1、一元二次不等式及其解法【知识梳理】1一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2bxc 0( 0)或 ax2bxc 0( 0)(其中 a0) 的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的 x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式 b 24ac 0 0 0)的根有两相异实根x1，x 2，(x 1x 2)有两相等实根x1x 2b2a 没有实数根二次函数yax 2bxc (a0)的图象ax2bxc0(a
2、0)的解集Error!或 xx2 x|x b2aRax2bxc0)的解集x|x10；(2)x 27x6.(3)(2x)(x3)x (4x)解：(1)方程 x25x60 的两根为 x11，x26.结合二次函数 yx 25x 6 的图象知，原不等式的解集为 x|x6(2)原不等式可化为 x27x60.方程(x 2)(x3)0 两根为 2 和3.结合二次函数 y( x2)(x3)的图象知，原不等式的解集为 x|x2(4)由原不等式得 8x28x44xx 2.原不等式等价于 9x212x40.解方程 9x212x 40，得 x1x 2 .23结合二次函数 y9x 212x 4 的图象知，原不等式的解集
3、为 x|x .23题型二、解含参数的一元二次不等式【例 2】 解关于 x 的不等式 x2(1 a)xa0.解 方程 x2(1 a)x a0 的解为 x11，x 2a，函数 yx 2(1 a)xa 的图象开口向上，则当 a1 时，原不等式解集为x|ax1 ；当 a1 时，原不等式解集为；当 a1 时，原不等式解集为x|1xa【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论【对点训练】2解关于 x 的不等式：ax 2
4、(a1)x10(aR )解：原不等式可化为：(ax1)(x1)0，当 a0 时，x1，当 a0 时 (x1)0(x 1a) x1.1a当 a1 时，x1，当1a0 时， (x1) 0，(x 1a)x 或 x1.1a当 a1 时， 1，1ax 1 或 x ，1a综上原不等式的解集是：当 a0 时，x| x1；当 a0 时， ；x| 1a x 1当 a1 时，x| x1；当1a0 时，.x|x 1或 x 1a当 a1 时， ，x|x 1a或 x 1题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例 3】 已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为x|1x2，求关于 x 的不等式bx2ax10 的
5、解集解 x 2axb0 的解集为 x|1x2，1,2 是 x2axb0 的两根由韦达定理有Error!得Error!代入所求不等式，得 2x23x10.由 2x23x10(2x 1)(x1)0x 或 x1.12bx2ax10 的解集为 (1，) ( ，12)【类题通法】1一元二次不等式 ax2bx c 0( a0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2bxc0的根，也是函数 yax 2bx c 与 x 轴交点的横坐标2二次函数 yax 2bx c 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的，
6、三者之间相互依存、相互转化【对点训练】3已知方程 ax2bx 20 的两根为 和 2.12(1)求 a、b 的值；(2)解不等式 ax2bx10.解：(1)方程 ax2bx 20 的两根为 和 2，12由根与系数的关系，得Error!解得 a2，b3.(2)由(1)知，ax 2bx10 可变为2x 23x10，即 2x23x10，解得 x1.12不等式 ax2bx10 的解集为 x| x112【练习反馈】1不等式 x(2x)0 的解集为( )A x|x0 Bx| x2Cx| x2 或 x0 D x|0x2解析：选 D 原不等式化为 x(x2) 0，故 0x2.2已知集合 Mx |x23x280
7、，Nx|x 2x60，则 MN 为( )A x| 4x2 或 3x7Bx| 4x2 或 3x7Cx| x2 或 x3D x|x2 或 x3解析：选 A Mx |x23x280x| 4x 7，Nx| x2x60x |x2 或 x3，MNx|4x2 或 3x73二次函数 yx 24x 3 在 y0 时 x 的取值范围是_解析：由 y0 得 x24x 3 0，1 x 3答案：(1,3)4若不等式 ax2bx 20 的解集为 ，则实数 a_，实数x| 12 x 2b_.解析：由题意可知 ，2 是方程 ax2bx20 的两个根12由根与系数的关系得Error!解得 a2，b3.答案：2 35解下列不等式：(1)x(7x) 12；(2)x22(x1)解：(1)原不等式可化为 x27x120，因为方程 x27x120 的两根为x13，x 24，所以原不等式的解集为x|3 x4(2)原不等式可以化为 x22x20，因为判别式 4840，方程 x22x20 无实根，而抛物线 yx 22x2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
