1、第 1 页 共 4 页相似三角形知识点与经典题型一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质： bcadcbacb2（2）合比定理： （3）等比定理： )0.(ndbandbmcandcba 3.黄金分割：如图，若 ，则点 P 为线段 AB 的黄金分割点ABP2其中 0.618 即51A简记为：2PBC512长 短 全 长注：黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形4平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形
2、的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4. 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比. （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.三角形中
3、位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式） ；、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似:位似位似 :如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
4、的距离之比等于位似比二、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：1 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中1=2，则ADEABC 称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”）（3） 如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、 “双垂直共角共边型（也称“射 影 定 理 型 ”） ”“三垂直型” ）(4)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：（1）若 DEBC（A 型和 X 型）则ADEABC（2）射影定理 若 CD 为 RtABC 斜边上的高（双
5、直角图形） 则 RtABCRtACDRtCBD 且 AC2=ADAB，CD 2=ADBD，BC 2=BDAB；EADCBEADCBA DCB（3）满足 1、AC 2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当 或 ADAB=ACAE 时，ADEACBAE三、 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义 (2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例” ， “比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“
6、竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 )(,为 中 间 比nmdcba,nmdcnba ), 或(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅
7、助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。（6） 对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形） “分离”出来的办法处理。经典例题透析1. 如图在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上（1）填空：ABC=_，BC=_（2）判定ABC 与DEF 是否相似？2. 如图所示，D、E 两点分
8、别在ABC 两条边上，且 DE 与 BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_，使得ADEABC3. 如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD的长为 1 米，继续往前走 2 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度等于（ ）A4.5 米 B6 米 C7.2 米 D8 米 EE1242(1)EAB CD(3)DB CAE (2)CD EABBA PEAB C(D)EA DCB_E _C_A_B_D第 2 页 共 4 页4. 如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加
9、工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？5.如图所示，在ABC 中，AB=AC=1，点 D、E 在直线 BC 上运动，设 BD=x，CE=y（1）如果BAC=30，DAE=105，试确定 y 与 x之间的函数关系式；（2）如果BAC 的度数为 ，DAE 的度数为 ，当 、 满足怎样的关系式时，（1）中 y 与 x之间的函数关系式还成立，试说明理由6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为 2m2m，若放映机的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好
10、布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答 三适时训练（一）精心选一选1梯形两底分别为 m、 n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ） （A） （B） （C） （D）nm2n22如图，在正三角形 ABC 中， D， E 分别在 AC， AB 上，且 ， AE BE，则A31（ ）（A） AED BED（B） AED CBD（C） AED ABD（D） BAD BCD3 P 是 Rt ABC 斜边 BC 上异于 B、 C 的一点，过点 P 作直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，满足这样条
11、件的直线共有（ ）（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条4如图， ABD ACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55如图， ABCD 是正方形， E 是 CD 的中点， P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 ABP 与 ECP 相似的是（ ）（A） APB EPC （B） APE90（C） P 是 BC 的中点（D） BP BC236如图， ABC 中， AD BC 于 D，且有下列条件：（1） B DAC90；（2） B DAC；（3） ；（4）ABCAB2 BDBC其中一定能够判定 ABC 是直角三角形的共有（ ）（A）3 个 （
12、B）2 个 （C）1 个 （D）0 个7如图，将 ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90，得 ABF，连结 EF 交 AB于 H，则下列结论中错误的是（ ）（A） AE AF （B） EF AF 1（C） AF2 FHFE （D）FB FC HB EC8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（ ）（A） ABE 的周长 CDE 的周长 BCE 的周长（B） ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积（C） ABE DEC（D） ABE EBC9如图，在 ABCD 中， E 为 AD 上一点， DE CE23，连结 AE、 BE、 BD，且AE、 BD
13、 交于点 F，则 S DEF S EBF S ABF等于（ ）（A）41025 （B）4925 （C）235 （D）252510如图，直线 a b， AF FB35， BC CD31，则 AE EC 为（ ） （A）512 （B）95 （C）125 （D）3211如图，在 ABC 中， M 是 AC 边中点， E 是 AB 上一点，且 AE AB，连结 EM 并41延长，交 BC 的延长线于 D，此时 BC CD 为（ ）（A）21 （B）32 （C）31 （D）5212如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD9 cm，宽 AB3 cm，将其折叠，使点 D 与点 B重合，那么折叠后 DE 的长和折
14、痕 EF 的长分别为（ ）（A）4 cm、 cm （B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm （D）5 10103cm、2 cm3（二）细心填一填13已知线段 a6 cm， b2 cm，则 a、 b、 a b 的第四比例项是_cm， a b与a b 的比例中项是_cm14若 m2，则 m_cc15如图，在 ABC 中， AB AC27， D 在 AC 上，且 BD BC 18， DE BC 交 AB 于E，则 DE_16如图， ABCD 中， E 是 AB 中点， F 在 AD 上，且 AF FD， EF 交 AC 于 G，则21AG AC_17如图， AB CD，图中共有_对相似三角形1
15、8如图，已知 ABC， P 是 AB 上一点，连结 CP，要使 ACP ABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件） 19如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE AC， EF BC， AB15， AF4，则 DE 的长等于_20如图， ABC 中， AB AC， AD BC 于 D， AE EC， AD18， BE15，则 ABC的面积是_21如图，直角梯形 ABCD 中， AD BC， AC AB， AD8， BC10，则梯形 ABCD面积是_22如图，已知 AD EF BC，且 AE2 EB， AD8 cm， AD8 cm， BC14 cm，则 S 梯形 AEFD S 梯形 BC
16、FE_(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的 1010 的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母） 24. 如图， ABC 中， CD AB 于 D， E 为 BC 中点，延长 AC、 DE 相交于点 F，求证 BCAF12题目第 3 页 共 4 页25. 如图，在 ABC 中， AB AC，延长 BC 至 D，使得CD BC， CE BD 交 AD 于 E，连结 BE 交 AC 于 F，求证AF FC26. 已知：如图， F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，
17、 EF BC， FG AD求证： 1ABECDG27. 如图， BD、 CE 分别是 ABC 的两边上的高，过 D 作 DG BC 于 G，分别交 CE 及BA 的延长线于 F、 H，求证：（1） DG2 BGCG；（2） BGCG GFGH28. 如图， ABC CDB90， AC a， BC b（1）当 BD 与 a、 b 之间满足怎样的关系时， ABC CDB？（2）过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 E，若 ABC CDB求证四边形 AEDC 为矩形（自己完成图形） 29. 如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF EC 交 AB 于 F，连结 FC（
18、 AB AE） （1） AEF 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设 k，是否存在这样的 k 值，使得 AEF BFC，若存在，BCA证明你的结论并求出 k 的值；若不存在，说明理由30. 如图，在 Rt ABC 中， C90， BC6 cm， CA8 cm，动点 P 从点 C 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 CA、 AB 运动到点 B，则从 C 点出发多少秒时，可使 SBCP S ABC？4131. 如图，小华家（点 A 处）和公路（L）之间竖立着一块 35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE） 广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点 A 的盲区，并
19、将盲区内的那段公路设为 BC一辆以 60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段 BC 的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是 40m，求小华家到公路的距离（精确到 1m） 32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于 O，试问：AOB 和DOC 是否相似？某学生对上题作如下解答：答：AOBDOC理由如下：在AOB 和DOC 中，ADBC， ，ADCBAOB=DOC，AOBDOC请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由33. 如图：四边形 ABCD 中，A=BCD=
20、90，过 C 作对角线 BD 的垂线交 BD、AD于点 E、F，求证： ；如图：若过 BD 上另一点 E 作 BD 的垂DAFC2线交 BA、BC 延长线于 F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？AB34. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下 2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m,窗口高 AB=1.8m,求窗口底边离地面的高 BC.35. （1）如图一，等边ABC 中，D 是 AB 上的动点，以 CD 为一边，向上作等边EDC，连结 AE。求证：AE/BC；（2）如图二，将(1)中等边ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形。所作EDC 改成相似于A
21、BC。请问：是否仍有 AE/BC？证明你的结论。第 4 页 共 4 页yxQPOBA37. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD = 1，P、Q 分别为 AD、BC 上两点，且AP=CQ，连结 AQ、BP 交于点 E，EF 平行 BC 交 PQ 于 F，AP、BQ 分别为方程的两根.（1）求 的值（2）试用 AP、BQ 表示 EF02nmxm（3）若 SPQE = ，求 n 的值838. 如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12cm，OB=6cm，点 P 从 O 点开始沿 OA 边向点 A 以 1cm/s 的速度移动：点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动
22、，如果 P、Q 同时出发，用 t(s)表示移动的时间（ ） ，06t那么（1）设POQ 的面积为 ，求 关于 的函数解析式。yt（2）当POQ 的面积最大时， POQ 沿直线 PQ 翻折后得到PCQ，试判断点 C 是否落在直线 AB 上，并说明理由。（3）当 为何值时， POQ 与AOB 相似？t39. 如图，矩形 PQMN 内接于 ABC，矩形周长为 24， AD BC 交 PN 于 E，且BC10， AE16，求 ABC 的面积40. 已知：如图， ABC 中， AB AC， AD 是中线， P 是 AD 上一点，过 C 作 CF AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F求证：
23、 BP2 PEPF类型六、综合探究9如图，ABCD，A=90，AB=2，AD=5，P 是 AD 上一动点(不与 A、D 重合)，PEBP，P 为垂足，PE 交 DC 于点 E， (1)设 AP=x，DE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 的取值范围；(2)请你探索在点 P 运动的过程中，四边形 ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由.10如图，在ABC 中，BC=2，BC 边上的高 AD=1，P 是 BC 上任意一点，PEAB 交 AC 于 E，PFAC 交 AB 于 F. (1)设 BP= ，PEF 的面积为 ，求 与 的函数解析式和 的取值范围
24、；(2)当 P 在 BC 边上什么位置时， 值最大.11. .已知 ， 是 的平分线将一个直角 的直角90AOBMAOBRPS顶点 在射线 上移动，点 不与点 重合.PP（1）如图，当直角 的两边分别与射线 、 交于点 、 时，请判RSCD断 与 的数量关系，并证明你的结论；CD（2）如图，在（1）的条件下，设 与 的交点为点 ，且 ，CDG32求 的值；GO（3）若直角 的一边与射线 交于点 ，另一边与直线 、直线 分RPSOBOAB别交于点 、 ，且以 、 、 为顶点的三角形与 相似，请画出示CEPDEOCD意图；当 时，直接写出 的长.1ORBPCADOGSM12如图，在平面直角坐标系
25、xOy 中，已知点 A（4，0） ，点 B（0，3） ，点 P 从点B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 Q 从点 A 出发沿AO 方向向点 O 匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，连结 PQ若设运动的时间为t 秒（0 t2） （1）求直线 AB 的解析式；（2）设 AQP 的面积为 y，求 与 t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 AOB 的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由；（4）连结 PO，并把 PQO 沿 QO 翻折，得到四边形 PQO，那么是否存在某一时刻 t，使四边形 PQO为菱形？若存在，请求出此时点 Q 的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由O P A XYBQ
