1、1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD ，点M在线段PB上， PD平面MAC，PA=PD= ，AB=4 （1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC 与平面BDP所成角的正弦值【分析】（1）设ACBD=O ，则O为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OMPD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点 G，可得PGAD，再由面面垂直的性质可得PG平面ABCD，则PGAD，连接 OG，则PG OG ，再证明OGAD 以 G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x 、y、z轴距离空间直角坐标系，求出
2、平面 PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B PDA的大小；（3）求出 的坐标，由 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面 BDP所成角的正弦值【解答】（1）证明：如图，设ACBD=O，ABCD为正方形，O为 BD的中点，连接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD 平面AMC=OM，PDOM ，则 ，即M为PB的中点；（2）解：取AD 中点G，PA=PD， PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面 PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，则PG AD，连接OG，则PGOG，由G是AD的中点， O是AC 的中点，可得OGDC ，则
3、 OGAD以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y 、z 轴距离空间直角坐标系，由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A （2，0，0），P（0，0， ），C （2，4 ，0 ），B（2，4 ，0 ），M（1，2， ）， 设平面PBD的一个法向量为 ，则由 ，得 ，取z= ，得 取平面PAD的一个法向量为 cos = = 二面角BPDA的大小为60；（3）解： ，平面BDP 的一个法向量为 直线MC与平面 BDP所成角的正弦值为|cos |= | |=|= 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题2如图，在三棱锥PABC中，PA底面AB
4、C ，BAC=90 点D，E ，N分别为棱PA，PC，BC的中点， M是线段 AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角CEM N的正弦值；（）已知点H在棱PA 上，且直线NH 与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长【分析】（）取AB中点 F，连接MF、NF ，由已知可证MF 平面BDE ，NF平面BDE得到平面 MFN平面 BDE，则MN平面BDE；（）由PA 底面ABC ，BAC=90可以A 为原点，分别以AB、AC 、AP所在直线为x、y 、z 轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C EMN的余
5、弦值，进一步求得正弦值；（）设AH=t，则H（0，0，t ），求出 的坐标，结合直线 NH与直线BE所成角的余弦值为 列式求得线段AH的长【解答】（）证明：取AB中点F ，连接MF、NF ，M为 AD中点，MFBD，BD平面BDE ，MF 平面BDE，MF平面BDEN为BC中点，NFAC，又D、E分别为 AP、PC的中点，DEAC，则NFDEDE平面BDE ，NF 平面BDE，NF平面BDE又MF NF=F平面MFN 平面BDE ，则 MN平面BDE ；（）解：PA底面ABC，BAC=90以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x 、y、z轴建立空间直角坐标系PA=AC=4， AB=2，A
6、（0，0 ， 0），B（2 ，0，0），C（0，4，0）， M（0，0，1），N（1，2，0），E（0 ， 2，2 ），则 ， ，设平面MEN 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取z=2 ，得 由图可得平面CME的一个法向量为 cos = 二面角CEMN的余弦值为 ，则正弦值为 ；（）解：设AH=t，则H（0，0，t ）， ， 直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，|cos |=| |=| |= 解得：t= 或t= 当H 与 P重合时直线 NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为或 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题3如图，几何体
7、是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是 的中点（）设P是 上的一点，且 APBE ，求CBP的大小； （）当AB=3，AD=2时，求二面角E AGC的大小【分析】（）由已知利用线面垂直的判定可得BE平面ABP，得到BEBP，结合EBC=120 求得CBP=30； （）法一、取 的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM ，CM ，EC ，得到EM AG ，CMAG，说明EMC 为所求二面角的平面角求解三角形得二面角E AGC的大小法二、以B为坐标原点，分别以 BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立
8、空间直角坐标系求出A，E，G， C的坐标，进一步求出平面 AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E AGC的大小【解答】解：（）APBE，AB BE，且AB，AP平面ABP ，ABAP=A，BE 平面ABP，又BP 平面ABP ，BE BP ，又EBC=120，因此CBP=30； （）解法一、取 的中点H，连接EH ，GH，CH，EBC=120 ，四边形BECH为菱形，AE=GE=AC=GC= 取AG中点M ，连接EM ，CM，EC ，则EMAG， CMAG，EMC 为所求二面角的平面角又AM=1，EM=CM= 在BEC中，由于EBC=120 ，由余弦定理得：EC
9、2=22+22222cos120=12， ，因此 EMC为等边三角形，故所求的角为60 解法二、以B为坐标原点，分别以 BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题意得：A（0，0，3），E （2，0，0），G （1， ，3），C （1， ，0），故 ， ， 设 为平面AEG的一个法向量，由 ，得 ，取z 1=2，得 ；设 为平面ACG的一个法向量，由 ，可得 ，取z 2=2，得 cos = 二面角EAGC 的大小为60【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题4如图，在以A，B，C ，D，E ，F为顶点的
10、五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角D AFE与二面角C BEF都是60 （）证明平面ABEF平面EFDC ；（）求二面角EBC A的余弦值【分析】（）证明AF平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF平面EFDC；（）证明四边形EFDC为等腰梯形，以 E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角EBCA的余弦值【解答】（）证明：ABEF为正方形，AFEF AFD=90，AFDF ，DFEF=F ，AF平面EFDC，AF平面ABEF，平面ABEF平面EFDC；（）解：由AFDF，AFEF，可得DF
11、E为二面角DAFE的平面角；由ABEF为正方形，AF平面EFDC ，BE EF ，BE 平面EFDC即有CEBE，可得CEF为二面角 CBEF的平面角可得DFE= CEF=60ABEF，AB平面EFDC ，EF平面EFDC，AB平面EFDC，平面EFDC平面ABCD=CD，AB 平面ABCD，ABCD，CDEF，四边形EFDC为等腰梯形以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E （0 ，0 ， 0），B（0 ， 2a，0），C（ ，0， a），A （2a，2a，0）， =（0，2a，0）， =（ ， 2a， a）， =（2a，0，0）设平面BEC的法向量为 =（x 1，y 1，z 1
12、），则 ，则 ，取 =（ ，0，1）设平面ABC的法向量为 =（x 2，y 2，z 2），则 ，则 ，取 =（0， ，4）设二面角EBC A的大小为，则cos= = ，则二面角EBC A的余弦值为 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键5如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF= ，EF交于 BD于点H，将DEF沿EF 折到DEF的位置，OD=（）证明：DH 平面ABCD ；（）求二面角BDAC的正弦值【分析】（）由底面ABCD为菱形，可得AD=
13、CD，结合AE=CF可得EFAC，再由ABCD是菱形，得ACBD，进一步得到EFBD，由EF DH，可得EFDH，然后求解直角三角形得DH OH，再由线面垂直的判定得DH平面ABCD；（）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到 的坐标，分别求出平面 ABD与平面ADC 的一个法向量，设二面角二面角B DAC的平面角为 ，求出 |cos|则二面角B DAC的正弦值可求【解答】（）证明：ABCD是菱形，AD=DC，又AE=CF= ， ，则EFAC ，又由ABCD是菱形，得ACBD，则EFBD，EF DH ，则 EFDH ，AC=6，AO=3，又AB=5，AOOB，OB=4，OH= =1，则DH=DH=3，|OD |2=|OH|2+|DH|2，则 DHOH，又OHEF=H，DH平面 ABCD；（）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，AB=5，AC=6，B（5，0，0），C （1， 3，0），D （0，0，3），A（1，3，0）， ，设平面ABD的一个法向量为 ，
