1、时滞电力系统中的 LMI 判据李晓萌 1013203012摘要：本文对时滞电力系统建模、求解方法和技巧进行了总结。如今电力系统全国联网，成为一个整体。采用广域测量技术进行管理和控制成为必要的措施。然而，电力系统范围广、时滞大、控制方式复杂，容易产生运行不稳定等问题，如何采取有效的方法得以解决是我们当前面临的问题。采用广域信息可有效提高大型互联系统的动态性能，由于距离远，信号传输的延迟不可忽略。考虑信号时滞的电力系统可以看作一个时滞动力系统，本文首先介绍了时滞动力系统的模型以及时滞动力系统的稳定性；然后将计及广域信号时滞的电力系统建模为时滞微分代数方程组并分析了其小扰动稳定性。本文总结了已有的电
2、力系统时滞模型，和能量函数形式，并用不同的方法进行解决，最后对未来主要工作进行了总结。关键字：电力系统；时滞；能量函数；稳定性判据0 引言在自然界中，系统状态的未来发展趋势往往既取决于当前运行状态，也与过去的状态直接相关，这类现象称为时滞现象 l。时滞现象在电力系统中普遍存在。传统电力系统的控制器往往只基于本地信号进行控制，量测和通信环节中的延时很小，对系统稳定性分析和控制效果的影响也较小，在研究中一般都忽略时滞环节的影响。随着现代大型互联电网的建立，电力系统的网络结构与动态行为更加复杂，传统的沿用局部信息的电力系统控制和保护设计方法将无法满足超大规模电力系统振荡抑制、系统保护和动态安全防御的
3、要求。采用同步相量测量和现代通信技术，建立广域测量系统，利用全局信号来设计电力系统保护与控制是解决方法之一。而广域测量信息中存在明显的延时，不能完全忽略，因此研究广域信号的时滞对电力系统稳定性的影响，具有十分重要的现实意义。考虑广域信号时滞影响的电力系统是一个时滞动力系统，可以建模为时滞微分代数方程组，通过分析其特征根在复平面的位置可以研究广域信号的时滞对电力系统小扰动稳定性的影响。1 时滞电力系统具有时滞的动力系统广泛存在于超大规模电路设计、信号处理、网络与通信、神经网络、生物环境与医学、建筑结构、化工过程、反馈控制系统、冶金过程以及经济、机械工程等各个科学和工程领域。由于时滞动力系统的解空
4、间是无限维的，其理论分析往往非常困难。长期以来，时滞动力系统的分析和综合一直是数学、控制以及工程应用领域研究的热点和难点问题。按照不同的分类标准，时滞动力系统可以分为不同的类型。例如，单时滞和多时滞系统，线性和非线性时滞系统，连续时滞系统!离散时滞系统以及混合时滞系统，确定性时滞和随机性时滞系统，时变和时不变时滞系统，集中参数和分布参数时滞系统等等。时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。2 时滞电力系统模型标称时滞系统模型为：(2.1),0dttthxAx其中： 为状态变量； 为控制输入； 为系统恒定时滞；初nxtAmut 始条
5、件 为连续可微向量函数； ， 为恒定系统矩阵。1,nCAnmB中立时滞系统模型为：(2.2)1,0,0tttttxCxA中立时滞系统为系统的状态和状态的导数都含有时滞的电力系统。由式(2.1)和式 (2.2)可知，时滞电力系统的数学模型是时滞微分方程，它是一类泛函微分方程 3，和常微分方程所描述的动力系统不同，时滞动力系统的演化趋势不仅依赖于系统的当前状态，还依赖于系统在过去某一个时间段的状态量。由于时滞的出现，系统在平衡点附近的线性近似系统的特征方程就由一般的有限次多项式代数方程变为超越方程。特征根也由有限个变为无限多个，解空间也成为无限维。3 时滞电力系统的稳定性判据讨论时滞系统的稳定性主
6、要有频域和时域两种方法。3.1 频域方法当 时，系统 (2.1)为无时滞系统，频域方法对于这类系统的讨论非常成0h熟。众所周知，这类系统稳定的充要条件是 。当 时，很自然0dAh地想到也用频域方法来讨论这类系统的稳定性，得到的结论是：系统(2.1)稳定的充要条件是特征方程(3.1)det 0hdf eI的根均具有负实部。然而，方程(3.1)是一超越方程，求解并不容易，并且当系统存在不确定性以及时滞随时间变化时，求解非常困难。因此，用频域方法研究时滞系统的稳定性具有较强的局限性。3.2 时域方法时域方法主要思想是通过构造一个合适的 Lyapunov-Krasovskii 泛函或Lyapunov
7、函数，获得系统(2.1) 稳定的充分条件，这一方法具有非常重要的理论意义。用 Lyapunov 能量函数分析时滞系统稳定性有两类充分条件：一类条件独立于时滞大小，即与时滞大小无关，即被视为时滞无关条件。例如，Lyapunov-Krasovskii 泛函取为(3.2)1, tt hVxtsds P xQ x其中 ， 均为正定对称矩阵。对 沿系统(2.1)求导数并0P0Q1,tV令其小于零，即得到系统(2.1)稳定的时滞无关条件为(3.3)0ddAPAQ不等式(3.3)关于矩阵变量 、 是线性的，因此称为线性矩阵不等式，简称为LMI。利用 MATLAB 的 LMI 工具箱，如果 LMI(3.3)关
8、于矩阵变量 和 有解，PQ则知系统(3.1) 是渐进稳定的。时滞无关条件不含时滞信息，对于小时滞系统，这类条件具有较强的保守性。于是人们开始关注时滞相关条件。在(3.2)中增加一个二次型双积分项，即(3.4)02, t tt hhVxtsdssds P xQ xxR 对 求导，得到1t(3.5)2, tdt hdtx ssth ARPAxx由于增加了二重积分项，可以看出能量函数的导数与时滞相关，所以又叫时滞相关条件，保守性有所降低。但正是在能量函数中增加了二重积分项，在导数中就增加了积分项。如何处理这一积分项，成为问题的焦点。国际上针对时滞相关问题的研究方法，可分为三类：离散 Lyapunov
9、-Krasovskii 泛函方法、确定模型变换方法和参数化模型变换方法。本文只讨论模型变化方法。常用的模型变化有一下四种：模型变换 1(3.6)tdddhttssh xAxAx模型变换 2(3.7)tddhdtst 模型变换 3(3.8)tddhttsxAxx 模型变换 4(3.9)tddhtttsyxy以上四种模型变换都没有改变系统方程，本质都是在系统方程中引入积分项，这样将其代入到泛函的导数中，就会在导数中出现交叉项。3.3 标称系统的稳定性分析为获得时滞相关稳定条件，取如下 Lyapunov-Krasovskii 泛函：(3.10)012, t tt hhhtVxsdssdss P xQ
10、 xxR R 对 沿系统 (2.1)求导数，得到,t(3.11)12 12t tht hVxsdssdsxx其中1dt ttht PAQRQ x12ths xdttx、 称为交叉项。然后利用基本不等式进行界定，即12基本不等式 对 ，有如下不等式成立：,0nabR(3.12)12abRb得到 11 tddhht sds xPAxx2 12tR将其代入式(3.11) ，这样式(3.11) 中的积分项被抵消，从而获得时滞相关条件。2.取如下 Lyapunov-Krasovskii 泛函：(3.13)0, t tt hhVxtsdssds P xQ xxR 对 求导数，得到t(3.14)3,tt h
11、Vss其中2dt ttthttxPAQxQ xRxths利用基本不等式对 进行界定，可得31tdht sds xPRxRx上述处理过程，从本质上可以归纳为一下两点：(1)模型变换的目的是让系统方程中产生积分项，这样对 Lyapunov-Krasovskii 泛函沿系统求导数就导致交叉项与二次型积分项的同时出现；(2)对交叉项的界定可以抵消 Lyapunov-Krasovskii 泛函导数中的二次型积分项，从而获得时滞相关条件。3.4 中立系统的稳定性分析讨论如下的中立时滞系统(3.15)1,0,0tttttxCAxBu其中， 为状态变量； 为控制输入； 为系统恒定时滞；初nt mutA始条件
12、为连续可微向量函数； ， 为恒定系统矩阵。1,nCnmA构造如下的 Lyapunov-Krasovskii 泛函：(3.16)00t tttVxsdssds PQZxR其中：，ttsdxsx对式(3.16)沿式 (3.15)求导数，得到(3.17)0221tt tVxtttt ttsds sds PQQZZxRxR采用自由权矩阵方法，引入模型变换(3.18)2t tttsd Yx(3.19)00t tsNx(3.20)ttttt1MAC 其中， ， ，tttx12341234N1234Y将上述模型变换加到 中，得到tVx(3.21)02212tt ttVxttt ttsds sds tttsd
13、 PQQZZRxxRYxN 0tt st t 1MAxCx用基本不等式对交叉项进行界定，得(3.22)13231122t tt tt tc sdsdtssds YxNxPPZZ (3.23)0021t ttsdtss NxRxR将(3.22)和(3.23)代入 中，整理得到tVx(3.24) 121t cVxt t ZN由 Schur 补定理得稳定性判据为(3.25)2201cNZR4 总结通过构造一种新型的 Lyapunov 泛函，得到了新的时滞相关稳定性判据。这种新的泛函包括三重积分项 此三重积分项对于减小0tsdsxR结果的保守性起到了至关重要的作用。此外，在增广向量 中包含一重积分t项 ，此一重积分项对于减小结果的保守性也尤为重要。且，此一重积tsdx分项与三重积分项必须同时存在于 Lyapunov 泛函中，缺少其中任何一项而单独保留另外一项均对减小结果的保守性不起作用。
