1、 学校代码：11517学 号：201311002242HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING毕业论文题 目 直接法和二维 Toda 格方程的周期解学生姓名 李灵霜 专业班级 信息与计算科学 1342 学 号 201311002242 院 （部） 理学院 指导教师(职称) 苏婷(副教授) 完成时间 2017 年 5 月 26 日 河南工程学院毕业设计（论文）版权使用授权书本人完全了解河南工程学院关于收集、保存、使用学位毕业设计（论文）的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、
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3、工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位毕业设计（论文）原创性声明的法律责任由本人承担。毕业设计（论文）作者签名：年 月 日 目 录摘 要 .1第 1章 绪论 .2第 2章二维 Toda格方程的双线性形式 .3第 3章一维周期波解和渐进性 .43.1 一维周期波解 .43.2 单周期波解的渐近性 .6第 4章双周期波解及其渐近性 .74.1 构建双周期波解 .74.2 双周期波解的渐近性 .9致 谢 .11参考文献 .13河南工程学院本科毕业设计 (论文)1直接法和二维 Toda 格方程的周期解摘 要Hirota双线性方法被用来直接构造周期波解依照 Riemann the
4、ta函数（2+1）-1维 Toda晶格方程。对周期波的渐进性进行详尽的分析，包括单周期解和双周期解。并绘制解的曲线来分析此解，结果表明可以从周期波解中减少公知的孤子解。关键词：Riemann theta 函数 周期波解 一种直接方法河南工程学院本科毕业设计 (论文)2第 1 章 绪论1.1选题的背景和意义众所周知，有很多成功的方法来构造微分方程的显式解，例如：散射变换、Darboux变换、Hirota 直接法、algebra-geometrical 方法等等。准周期性解或algebra-geometrical解可以借助于 algebra-geometrical方法获得，然而他们解的形式复杂可以
5、借助于黎曼曲面和 Abel-Jacobi函数。Hirota 直接方法提供了一个强有力的方法来构造非线性方程的精确解，一旦通过因变量变换以双线性形式写入非线性方程，则可以获得多孤子解和有理解。Nakamura 在 1979年和 1980年提出了单周期波解和基于 Hiorta的双周期波解，借助 Riemann theta函数。其中得到 KdV和 Boussinesq方程的周期解，这种方法的重要优势在 Dai et al首次被证明。对于 KP方程，可以明确地绘制解分布图，并且通过使用合适的渐近极限，可以从准周期解推导多分散解。这种程序在 Dai et al中有介绍，并被其他作者用来研究用大量孤子方程
6、来构造准周期性解。1.2国内外发展现状关于 Toda晶格问题已经进行了大量的调查研究。Nakamura 研究关于（3+1）-维 Tode方程，此方程的解是一系列的 Bessell函数的级数展开式的表达式形式。Krichever 和 Vaninsky得到了周期和开放 Toda晶格之间的关系。此外algebra-geometrical方法关于开放 Toda晶格是发展的。对于开放 Toda格代数几何方法的开发，基于李超代数方法，这是超级 Toda晶格和超 KdV方程有一定关系发现.Baleanu 和 Baskal讨论了个 Lax方程的张量形式和 Cartan挠率张量的几何形式存在的透明。此外，给出了
7、 Toda晶格的 Lax张量方程的解。Baleanu 等人提出了Killing张量和 Lax算子之间的联系，并详细分析了 Toda晶格方程的应用，Ito 和Locke研究了仿射 Toda场方程，并得出了一些有趣的解。Mahmood 通过使用Darboux变换得到 NC Painleve方程的准决定性解，其中 Toda解在 n = 1处。Klein和 Roidot提出了对于双曲线和椭圆形情况的波长极限（2 + 1）维度 Toda的数值研究。Wu 等人将离散小数演算的工具引入到扩散问题的离散建模中，并且提出了在 Caputo方法中的小数时间离散扩散的模型李构建了一个新的 q变形的 Toda层4 号
8、黑体加编页码河南工程学院本科毕业设计 (论文)3次的双线性方程和 tau函数的 Sato理论。此外，详细研究了多组分延伸作者研究了周期性 Toda链的动力学的渐近线，其中具有大量等质量的粒子的初始数据接近平衡。Wu等人提出了晶格分数扩散方程，并且作为应用，讨论了各种差分阶数。1.3 课题理论基础介绍对于二维 Toda晶格方程：,1,1,ni, 20x uxynuxynuxynyuuxee (1.1)Nakamura【31】发现新的类型精确解（ripplon 解，新的解反映了系统的基本多维度的影响事实上，方程（1.1）是修正拉普拉斯方程的离散化形式。 （参考【31】 ）0yxzui(1.2)在本
9、文中，我们采用了戴等人提出的方法， 【13】在方程（1.1）的 Riemann函数中直接构造周期波解 通过进行合适的渐近分析，获得并导出单周期和双周期解。此外，我们绘制一些解的曲线来详细分析解。1.4 本文结构本论文的结构如下，在第二章中，我们得出了 2D Toda格方程的双线性形式。在第三章中给出了一阶周期波解和渐近性。在第四章中，我们得到双周期波解及其渐近性。类似于第三章，虚部的一些解曲线将被丢弃。第 2 章二维 Toda格方程的双线性形式我们考虑方程 ,1,1,n, 20x uxynuxynuxynyuiuxee(2.1)通过作如下变换： , 21l,xnxyef(2.2)方程（2.1）
10、具有双线性形式： ,1,2jjjjktn 2,coshD,i 2,0nXYGfxyfxycfxyn(2.3)河南工程学院本科毕业设计 (论文)4其中 123cnxcyn，这是由于积分的结果。在文献【4 】中对 Hirota 双线性微分算子做了如下定义： , ,|,myx xDabaybxxy 差分运算符被定义为： 1;nDnea1,nDnea122nnn ncoshbabb 从 Hirota 算子的定义我们可知关系： 12 12121,mlmlxtDeke 其中 ,jjjjkn此外，我们很容易推导出关系：12 121,ncoshcosh （2.4 ） 12 122, , ,xtGeGke（2.
11、5）第 3 章一维周期波解和渐进性3.1 一维周期波解我们假设 2D-Toda 格方程的双线性形式的 Riemann theta 函数解为：2,ikikfe(3.1)其中 11,.k,.,NNk是一个对称矩阵，且 0,Im01.,ijijpxlymjN我们考虑 N = 1 的情况，则（3.1）变为： ,2,NikikkZfe(3.2)为了使上述形式可以成为一个解，p，l， 可以不是独立的，我们继续找到他们的关系将（3.2）代入（2,3）再用（2,4）-（2.5 ）我们可以得到：河南工程学院本科毕业设计 (论文)522,m 22, ,Dexpexp22,exxynkkfGcoshikiikii
12、mi lcoshi iikm p0其中引入了新的求和指数 k， G被定义为： 22,2,2expkGmimpiklconshiki （3.3 ）在等式（3.3）中，令 1k ，我们可以得到：22,2,2expexp1.ki iklconshikmimGi 1+m20,是 偶 数是 奇 数iie（3.4）这个关系意味着如果有 010，G 此时就有 0,GmZ 通过这种方式，我们可以得出： 222 20164sinhexp0,Gkxpylikcik （3.5）22224i 1exp10,licik （3,6）表示 21x,ik 22exp,ik216,a21,a21 14sinh,kbik2221
13、41,kk河南工程学院本科毕业设计 (论文)622,ka 224sinh1,kbikk 那么等式（3.5） - （3.6）简化为： 21120,axpylacb（3.7 ）l（3.8）解决系统，我们有 21212baxpyl（3.9）212c(3.10)系数 p，l 和 u 需要满足（3.8） ，并且比照着（3.2 ）和（2.2）给出单周期解。3.2 单周期波解的渐近性众所周知,2D Toda 格方程的的孤子解可以作为周期解的极限。为此，我们将expqi和极限写为 0q(或 )。定理 1 当 0时， （2.1）的周期解（3.1）倾向于通过（ 2.2）的孤子解。, 22224cosln4,1uxynxyfxpyl (3.11) 其中 22siipl，且 0ln 证明指出 exqi时，此时定义的量化在 q 的幂中扩展为：2816,a28218sinhsinh4,bqiqi2517,a1322528sinh4sinh,biqiq
