1、1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的 1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？3. 一人早上 6：00 从山脚 A 上山，晚 18：00 到山顶 B；第二天，早 6：00 从 B 下山，晚 18：00 到 A。问是否有一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4. 如何将一个不规则的蛋糕 I 平均分成两部分？5. 兄妹二人沿某街分别在离家 3 公里与 2 公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥
2、哥的速度为 3 公里/小时，妹妹的速度为 2 公里/小时，狗的速度为 5 公里/ 小时。分析半小时后，狗在何处？6. 甲乙两人约定中午 12：00 至 13：00 在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待 10 分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7. 设有 n 个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。8. 一角度为 60 度的圆锥形漏斗装着 10 厘米高的水（如右图） ，其下端小孔的面积为 0.5 平方厘米，求这些水流完需要多少时间？9. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个 1/10
3、0 的斜10cmQ/L0q/x1x v v01q/xxq0,而设语雨速为（x,y,z ）,行走距离为 L，则淋雨量 Q 的表达式为：Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v记 q=a|x|+b|z|,则L( ),vx1qvxQ(v)=L( +1),vx在 qx 和 qx-t/10周收回书的 1/10，设教授已借出书的册数是时间 t 的函数小 x(t)的函数，则它应满足（时间 t 以周为单位）其 中 初 始 条 件 表 示 开 始 时 教 授 借 出 数 的 册 数 为0。解 该 线 性 方 程 初 始 问 题 得 X(t) =701- et0由 于 当 t 时 ， 其 极 限 值 为
4、70,故 在 充 分 长 的 时 间 内 ， 一 位 普 通 教 授 大约 已 借 出 70 本 书 。3.解 ： 我 们 从 山 脚 A 点 为 始 点 记 路 程 ， 设 从 A 到 B 路 程 函 数 为 f（ t） ,即 t 时 刻 走 的 距 离 为 f（ t） ;同 样 设 从 B 点 到 A 点 的 路 程 为 函 数 g（ t） 。 由 题 意有f(8)=0,f(18)=|AB|， g（ 8） =|AB|， g（ 18） =0；令 h（ t） = f（ t） -g（ t） ， 则 有 h(8)= f(8) - g（ 8） =- |AB|0又 注 意 f（ t） ， g（ t）
5、都 是 时 刻 t 的 连 续 函 数 ， 因 此 h（ t） 也 是 时 刻 t 的 连 续 函数 ， 由 连 续 函 数 的 介 质 定 理 ， 一 定 存 在 某 时 刻t。 使 h（ t。 ） =0， 即 f（ t。 ）=g（ t。 ）所以存在一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点。4.解：设 I 为平面上任一封闭曲线，p 为平面上一点（不妨设 p 在 I内） ，则存在已过点 p 的直线，将 I 所围的面积二等分，如下图X(0)=0aS1S2lp0设 l 为过点 p 的一条直线，若 S1= S1，则得证，否则设 S1 S2,l 与x 轴夹角为 a，让 l 逆时针绕 p 旋转 S2
6、 ，S2，则 S1，S2 随 a 的变化连续的变化，记其面积为 S1a） ，S2（a）,则记 S1（a）= S1, S2（a）= S2,f(a+)0,且 f（a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，）存在 使 f（）=0，a= 对应的直线即为所求。5解：哥哥与妹妹的速度分别为 3 公里/小时及 2 公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。6解：设甲乙两人分别在 12 点 x 分及 y 分等可能到达到达约定地点，显然 0x60,0y60，若两人相遇则有|x-y|10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为 A=（x，y）|x60,0y60它构成了空间直角标
7、系中的正方形，相遇空间为yx060601010gaG=（x，y）, |x-y|10其图形见上图阴影部分，Sa，Sg 分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为 P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0.3067. 证明：设第 i 个人认识的人为 s（i） ，则 s（i）0.1.2.3N-1设没有两个人认识的人一样多，则 s（1） ，s（2） ，互不相等，则 s（i）取遍集合0、1、2N-1中的一个值，即至少存在某两个人 k1，k2 使 s（k1）=N-1，s（k2）=0，而对第 ki 个人，由于（ki）=N-I，故他必然认识第 k2 人，故 s（k）至少为
8、 1，与s（k2）=0 矛盾，得证。8解：由水力学定律可知 Q=dv/dt=0.62S ，其中 0.62 为流量gh2系数 S 为空口横截面，g 为重力加速度，h 为从从空口到水面的高度，故有 dv=0.31 dt，2另一方面，在t 时间内，水面由 h 降至 h+dh（dh0）,则仅有dv=-r*r*dh=-/3*h*h*dh, 所以有 0.31 dt=-/3*h*h*dh，gh2再由 h(0)=10,联立求得其解为t=(/3)*(2/5)*1/(0.31 ( - ,当水流完时，h=0，g25.10.2解得 t=2/(15*0.31 )* .9解：设 t=0 时为开始刹车的时刻，x（t）为从
9、t=0 到 t 时刻所幸的距离，由刹车时所受的制动力为-uW -W*10*1，其中 W 为车重，故 x（t）满足 *d（dt/dt）/dt=-10*1 gwuW -W* 10*1又由 x（0）=0，dx/dt|t=0=v。解得 x（t）=-1/2（ + ） +v。*tug10*gt2故制动时间为tb=v。/( + )10*10ug10*g因此刹车距离为x(tb)=1/2* v。/( + )00同理可得汽车由西驶来时，刹车距离为 1/2* v。/(+ )10*10ug1*g10.解：假设管道是直的圆的、粗细一样，带子宽度一样。参数宽为 W，圆管周长为 C，缠绕角度为 a,Ca则 W=C*sina；a=arcsin(w/c)当管道长为 l，按上述方式包扎需要的带孔为 L，此时管道表面积与带子总面积为 L*W，则L*W，则 L*W-l*C=W* Wc2即 L= （W* +l*C）/w2
