1、阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 1 页 共 19 页 高等数学上册第一章 函数与极限、 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 在 连续 )(xf0 )()(lim00xffx第一类：左右极限均存在。间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。、 极限1、 定义1、 数列极限 阿樊教育 永不
2、改变年轻时的梦想第 2 页 共 19 页 axNnax nn , ,0lim2、 函数极限 AxfxxAxfx )( 0 , ,0)(li 00 、左极限： 右极限：)(lim)(00xfxfx )(lim)(00xfxfx)()( )(lim000 ffAfx、2、 极限存在准则1、 夹逼准则：1） )(0nzxynn2） annlimli axnlim2、 单调有界准则：单调有界数列必有极限。3、 无穷小（大）量1、 定义：若 则称为无穷小量；若 则称为无穷大0limlim量。2、 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 阶无穷小kTh1 ;)(o阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第
3、 3 页 共 19 页 Th2 （无穷小代 limli lim,、换）4、 求极限的方法1、 单调有界准则；2、 夹逼准则；3、 极限运算准则及函数连续性；4、 两个重要极限：a) b)1sinlm0xx exxx )1(li)(li05、 无穷小代换：（ ）0a) xxxx arctnarcsintnsib) 21co1c) （ ）xexaxaxln1d) （ ）)1ln(xal)(loge) xx第二章 导数与微分阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 4 页 共 19 页 、 导数1、 定义： 00)()(lim)(0xffxfx左导数： 00)()(li)(0fffx右导数： 00)()(l
4、i)(0xfffx函数 在 点可导xf )()(0xff2、 几何意义： 为曲线 在点 处的切线的)(0y)(,0f斜率。3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1、 导数定义；2、 基本公式；3、 四则运算；4、 复合函数求导（链式法则）；5、 隐函数求导数；6、 参数方程求导；7、 对数求导法。5、 高阶导数阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 5 页 共 19 页 1、 定义： dxydxy22、 Leibniz 公式： nkknkvuCuv0)()(、 微分1、 定义： ，其中 与)()()(00 xoAxfxfy A无关。x2、 可微与可导的关系：可微 可导，且dxfxfdy)()(00
5、第三章 微分中值定理与导数的应用、 中值定理1、 Rolle 定理：若函数 满足：)(xf1） ； 2） ； 3） ；,)(baCxf),(baDf)()(bfaf则 .0)(),(f、2、 Lagrange 中值定理：若函数 满足：)(xf1） ； 2） ；,)(baCxf),baD则 .)()()() afff 、阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 6 页 共 19 页 3、 Cauchy 中值定理：若函数 满足：)(,xFf1） ； 2） ；3）,)(,baCxFf ),()(,baDxf0)(则 )()(, FfabFffa、 洛必达法则1、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
6、、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 :、 、 xx420tancos1lim2、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 nnba2lim、 、阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 7 页 共 19 页 、 Taylor 公式阶 Taylor 公式：n 10)1(00)( 200000 )(!)(! )(!2)()( nnnn xfxf xffxff 在 与 之间.0x当 时，成 为 阶 麦克劳林公式：n 1)1()(2 !0!)0(!1)0()()( nnnn xfxfxf
7、xffxf 在 与 之间.0x常见函数的麦克劳林公式：1）12 )!(!1!1 nnx xexxe 阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 8 页 共 19 页 在 与 之间， ；0xx2） 12121753 )!12(sin)!()(!sin mm xxxx 在 与 之间， ；0xx3） mmxxxx 221642 )!2(cos)!()(!1cos 在 与 之间， ；0xx4） 11432 )()()1ln( nnxx 在 与 之间，0xx5） nxnxxxx !)1()1(!3)2(1!2)1(1)( 32 阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 9 页 共 19 页 ，1)!1()()( nxn在
8、 与 之间， .0xx、 单调性及极值1、 单调性判别法： ， ，则若,)(baCxf),()(baDxf，则 单调增加；则若 ，则 单0)(xf 0 )(xf调减少。2、 极值及其判定定理：a) 必要条件： 在 可导，若 为 的极值点，则)(xf00x)(f.0)(xfb) 第一充分条件： 在 的邻域内可导，且 ，则)(xf0 0)(xf若当 时， ，当 时， ，则0x 0x为极大值点；若当 时， ，当 时，0 0x)(f 0x，则 为极小值点； 若在 的两 侧 不变)(xf0x0x)(f号，则 不是极值点。0c) 第二充分条件： 在 处二阶可导，且 ，)(xf0 0)(xf，则)(0xf若
9、 ，则 为极大值点；若 ，则0x)(0xf为极小值点。0x阿樊教育 永不改变年轻时的梦想第 10 页 共 19 页 3、 凹凸性及其判断，拐点1） 在区 间 I 上连续 ，若 ，)(xf 2)()()2( , 1121 xffxfIx则称 在区 间 I 上的图形是凹的；若f，则称 在区间 I 上的2)()()2( , 1121 xffxfIx )(xf图形是凸的。2）判定定理： 在 上连续，在 上有一阶、二阶导数，则)(xf,ba),(baa) 若 ,则 在 上的图形是凹的；0)(,fxfb) 若 ,则 在 上的图形是凸的。(xx)(,3）拐点：设 在区 间 I 上连续， 是 的内点，如果曲线)fy0x)(f经过 点 时，曲线的凹凸性改变了，则称点)(xf )(,00xf为曲线的拐点。,00、 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）。、 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；
