 ( 为常数)1nad12(,*)nnaN；21 122(,)nddbdSABa3.等差数列的性质： , ；(nmmna (反之不一定成立)；特mnlknlkaa别 地 ,当 时 ,有 ；2p2mnpa若 、 是等差数列,则 ( 、 是非nnbnktbkt零常数) 是等差数列；等差数列的 “间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数232,mmSS 列；等差数列 ,当项数为 时 , ,nanSnd偶 奇；项数为 时,1nSa奇偶
15、 21, ,且 ；(*)nN偶 中 奇 21()nnSa1Sn奇偶.()nnAaBbff首项为正(或为负)的递减 (或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小) 问题,转化为解不等式(或 ).也可用 的二次函数10na10na2nSAB关系来分析.若 ,则 ；若 ,()nman0mna,()nmSn则 ；()mS若 ,则 Sm+n=0；S3m=3(S2m Sm)；n.mnSd高中数学(理科)基础知识归类第 10 页(共 36 页)4.等比数列.12 11(0)(2,*)n nnnaqaNaq 5.等比数列的性质 , ；若 、 是等比数列，nmaqnanab则 、 等也是等比数列；nknb ；
16、1111() ()()()nnqqaaqS(反之不一定成mnlknlk立)； . 等比数列中nmSqS(注：各项均不为 0)232,mm 仍是等比数列. 等比数列 当项数为na时, ；项数为 时, .2nSq偶奇 21n1Sq奇 偶6.如果数列 是等差数列 ,则数列 (na naA总有意义) 是等比数列；如果数列 是naA n等比数列,则数列 是等差数列；log|(0,1)ana若 既是等差数列又是等比数列,则na是非零常数数列；n如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的 设法： ；四个,ad数成等差的设法： ；3,3ad三个数成等比的设法： ；四个数成等,qa比的错误设法： (为什么？)33,aq7.数列的通项的求法：公式法：等差
