1、立体几何练习题1在直四棱住 1DCBA中， 12，底面是边长为 1的正方形， E、 F、G分别是棱 B1、 、 的中点.()求证：平面 E1/平面 GF; ()求证： 1DE面 AC.2如图，正方体 1DCBA的棱长为 2， E 为 AB 的中点(1)求证： 平 面（2）求点 B 到平面 CA1的距离.3.如图所示，在三棱柱 1ABC中， 1A平面 ,90BCA， 2B1C13A（）求三棱锥 11的体积；（）若 D是棱 的中点，棱 的中点为 E，证明: /E平 面 FEA BD CG1C1ABD1BCEDBA11AABCA1B1C1DE OACBFD4如图，在棱长均为 2 的三棱柱 ABCDE
2、F中，设侧面四边形 FEBC的两对角线相交于 ，若BF平面 AEC， .(1) 求证： O平面 F； (2) 求三棱锥 的体积.5.如图，在体积为 1 的三棱柱 1CBA中，侧棱 1A底面 BC， A， 1AC， E 为线段 上的动点.（）求证： CA 1 PC1E；（2）线段 B上是否存在一点 E，使四面体 E-AB1C1的体积为 6？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由.6已知三棱柱 ABCA1B1C1的直观图和三视图如图所示，其主视图 BB1A1A 和侧视图 A1ACC1均为矩形，其中AA1=4。俯视图 A 1B1C1中，B 1C1=4，A 1C1=3，A 1B1=5，D
3、是 AB 的中 点。（1）求证：ACBC 1；（2）求证：AC 1平面 CDB1；（3）求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值。7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 ABCDP中， A，ABCDP面，点 E是 的中点。（）求证： P（）求证： E平 面/8 如图，在四棱锥 ABCDP中，ABCD 是矩形，ABCDP平 面， 3,1ABP， 点 F是 D的中点，点 E在 上移动。（1） 求三棱锥 E体积；（2） 当点 为 的中点时，试判断 E与平面 的关系，并说明理由；（3） 求证： B E C1 A1 C A B1 ABCDPEFEAFC B图(1)EAFC B图(2)9如图所示，四棱锥
4、 PABCD中，底面 AB为正方形， PD平面 ABC， 2PD，E， F， G分别为 、 、 的中点（1）求证： PA/平面 EF；（2）求证： 平；（3）求三棱锥 的体积10如图 6，已知四棱锥 ABCDP中， 平面 ABCD， 是直角梯形， BCAD/，BAD=90， 2（1）求证： ；（2）在线段 P上是否存在一点 E，使 A/平面 P， 若存在，指出点 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由11. . )2( ; )1().2(, ,90,4的 距 离到 平 面求 点求 证 如 图上 的 射 影 恰 为 点在 平 面且位 置到 达使 点折 起将中 点 的分 别 是是 等 腰 直 角
5、三 角 形如 图 CAFAEF EEABCFB12如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图 C 尺寸如图 所示）。（）求四棱锥 PBCD的体积；（）若 G为 上的动点，求证： AEPG。ACBP图 613如图，四边形 ABCD为矩形， A平面 BE,2AE， F平面 于点 F，且点 F在 上.（）求证： E；（）求三棱锥 的体积；（）设点 M在线段 上，且满足 2M，试在线段 C上确定一点 N，使得 /平面 DAE.14已知四棱柱 1ABCD的三视图如图所示.（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的体积；（2）若 E为 1上一点， /E平面 1AC，试确定 点位置，并证明 B平
6、面 D15.如图是以正方形 ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH为截面，且ABa， FHb（）证明：截面四边形 EG是菱形；（）求三棱锥 的体积16正方形 ABCD 中，AB=2，E 是 AB 边的中点，F 是 BC 边上一点，将AED及DCF 折起(如下图)，使 A、C 点重合于 A点AEBF CD（19 题图）M俯视图正视图 侧视图221BAABDC1A1D1B1AGFCADBHE(1)证明：AD EF； (2)当 BF= 14BC 时，求三棱锥 A一 EFD 的体积17、已知四棱锥 PABCD的三视图如下图所示， E是侧棱 PC上的动点.(1) 求四棱锥 的体
7、积；(2) 是否不论点 E在何位置，都有 A？证明你的结论；(3) 若点 为 的中点，求二面角 B的大小.18、如图，已知 AB平面 CD， E平面 AC， D为等边三角形， 2DE， F为 的中点.(1) 求证： /平面 ；(2) 求证：平面 平面 ；(3) 求直线 B和平面 CE所成角的正弦值.19、如图，四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，侧面 PDC 是边长为 a 的正三角形，且平面 PDC底面 ABCD，E 为 PC 的中点。（I）求异面直线 PA 与 DE 所成的角；（II）求点 D 到面 PAB 的距离.20如图，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、ACD
8、是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD3，BDCD1，另一个侧面是正三角形（1）求证：ADBC（2）在直线 AC 上是否存在一点 E，使 ED 与面 BCD 成 30角？若存在确定 E 的位置；若不存在，说明理由。侧侧侧侧侧侧侧侧侧 12 1121A BCDPEABC DEFAB DC立体几何参考答案1. 证明:() FE,分别是棱 1,DB中点 11/EFBD且 四边形1BEDF为平行四边形/又 111,AA平 面 平 面平面 3 分又 G是棱 D的中点 1/DGF又 11AEAE平 面 ， 平 面/F平面 5 分又 BG平面 D1/平面 BGF6 分() 12A 215A,同理
9、12,3AED2DE1E9 分,CBC面 1BD 又 11B平 面 ,1CE又 A, 面 A, 面 E面 A12 分2. （1）连接 BD，由已知有 平 面1、得 D1 又由 ABCD 是正方形，得： BDC、 1与 B相交， 1BDC平 面（2） EA1 51EA 又 321A 点 E 到的距离 235d，有： 61dSC 211BSEA，又由 CBV11 ， 设点 B 到平面 EA1的距离为 h，则 ShEAECA113 ， 有 26h， 36， 所以点 B 到平面 ECA1的距离为FEA BD CG11AB363. 【解】在 RtABC中， 2， 1BC， 3A 13，四边形1AC为正方
10、形111332BVV -6 分（）当点 E为棱 的中点时， DE:平面 1-8 分证明如下：如图，取 1的中点 F，连 、 、 ， D、 、 分别为 1C、 AB、 1的中点， AB: 1平面 ， E平面 ， E平面 1 -10 分同理可证 F平面 1 FD，平面 :平面 C 平面 E， :平面 1ABC -12 分4. （1）证明： B平面 A，而 AO 平面 S F O 2 分 AE, ，而 BCFE 为菱形，则 为 E中点， O , 且 FEO 平面 BC.6 分（2） D , C D平面点 、 到面 B的距离相等 8 分BEFAEFVV A ，AO=AO AOE AOB，得 OE=OB
11、 ，即 EC=FB，而 BCFE 为菱形，则 BCFE 是正方形， 计算得 AO= 2， 的面积等于正方形 BCFE 的一半 2， 12 分因此 123BDEFV 14 分5. 解：（）证明：连结 1AC， 侧棱 1底面 ABC，1B又 . AB平面 1C.又 平面 1， . （3 分）， 四边形 1为正方形， 1A.1AC， C平面 . （5 分）又 P平面 1B， 1AP. （6 分）（）设在线段 上存在一点 ，使 16PABCV.A1A112ABCV， 2AB . （7 分）又 1,C且 1平面 1,AB，由 116PABCPAB，知 1 1332326SP: ，解得 ， 存在 的中点
12、，使 1ABCV . （12 分）6. 解：（1）证明：因为主视图和侧视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱1 分又俯视图中 A1C1=3，B 1C1=4，A 1B1=5A 1C12+B1C12=A1B12A 1C1B1=ACB=90ACBC 又ACCC 1，CC 1BC=CAC平面 BCC1B1 又BC 1平面 BCC1B1ACBC 1 4 分（2）证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DED 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点 DEAC 1 又DE 平面 CDB1，AC 1平面 CDB1AC 1平面 CDB1 8 分（3）DEAC 1 CED 为 AC1与 B1C 所成的角在
13、CED 中 ED= 2AC1= 5，CD= 2AB= 5 CE= 2CB1= cosCED=852异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 25。12 分7. ABDAP面面 , 又 PABPAC面面 , C面 P面 （2）连结 BD交 A于点 O，并连结 E 四边形 BD为平行四边形 O为的中点 又 E为 P的中点 在 DB中 EO 为中位线， PEO/ C面面 , AP面/ 128. 解：（1） ABCDP平 面， 631231PASVBEAPBE（2）当点 E为 的中点时， F平 面|。理由如下： 点 F,分别为 CD、PD 的中点， PF|。 平 面， F平 面平 面| （3） A
14、BCD平 面， ABCD平 面 PA是 矩 矩 形 ， AD，P平 面ADF平 面 CF AP，点 F是 P的中点 又 C D平 面 DC，E平 面 PE9. 解（1）证法 1：如图，取 AD的中点 H，连接 ,GF1 分 ,F分别为 ,的中点， EFC: 2 分 GH分别为 BC的中点， E: ,G四点共面 4 分 ,F分别为 DPA的中点， PFH: A平面 ， F平面 E， A平面 EG 6分 （2）解： 平面 BC， G平面 BCD， P BD为正方形， ， C平面 PD 10 分（3） 12PF， 12EF， 12PEFSGC， 1336PEFGPEFPEFVSC14 分10. 解：
15、（1） A平面 BD， A平面 BCD， PA B ABCDdEF GPABCDEF GPHFEADBCP AB D， PA， B平面 PAD， 平面 AD， （2）取线段 的中点 E， C的中点 F，连结 FE,则 EF是 PB中位线 B，C21 CAD/， 21， EFAD,/ 四边形 是平行四边形， 10 分 FE/ 平面 PC， 平面 PC， A平面 线段 B的中点 E是符合题意要求的点11. 解: 分平 面平 面 平 面平 面又 中在 四 棱 锥 且 的 中 点分 别 是中在 等 腰 直 角证 明 6. , / , )1(CAEFECAFEB4,2, )1(/ :222 BCECACBRt F中在 平 面由 已 知 得得由解 分的 距 离 为到 平 面所 以 点 分得由的 距 离 为到 平 面设 点 分14.241 3 9., 8.241 BCAFSEdVdAFSFBCBCFBCA12.解：（I）由几何体的三视图可知，低面 ABCD 是边长为 4 的正方形，/PABCDPAE面 ，且 42,DCB,116333BVS
