1、一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师准备知识回顾 ：1、一元二次方程 的求根公式为)0(2acbxa。4(bx2、一元二次方程 根的判别式为：)(2cx acb42（1） 当 时，方程有两个不相等的实数根。0（2） 当 时，方程有两个相等的实数根。（3） 当 时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识1 若一元二次方程 有两个实数根 ，那么 )0(2acbxa 21x和 21x， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的21x关系，简称韦达定理。2、如果一元二次方程 的两个根是 ，则 02qpx21x
2、和 21x， 。21x3、以 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是和 0)(212124、在一元二次方程 中，有一根为 0，则 ；有一)0(acbxa c根为 1，则 ；有一根为 ，则 ；若两根1ba互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。c5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式 的因式时，如果可用公式求出方程 cbxa2的两个根 ，那么 如)0(2cbxa21和 )(212 xacbxa果方程 无根,则此二次三项式 不能分解.基础运用例 1：已知方程 的一个根是 1，则另一个根是 ， 02)1(32xk k。解：变式训练：1、已知 是方程 的一个根，则另一根和 的值分别是多少
3、？1x023kxk2、方程 的两个根都是整数，则 的值是多少？062kk例 2：设 是方程 ，的两个根，利用根与系数关系求下列各21x和 0342x式的值：（1） （2） （3） （4）2)1(21 21x21)(x变式训练：1、已知关于 的方程 有实数根，求满足下列条件的 值：x0132kx k（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于 2。2、已知关于 的方程 。x02ax（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2） 取何值时，方程有两个正根。a（3） 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（4） 取何值时，方程到少有一根为零
4、？选用例题：例 3：已知方程 的两根之比为 1：2，判别式的值为 1，则)0(2acbxa是多少？ba与例 4、已知关于 的方程 有两个实数根，并且这两个根x05)2(2mx的平方和比两个根的积大 16，求 的值。例 5、若方程 与 有一个根相同，求 的值。042mx02xm基础训练：1关于 的方程 中，如果 ，那么根的情况是（ ）x012xa0a（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定2设 是方程 的两根，则 的值是（ ）21,x0362x21x（A）15 （B）12 （C）6 （D）33下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A） 2y2+5=
5、6y（B）x 2+5=2 x（C） x2 x+2=0（D）3x 22 x+1=05 3 2 64以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A） y2+5y6=0 （B）y 2+5y6=0 （C）y 25y6=0 （D）y 25y6=05如果 x1，x 2是两个不相等实数，且满足 x122x 11，x 222x 21，那么 x1x2等于（ ）（A）2 （B）2 （C）1 （D）16.关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根 （D）不能确定7.设 x1，x 2是方程 2x26
6、x30 的两根，则 x12x 22的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）38如果一元二次方程 x24xk 20 有两个相等的实数根，那么 k 9如果关于 x 的方程 2x2(4k+1)x2 k210 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 10已知 x1，x 2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x 2 ，x 1x2 ， （x 1x 2） 2 11若关于 x 的方程(m 22)x 2(m2)x10 的两个根互为倒数，则 m .二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2x=5 (2)9x 26 +2=0 (3)x2x+2=022、当 m= 时，方程 x
7、2+mx+4=0 有两个相等的实数根；当 m= 时，方程 mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、已知关于 x 的方程 10x2(m+3)x+m7=0，若有一个根为 0，则 m= ， 这时方程的另一个根是 ；若两根之和为 ，则 m= ，这时方程的 35两个根为 .4、已知 3 是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根及 m 的值。25、求证：方程(m 2+1)x22mx+(m 2+4)=0 没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 和 1+ 。5 57、设 x1,x2是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+
8、1) (2) + （3）x 12+ x1x2+2 x1x2x1 x1x28、如果 x22(m+1)x+m 2+5 是一个完全平方式，则 m= ;9、方程 2x(mx4)=x 26 没有实数根，则最小的整数 m= ;10、已知方程 2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则 m= ;11、设关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根是 m 和 n，且 3m+2n=20，则 k 值为 ; 12、设方程 4x27x+3=0 的两根为 x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1x 2 （3） （4）x 1x22 x1211213、实数、分别满足方程 19
9、29910 和且 1999 20 求代数式 的值。 4 114、已知 a 是实数，且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1 (a2x2a 21)=0 有无实根？1215、求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子(x1)(x2)k 2都可以分解成两个一次因式的积。16、实数 K 在什么范围取值时，方程 有实数正根？0)1()(2kxkx训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、若方程 x2(2m1)x+m 2+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是
10、;3、一元二次方程 x2+px+q=0 两个根分别是 2+ 和 2 ，则 p= ,q= ;3 34、已知方程 3x219x+m=0 的一个根是 1，那么它的另一个根是 ，m= ;5、若方程 x2+mx1=0 的两个实数根互为相反数，那么 m 的值是 ;6、m,n 是关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 的两个实数根，则代数式 mn= 。7、已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6，求 k 的值;8、如果 和 是方程 2x2+3x1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一 元二次方程，使它的两个根分别等于 + 和 + ;1 19、已知 a,b
11、,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式 2x2(4k+1)x+2k 21 可因式分解.11.已知关于 X 的一元二次方程 2 22（3）10 的两实数根为,，若 ，求的取值范围。1 1训练（二）1、已知方程 x23x+1=0 的两个根为 ,，则 += , = ;2、如果关于 x 的方程 x24x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同，则 m 的值为 ;3、已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ;124、若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a= ;5、方程 4x22(a-b)xab=0 的根的判别式的值是 ;6、若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m 2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;7、已知 p0,q0，则一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情况是 ;8、以方程 x23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：
