1、2017-2018 学年杭州市第二次高考科目教学质量检测 高三数学检测试卷 2018.04.23 考生须知： 1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 2答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名 3所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效 4考试结束，只需上交答题卷 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1 已知集合 A x | x 1， B x | x 2，则 AB（ ） A x | 1 x 2 B x | x 1 C x | x 2 D x | x1 2设 a R，若 (1 3i)(1 ai) R（ i 是虚数单位），则
2、a（ ） A 3 B 3 C 13 D 13 3 二项式 512)xx（ 的展开式中 x3 项的系数是（ ） A 80 B 48 C 40 D 80 4设圆 C1： x2 y2 1 与 C2： (x 2)2 (y 2)2 1，则圆 C1 与 C2 的位置关系是（ ） A 外离 B 外切 C 相交 D 内含 5 若实数 x， y 满足约束条件 2x+3y-9 0x-2y-1 0 ，设 z x 2y ，则 （ ） A z 0 0 z 5 C 3 z 5 D z 5 6设 a b 0， e 为自然对数的底数 若 ab ba，则（ ） A ab e2 B ab21eC ab e2 D ab e2 7
3、已知 0 a 14 ，随机变量 的分布列如下： 1 0 1 P 3 4 1 4 a a 当 a 增大时，（ ） A E()增大， D()增大 B E()减小， D()增大 C E()增大， D()减小 D E()减小， D()减小 8已知 a 0 且 a1，则函数 f (x) (x a)2lnx（ ） A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值 C 既有极大值，又有极小值 D 既无极大值，又无极小值 9 记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin 若平面向量 a， b， c 满足 | a | | b | ab c(a 2b 2c) 2 则（ ） A |a c|max 372B
4、|a c|max 372C |a c|min 372D |a c|min 37210 已知三棱锥 S ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA SB SC，平面 SBC， SCA， SAB 与 平面 ABC 所成的锐二面角分别为 1， 2， 3，则（ ） A 1 2 B 1 2 C 2 3 D 2 3 非选择题部分（共 110 分） 二、 填空题（ 本大题共 7 小题， 第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分） 11双曲线 2 22x y= 1的渐近线方程是 _，离心率是 _ 12设各项均为正数的等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 S4 80， S
5、2 8，则公比 q _， a5_ 13一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 _，表面积是 _ 14在 ABC中，若 sinA sinB sinC 2 3 4，则 cosC _；当 BC 1时，则 ABC的面积等于 _ 15盒子里有完全相同的 6个球，每次至少取出 1个球 (取出不放回 )，取完为止，则共有 _种不同的取法（用数字作答） 16设函数 f(x)（ x R）满足 |f(x) x2|14 ， |f(x) 1 x2|34 ，则 f(1) 17在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c若对任意 R，不等式恒成立，则 的最大值为 三、解答题 ：（本大题共 5
6、小题，共 74分） 18（本题满分 14分）已知函数 f(x) （ ）求 f(x)的最小正周期和最大值； （ ）求函数 y f( x)的单调减区间 19（本题满分 15 分）如图，在等腰三角形 ABC 中， AB AC， A 120， M 为线段 BC 的中点， D为线段 BC上一点，且 BD BA，沿直线 AD将 ADC翻折至 ADC，使 AC BD （ ）证明：平面 AMC 平面 ABD； （ ）求直线 CD与平面 ABD所成的角的正弦值 20（本题满分 15分）已知函数 f(x)2lnxxx（ ）求函数 f(x)的导函数 f (x)； （ ）证明： f(x) 12e+ e （ e为自然对
7、数的底数） 21（本题满分 15分）如图，过抛物线 M： y x2上一点 A（点 A不与原点 O重合）作抛物线 M的切线AB交 y轴于点 B，点 C是抛物线 M上异于点 A的点，设 G为 ABC的重心（三条中线的交点），直线 CG交 y轴于点 D （ ）设 A(x0， x02)（ x00），求直线 AB的方程； （ ）求 |OB|OD| 的值 22（本题满分 15分）已知数列 an满足 a1 1， an 1 annca （ c 0， n N*）， （ ）证明： an 1 an1； （ ）若对任意 n N*，都有 证明：（ ）对于任意 m N*，当 nm时， ()nmmca n m aa （ ）
8、 512n na 2017 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A D C A C A A 二、填空题：（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11 22yx； 6212 3； 162 13 143； 6 (6 13) 14 14； 3151615 32 16 3417 三、解答题： (本大题共 5 小题，共 74 分 ) 18（本题满分 14 分） （ ）因为 sin(x 74) cos(x 34)，
9、所以 f (x) 2sin(x 74) 2sin(x 34) 所以函数 f (x)的最小正周期是 2，最大值是 27 分 （ ）因为 f ( x) 2sin(x 34)， 所以单调递减区间为 ( 54 2k， 94 2k)（ k Z） 14 分 19（本题满分 15 分） （ ）有题意知 AM BD， 又因为 AC BD， 所以 BD 平面 AMC， 因为 BD 平面 ABD， 所以平面 AMC 平面 AB D 7 分 （ ）在平面 ACM 中，过 C作 CF AM 交 AM 于点 F，连接 F D 由（ ）知， CF 平面 ABD，所以 CDF 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角 设 A
10、M 1，则 AB AC 2， BC 3 ， MD 2 3 ， DC DC 3 3 2， AD 6 2 在 Rt CMD 中， 2 2 2 2 2( 3 3 2 ) ( 2 3 )M C C D M D 9 4 3 设 AF x，在 Rt CFA 中， AC2 AF2 MC2 MF2， 即 4 x2 (9 4 3 ) (x 1)2， 解得， x 2 3 2，即 AF 2 3 2 A B C D M F （第 19 题） 所以 CF 2 2 3 3 故直线 CD 与平面 ABD 所成的角的正弦值等于 CFAF 2 3 331 15 分 20（本 题满分 15 分） （ I）221 ( 2 1) l
11、n() ()x x xfx xx 6 分 （ ） 设 1 1 1( ) l n l n2 1 2 4 2xg x x xxx ， 则函数 g(x)在 (0, ) 单调递减，且 ( e) 0g ， (e) 0g ， 所以存在 0 ( e,e)x ，使 g(x0) 0，即 000 1 ln 021x xx ， 所以 x0 1 (2x0 1)lnx0 0， 所以 f(x) 0，且 f (x)在区间 (0， x0)单调递增，区间 (x0， )单调递减 所以 f (x)f (x0) 000ln( 1)xxx 0011(2 1) 2e exx 15 分 21（本题满分 15 分） （ ）因为 y 2x，所
12、以 直线 AB 的斜率 k y0|xx 2x0 所以直线 AB 的方程 y x0 2x0(x x0)， 即 y 2x0x 20x 6 分 （ ）由题意得，点 B 的纵坐标 yB 20x ，所以 AB 中点坐标为 0( ,0)2x 设 C(x1， y1)， G(x2， y2)，直线 CG 的方程为 x my 12x0 由 021 ,2x my xyx ，联立得 m2y2 (mx0 1)y 2014x 0 因为 G 为 ABC 的重心，所以 y1 3y2 由韦达定理，得 y1 y2 4y2 021 mxm， y1y2 3 22 02 24xy m 所以 220042(1 )16 12mx xmm
13、， 解得 mx0 3 2 3 所以点 D 的纵坐标 yD 2002 6 4 3xxm， 故 | | | 4 3 6BDyOBO D y 15 分 22（本题满分 15 分） （ ）因为 c 0，所以 an 1 annca an（ n N*）， 下面用数学归纳法证明 an1 当 n 1 时， a1 11； 假设当 n k 时， ak1， 则当 n k 1 时， ak 1 akkca ak1 所以，当 n N*时， an1 所以 an 1 an1 5 分 （ ）（ ）当 nm 时， anam， 所以 an 1 annca anmca ， 所以 an 1 anmca ，累加得 an ammca (n m)， 所以 ()nmmca n m aa 9 分 （ ）若 12c，当282(2 1)cm c 时， 21 8 2 2( ) 12 2 1( 2 1 )m ccac cc ，所以 12mc ca 所以当 nm 时， 1( ) 1 ( )2 nmmcc n a n m aa 所以当 112mmmcmaancca时， 1( ) 1 ( )2 mmcc n n m aa ，矛盾 所以 12c 因为 22 2 2 2 21 2 522 4n n n nnca a c a c c aa ， 所以 512n na 15 分
