1、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 1y=1xyaO12x41ay2a高考函数压轴大题 宋苗珂整理1 已知函数 |lg,01,()6.2xf若 ,abc互不相等，且 ()(),fabfc则abc的取值范围是(A) (,0)(B) (5,) (C) (10,2) (D) (20,4)【答案】C 2 直线 1y与曲线 2yxa有四个交点，则 a的取值范围是 【答案】(1, 5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线 1y与曲线2yxa,观图可知，a 的取值必须满足,4a解得514.
2、3 定义域和值域均为 （常数 ）的函数 和 的图像如图所示，a,0xfyg给出下列四个命题：（1）方程 有且仅有三个解；0xgf（2）方程 有且仅有三个解；（3）方程 有且仅有九个解；xf（4）方程 有且仅有一个解。0g那么，其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 21.已知函数 5)(xf， m为正整数 ks5u（）求 01f和 )1()xf的值；（）若数列 na的通项公式为 na（ m,21 ） ，求数列 na的前 m项和mS；（）设数列 nb满足： 21， nnb2，设121nnT，若（）中的 mS满足对任意不小于 3
3、 的正整数n， 574nmS恒成立，试求 m 的最大值. ks5u解：（） 51)0(1f =1；)()xf= 51x= xx5=1；分（）由（）得 )1( )() mkfmkf ,即,1 1()kka,fkf由 m321maS , 得 a1m 由, 得 ,2)(m 45121)( fSm ，10 分（） ,1b)b(bnn21n,对任意的 0 *,nbN. ,)(nn1n 即 1nnb1. 111321 2)(1 nnnn bbT .书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 3 ,b,0bn12n1n 数列 n是单调递增数列. T关于 n 递增. 当 3, 且 N时, 3
4、T. 2567)1(6,12)4()2(, 41 b .75643bn ,573Sm .0m.而 为正整数， m的最大值为 650. 16 分2 已知函数 是奇函数.1()logaxfx(0,1)a（1）求实数 的值；（2）判断函数 在 上的单调性，并给出证明；f(,（3）当 时，函数 的值域是 ，求实数 与 的值(,)xn()x)an解：（1）由已知条件得对定义域中的 均成立. ()0ff1logl0aamxx即 对定义域中的 均成立.1mx 22即 （舍去）或 . 2 1（2）由（1）得 设 ，()logaxfx21xt x当 时，12x212121()t. 当 时， ，即12talogl
5、aatt2()fxf当 时， 在 上是减函数. ()fx,)同理当 时， 在 上是增函数.（3） 函数 的定义域为0(1()fx， ， . 在 为增函数，(1,)(,)2na01a,2na要使值域为 ，3 已知函数 ，当 时，恒有()lg,(1)xffabx1()lgfxx（1）求 的表达式；x（2）设不等式 的解集为 A，且 ，求实数 的取值范围。()lft(0,4t书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 4（3）若方程 的解集为 ，求实数 的取值范围。()lg8)fxmm解：（1） 当 时， 恒成立01(lgfxx，即 恒成立， 分2lllaxba2()()0abxa
6、b2又 ，即 ，从而 分()f21,lg1f4（2）由不等式 ，()lgft即 且 分lgl011xxt21x6由于解集 ，故 ， 分(0,4At7所以 即 ， 分2t8425tt8又因为 ，所以实数 的取值范围是 分tt(0,10（3）解法一：由 分2lgl(8)1xm228(6)1100xmxm或 12方程的解集为 ，故有两种情况：方程 无解，即 ，得 分28(6)x2814方程 有解，两根均在 内，0m1,02()()gxx则 分0(1)6m218026m或 17综合得实数 的取值范围是 分188（3）解法二：若方程有解，书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 5则
7、由 分2lgl(8)1xm22881100xxm或 由 2()08()1xxx当 则 ，1,()1g当且仅当 时取到 18 当 ，则 是减函数，所以32x0x()gx()0gx即 在 上的值域为 (,1)(0,)(,)18,)故当方程无解时， 的取值范围是 m04.已知函数 ，函数 的图像与函数log1afxxg324xya的图像关于直线 对称.1axy（1）求函数 的解析式；xg（2）若函数 在区间 上的值域为 ，3,2mnnpmpaa3log,3log求实数 的取值范围；p（3）设函数 ，试用列举法表示集合 .xgfaF1ZxFM（1）由 得 ，由已知可得,432yx 233(),4xay
8、（4 分）2log,.a（2） 在 上是单调递增的，又 ，23()4yx3x1a（或设 则,21,3,02121x2 12330xx书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 6， ）22133xx221,log3log3aaxx所以函数 在区间 上为增函数，因此 （6 分）g,mn.3log3log,3log3lo 22 npnnpaaaa 即 .,322 mnp所以 m、n 是方程 的两个相异的解. （8 分）,23,32xpx设 ，则 （10 分）263hxp64()039)32ph所以 为所求. （12 分）4156p另解：由 可转化为函数 图像与函23,2x 23,
9、62xy数 的图像有两个交点问题，数形结合求得： .y 415p（3） （14 分）2log1l323,2aaxxfxg xFa 当且仅当 时等号成立，,57117（16 分）,352,0132 xx， 有可能取的整数有且只有 1，2，3.457F当 时，解得 （舍去） ；132x,2x当 时，解得 （舍去） ；15书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 7当 时，解得 （舍去）.故集合 （18 分）312x34,2x 2,5M5.已知函数 )0()(tf和点 ) ,1(P，过点 作曲线 )(xfy的两条切线 PM、PN，切点分别为 M、 N（）设 )(tg，试求函数 )
10、(tg的表达式；（）是否存在 ，使得 、 与 1 ,0A三点共线若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数 n，在区间 64 ,2n内总存在 1m个实数 ma,21， 1，使得不等式 )()(121 magag 成立，求 的最大值解：（）设 M、 N两点的横坐标分别为 1x、 2，21)(xtf， 切线 P的方程为： )(1)(121xtxty，又 切线 P过点 )0,(， 有 )()(1211txt，即 21tx， （1） 2 分同理，由切线 N也过点 )0,1(，得 02tx（2）由（1） 、 （2） ，可得 2,x是方程 2t的两根，. 21tx（ *
11、 ） 4 分2121 )()( xttxMN )1()(221xtx)(4)( 212121 t，把（ * ）式代入,得 tN0,书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 8因此，函数 )(tg的表达式为 )0( 20)(tttg 5 分（）当点 M、 N与 A共线时， NAMk， 11x 012xt，即 21xt 2xt，化简，得 )()(21212 t，2， 1212)(t （3） 7 分把（*）式代入（3） ，解得 t存在 t，使得点 M、 N与 A三点共线，且 21t 9 分（）解法 1：易知 )(tg在区间 64,2n上为增函数，)2(nagi)1mi，则 )64
12、()(21 ngam 依题意，不等式 )64ng对一切的正整数 恒成立， 11 分)(2020( 20，即 )64()n(612m对一切的正整数 n恒成立， 4n， 31616)()( 22 ，316m由于 为正整数， 6 13 分又当 6时，存在 221maa ， 16，对所有的 n满足条件因此， 的最大值为 14 分解法 2：依题意，当区间 64,n的长度最小时，得到的 m最大值，即是所求值书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 9164n， 长度最小的区间为 16,2， 11 分当 ,2ia),(mi 时，与解法 相同分析，得 )16(2gm，解得 3m 6 设函数
13、 ()fx是定义域在 (0,)上的单调函数，且对于任意正数 ,xy有()fxyy，已知 21f.（1）求()2f的值；（2）一个各项均为正数的数列 na满足： ()(1)(*)nnnfSfafN，其中nS是数列 na的前 n 项的和，求数列 的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数 M，使12nn 12()a2() (1)na对一切 *N成立？若存在，求出 M 的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1） ()()fxyfy，令 x，有 ()()2ff， ()0f.再令12,，有12f， 1201ff，1（2） ()()nnfSfa()()nnaa,又 x是定义域 0,上单调函数， 0S
14、， 2，()2nnSa当 1n时，由 11()2Sa，得 1，当 n时， 11()nn由，得 11()()2nnnna，化简，得 210a， 11()0a， 0n， 1n，即 n，数列 n为等差数列. 1a，公差1d.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 10 1()(1)nadn，故 na. （3） 22! ， 12()(1)3(21)nan 令12()()nnnaba =!3()n,而11!23()1nn. 1()nbn2()3n=24813n， 1n，数列 b为单调递增函数，由题意 nMb恒成立，则只需 min()b=123b， 23(0,M，存在正数 ，使所给定的不等式恒成立， 的取值范围为(0,.13 分7.已知定义在 上的函数 满足：Rfx（1）值域为 ，且当 时， ；1,010fx（2）对于定义域内任意的实数 ，均满足： 1fmfnfn,xy试回答下列问题：（）试求 的值；0f（）判断并证明函数 fx的单调性；（）若函数 f存在反函数 ，求证：g211532gn分析与解：（）在 中，令 ，则fmnf0,n有 即： 也即：01fm 1ffmf20ff
