1、4. 弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容：4.1 用虚功方程建立有限元方程4.2 三结点单元位移函数4.3 三结点单元刚度矩阵4.4 载荷移置4.5 轴对称分析举例4.1 用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r， z） ，以 z 轴为对称轴。图 4.1 受均布内压作用的长圆筒如图 4.1 所示的受均布内压作用的长圆筒，通过 Z 轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问题共有 4 个应力分量：（4-1
2、）zrr其中 表示沿半径方向的正应力，称为径向应力； 表示沿 方向的正应力，称为环向应力或切向应力； 表示沿 z 方向的正应力，称为轴向应力； 表示在圆柱面上zr沿 z 方向作用的剪应力。同样，轴对称问题共有 4 个应变分量：（4-2）zrr其中 表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变； 表示沿 方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变； 表示沿 z 方向的正应变，称为轴向正应变； 表示沿 r z和 z 方向的剪应变。在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移 u 和轴向位移 w，两个位移分量表示为，（4-3）uf在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分
3、为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，（4-4）dspfdxyzFfdxyz TsTT * 其中F为体力，p为面力。将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向分量 ，轴向分量 ，nU,.21 nW,.21（4-5）nWUF.2每个节点的虚位移也只有径向分量 ，轴向位移分量 。*21,.nu*21,.nw（4-6）*21*.nwuwu在单元中由虚位移引起的虚应变为，（4-7）eeB单元中的实际应力为，（4-8）D离散后的单元组
4、合体的虚功方程为，（4-9）ni eTeT dxyzBDF1* )(（4-10）ie)(就是单元刚度矩阵。dxyzBKTe对于轴对称问题，（4-11）rdzBDrDT220将（4-11）代入（4-10）可得（4-12）)(* eeTTGKF为整体刚度矩阵，得到方程组，eGK)(（4-13）F4.2 三结点单元位移函数轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，（4-14）zaru654321w图 4-2 三结点单元按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标
5、和结点位移代入（4-14）得到，（4-15）mjijijiucbaAa213（4-16）jijiwc654其中，（4-17）mjizrA12， ，jjizajizbjmirc定义形态函数为，(下标 i,j,m 轮换) (4-18)(21raANiii用矩阵表示的单元位移为，(4-19) mjiji wuuNNwuf 004.3 三结点单元刚度矩阵轴对称问题的几何方程：（4-20）rwzuruzrr由（4-19）式得，（4-21a）)(21mjiubbAr（4-21b）jiffu其中， （下标轮换）rczbafii（4-21c）)(21mjiwAzw（4-21d）jiucuc（4-21e）)(j
6、ibbr用几何矩阵表示单元的应变，（4-22）eB（4-23）mji（下标轮换） （4-24）iiibcfAB021由于在 是坐标 r、z 的函数， 分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元if 中仍为常量。由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵，（4-25） )1(200101)2(1 ED令 ， ，则弹性矩阵为，1A2)(（4-26）210)21( AED由弹性矩阵D 和几何矩阵 B可以得到应力矩阵S，并计算出单元内的应力分量，（4-27）BS（4-28） mjiS（4-27）iiiiii bAcffbAEBDS 211)()2(1 下标轮换，可得到 。,jiS由应力矩阵可知，除剪应力
7、为常量，其它三个正应力分量都是 r、z 的函数。zr单元刚度矩阵为，（4-28）rdzBDKTe2单元刚度矩阵的分块矩阵为，（4-29）sTrrs 由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标 代替B矩阵中的变量 r、z。cz,，)(31mjicrrjizz应变矩阵变成， jiB（4-30）iicicii bzraA021单元刚度矩阵的近似表达式为：（4-31）2BDrKTce单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为，（4-32）sTrcrs (4-33)srsr srsrsr srrrs bAccfbcbfAfE21 21)()()2(14
8、.4 载荷移置单元上的体力为p，与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载荷，(4-34)rdzpNRTe2作用在单元上的面力为 ，结点载荷为，P（4-35）sTerdsPNR2轴对称问题分析中，如果直接定义结点载荷，载荷值是实际弹性体上绕对称轴一周的载荷的累计结果。4.5 轴对称分析实例图 4-3 带裙座封头的结构图 4-4 坯料形状 图 4-5 成形分析的轴对称有限元模型封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图 4-3 所示，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接，提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于：1） 如何
9、保证锻件的厚度；2）如何保证成形后的裙座位置。厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象，严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。普通的半球形封头采用圆饼形坯料，制造带裙座封头要采用如图 4-4 所示的坯料。分析整个成形过程可以发现，封头的底部明显变薄，会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时，要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分，在成形过程中明显增厚，壁厚的增加量会超过 10%，制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。在图 4-5 中，可以看出，我们制作了一个心部增厚，边缘减薄的坯料。坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关，由于成形过程中封头的底部变薄导致凸台外移，合理的凸台位置要通过有限元分析来选择。图 4-6 成形初期的等效应力分布图 4-7 成形中间阶段的等效应力分布图 4-8 成形结束阶段的等效应力分布图 4-9 等效应变分布与成形缺陷通过有限元分析还发现，如果坯料上的凸台尺寸过大，会在封头的内壁上产生图 4-9所示的凹限，导致封头内表面尺寸超出设计要求。采用 ANSYS 软件，对坯料形状和尺寸、模具的尺寸、成形缺陷进行了综合分析得到了优化的坯料设计和制造工艺。
